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《空间直角坐标系》课件8 (北师大版必修2)


空间直角坐标系

直线上的点M可以用实数表示:
O
?

M

x

x

平面的点M可以用有序实数对表示: 0 y 那么立体空间中 M (x0,y0) y0 的点又应该怎样 x 表示呢?
O x0

空间直角坐标系
y z

z
?

o

x

y x

右手系

y
平面的点M用实数对表示:
y0 空间坐标系中的点M的坐标用 有序实数组(x0,y0,z0)来表示 其中:
z

M (x0,y0)

x
O x0

x0是点M的横坐标,
y0是点M纵坐标, z0是点M的竖坐标
x

z0

M (x0,y0,z0)
x0
o

y0

y

例1,如图:长方形OABC-DEFG 中,|OA|=3 ,|OC|=4 ,|OD|=2.试写 出O,A,G,F四点的坐标.
解:如图
z

O点坐标为(0,0,0) A点为(3,0,0) E G点为(0,4,2) F点为(3,4,2) x A

D

G

F
o

C B

y



z

zox 面


yoz面


xoy面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有八个卦限

二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

z

R
? M2
M1

d ? M1 M 2 ? ?

?

P

o

在直角 ?M 1 NM 2 Q 及 直 角 ?M PN 1 N 中, 使用勾股定理 y 可以求得距离

x

? M1 P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 ,
NM 2 ? z2 ? z1 ,
?d ?
2 2

z

R
? M2
M1

?

Q

P
o

N

y

x
2

M 1 P ? PN ? NM 2
2

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ? .
2 2

空间两点间距离公式

特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)

d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,
2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6,
2

M 3 M1 ?
2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

例2

设 P 在 x 轴上,它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离为

到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍,求点 P 的坐标.

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,

?? 1?2 ? 12 ? PP2 ? x ?
2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

三、小结
空间直角坐标系 点的坐标的表示 (注意它与平面直角坐标系的区别) 空间两点M1 (x1,y1 ,z1)与M2(x2,y2 ,z2) 间的距离公式:
M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

作业: 1) P146 练习1,练习2 2) P144 练习. P147 习题 在练习本上完成


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