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高中数学解题四大思想方法



2014-7-18

圆锥曲线中一个有趣的性质
性质 1 曲线 C 为:椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,点 P( x0 , y0 ) a 2 b2

y P x O B A 图 1

( x0 ? 0 ) 为曲线 C 上的任意一点, 过 P 作两条相异的直线分别交

曲线 C 于

A , B 两点,若直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,则

k AB kOP ?

b2 ,其中 k AB , kOP 分别为直线 AB 与直线 OP 的斜率. a2

证明:设直线 PA 的斜率为 k ,直线 PB 的斜率为 ? k ,则直线 PA 的 方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 y ? kx ? y0 ? kx0 ; 同理可得直线 PB 的方程为: y ? ?kx ? y0 ? kx0 .

? y ? kx ? y0 ? kx0 ? 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
由韦达定理得 xA x0 ?

2 得: (a2k 2 ? b2 )x2 ? 2ka2 ( y 0 ? kx0 )x ? a 2 y 0 ? a 2b 2 ? 2ka 2x 0y 0 ?a 2k 2x 2 0 ?0,

2 2 2 2 a 2 y0 ? a 2b2 ? 2ka 2 x0 y0 ? a 2 k 2 x0 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,得 a2 y0 , 由 , ? a2b2 ? ?b2 x0 a 2 k 2 ? b2 a 2 b2

则 xA ?

2 2 ?b2 x0 ? 2ka 2 x0 y0 ? a 2 k 2 x0 , (a 2 k 2 ? b2 ) x0 2 2 ?b2 x0 ? 2ka2 x0 y0 ? a2 k 2 x0 , (a 2 k 2 ? b2 ) x0

将上式中的 k 用 ? k 替换,得 xB ?

则 k AB ?

y A ? yB (kxA ? y0 ? kx0 ) ? (?kxB ? y0 ? kx0 ) ? xA ? xB xA ? xB ? k ( xA ? xB ) ? 2kx0 x A ? xB

2 2 ? ?2b 2 x0 ? ? 2a 2 k 2 x0 k? ? 2 x0 ? 2 2 2 (a k ? b ) x0 ? ? ? 2 ?4ka x0 y0 (a 2 k 2 ? b 2 ) x0

?

b2 x0 , a 2 y0

则 k AB kOP ?

b2 x0 y0 b2 ? . a 2 y0 x0 a 2
第 1 页

2014-7-18

若将以上各式中的 b 用 a 替换,得 k AB kOP ? 1 ,则得出相应的性质. 性质 2 曲线 C 为:圆 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) ,点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 ) 为曲线 C 上的任意一点, 过 P 作两条相异的直线分别交曲线 C 于 A ,B 两 点,若直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,则 k AB kOP ? 1 , 其中 k AB , kOP 分别为直线 AB 与直线 OP 的斜率. 类似地,将 b 用 ?b 替换,得 k AB kOP ? ?
2 2

y P x O B

A 图 2

b ,则得到相应的性质. a2

2

y P x O A

性质 3 设曲线 C 为:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,点 P( x0 , y0 ) a 2 b2

( x0 ? 0 )为曲线 C 上的任意一点,过 P 作两条相异的直线分别交曲线 C 于 A , B 两点,若直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,则

k AB kOP ? ?

b2 ,其中 k AB , kOP 分别为直线 AB 与直线 OP 的斜率. a2
2

图 3

B

性质 4 设曲线 C 为:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 )为曲线 C 上的任意一点,过 P 作 两条相异的直线分别交曲线 C 为 A , B 两点,若直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,则

kOP ? ?2k AB ,其中 k AB , kOP 分别为直线 AB 与直线 OP 的斜率.
证明:设 P(
2 y0 , y0 ) ,直线 PA 的斜率为 k ,直线 PB 的斜率为 ? k , 2p 2 y0 y2 y y ) ,即 x ? ? 0 ? 0 ; 2p k k 2p 2 y y0 y0 . ? ? k k 2p

y

P

则直线 PA 的方程为: y ? y0 ? k ( x ?

x O A 图4 B

同理可得直线 PB 的方程为: x ? ?
2 ? y y0 y0 ?x ? ? ? 由? k k 2p ? y 2 ? 2 px ?

得y ?
2

2 py0 2p 2 y? ? y0 ? 0, k k

2 py0 2p 2 ? y0 ? y0 , , 则 yA ? k k 2p ? y0 , 将上式中 k 用 ? k 代替,得 yB ? ? k
由韦达定理得 y A y0 ?



2



2014-7-18

则 k AB

4p y A ? yB y A ? yB y A ? yB p ? ? ? ? k ?? 2 2 y A ? y B 2 y 0 ?4 y 0 y y y y y y x A ? xB y0 ? ( A ? 0 ? 0 ) ? (? B ? 0 ? 0 ) k k k k k 2p k k 2p

又 kOP ?

y0 2 p ? 2 y0 y0 2p

则 kOP ? ?2k AB .



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