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2006年高考湖南卷文科


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类)
注意事项: 注意事项 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认 真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。 2.考生作答时,选择题和非选择题均须作在答题卡上,在草稿纸和本试卷上答题无效。 考生在答题卡上按如下要求答题: (1)选择题部分请用2B铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑,修改时用橡皮擦干 净,不留痕迹。 (2)非选择题部分(包括填空题和解答题)请按题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写, 否则作答无效。 (3)保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 4. 本试卷共 5 页。如缺页,考生须声明,否则后果自负。

本试题卷他选择题和非选择题 (包括填空题和解答题) 两部分. 选择题部分 1 至 2 页. 非 选择题部分 3 至 5 页. 时量 120 分钟. 满分 150 分. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( AB ) = P ( A) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率是 Pn ( k ) = Cn P (1 ? P )
k k n?k

球的体积公式 V =

4 π R3 ,球的表面积公式 S = 4π R 2 ,其中 R 表示球的半径 3

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的 1.函数 y = A.(0,1]

log 2 x 的定义域是
B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞)

r r r r r r 2.已知向量 a = (2, t ), b = (1,2), 若 t = t1 时, a ∥ b ; t = t 2 时, a ⊥ b ,则
A. t1 = ?4,t 2 = ?1 C. t1 = 4,t 2 = ?1
3

B. t1 = ?4,t 2 = 1 D. t1 = 4,t 2 = 1

5 3. 若 (ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值是

当前第 1

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A.-2

B. 2 2

C.

3

4

D. 2

4.过半径为 12 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60°则该 截面的面积是 A.π B. 2π C. 3π D. 2 3π

5. “a=1”是“函数 f ( x) = x ? a 在区间[1,+∞)上为增函数”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列 个数是 A.6 B. 12 C. 18 D. 24 7.圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上的点到直线 x + y ? 14 = 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

8.设点 P 是函数 f ( x) = sin ωx 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距 离的最小值 A.2π 9.过双曲线 M: x ?
2

π
4

,则 f (x) 的最小正周期是 B. π C.

π
2

D.

π
4

y2 = 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 b2

分别相交于点 B、C,且 AB = BC ,则双曲线 M 的离心率是 A.
5 2

B.

10 3

C.

5

D.

10

10. 如图 1:OM∥AB,点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的 延长线围成的阴影区域内(不含边界).且 OP = xOA + yOB , 则实数对(x,y)可以是 A. ( , ) C. (? , )
1 3 4 4
M O A 图1 B

1 3 4 4

B. (? , ) D. (? , )
1 7 5 5

2 2 3 3

小题,每小题4 把答案填在答题 .. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题4分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号的横 填空题: .. 上. 11. 若数列 {a n } 满足: a1 = 1, a n +1 = 2a n .n = 1 ,2,3….则 a1 + a 2 + L + a n = .

12. 某高校有甲、 乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人, 乙班 50 人. 现分析两个班的 一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数学建模兴 分. 趣班的平均成绩是
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?x ≥ 1 ? 13. 已知 ? x ? y + 1 ≤ 0 则 x 2 + y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

.

14. 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线 共有 条.

π π 15. 若 f ( x) = a sin( x + ) + 3 sin( x ? ) 是偶函数,则 a=
4 4

.

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共6小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题:本大题共6小题, 16.(本小题满分 12 分) 已知 3 sin θ ?
sin( ? 2θ ) 2 ? cos θ = 1, θ ∈ (0, π ), 求 θ 的值. cos(π + θ )

π

17.(本小题满分12分) 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格,则必须 整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且 每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5,整改后安检合格的概率是 0.8,计算(结果精确到 0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18.(本小题满分14 分) 如图 2,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2,AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; P (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
D A B C

Q 图2

19.(本小题满分 14 分)
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已知函数 f ( x) = ax 3 ? 3x 2 + 1 ?

3 . a

(I)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ) 若曲线 y = f (x ) 上两点 A、 处的切线都与 y 轴垂直, B 且线段 AB 与 x 轴有公共点, 求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于 后面某数)则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记 , 排列 (n + 1)n(n ? 1) L 321 的逆序数为 an, 如排列 21 的逆序数 a1 = 1 , 排列 321 的逆序数 a2 = 3 . 排列 4321 的逆序数 a3 = 6 (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn =
an a + n +1 ,证明 2n < b1 + b2 + L bn < 2n + 3 ,n=1,2,…. a n +1 an

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1:
x2 y2 + = 1 ,抛物线 C2: ( y ? m) 2 = 2 px( p > 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 4 3

过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB ⊥ x 轴时,求 p、m 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)若 p =
4 且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程. 3

当前第 4

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参考答案
1-10:DCDAABCBDC 11. 2 n ? 1 , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 . 16.解:由已知条件得 3 sin θ ? 即 3 sin θ ? 2 sin 2 θ = 0 . 解得 sin θ =
3 或 sin θ = 0 . 2 3 π 2π ,从而 θ = 或θ = . 2 3 3
cos 2θ ? cos θ = 1 . ? cos θ

由 0<θ<π 知 sin θ =

17.解: (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是 1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所
2 以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P1 = C 5 × (1 ? 0.5) 2 × 0.5 3 =

5 = 0.31 . 16

(Ⅱ)解法一 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格, 所以该煤矿被关闭的概率是 P2 = (1 ? 0.5) × (1 ? 0.8) = 0.1 ,从而煤矿不被关闭的概率是 0.90. 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况: (i)该煤矿第一次安检合格; (ii)该 煤矿第一次安检不合格,但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是 P2 = 0.5 + (1 ? 0.5) × 0.8 = 0.90 . (Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知,每家煤矿不被关闭的概率是 0.9,且每家煤矿是否被关闭是相 互独立的,所以到少关闭一家煤矿的概率是 P3 = 1 ? 0.9 5 = 0.41 . 18.解法一 (Ⅰ)连结 AC、BD,设 AC I BD = O . 由 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,所以 PO⊥平面 ABCD,QO⊥平面 ABCD. 从而 P、O、Q 三点在一条直线上,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)由题设知,ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 由(Ⅰ) ,PQ⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系(如图) ,由题设条件,相关各点的坐标分别是 P(0,0,2) ,A( 2 2 ,0,0) , Q(0,0,-2) ,B(0, 2 2 ,0). 所以 AQ = (?2 2 ,0,?2) 于是 cos < AQ, PB >=
PB = (0,2 2 ,?2)

z P

AQ ? PB AQ ? PB

=

4 2 3×2 3

=

1 . 3
x

D O A B y

C

1 从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos . 3
Q 当前第 5 页共 9 页

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,点 D 的坐标是(0,- 2 2 ,0) AD = (?2 2 ,?2 2 ,0) , PQ = (0,0,?4) , , 设 n = ( x, y, z ) 是平面 QAD 的一个法向量,由
?n ? AQ = 0 ? 2 x + z = 0 ? ? 得? . ? ?n ? AD = 0 ? x + y = 0 ? ?

取 x=1,得 n = (1,?1,? 2 ) .
PQ ? n n

所以点 P 到平面 QAD 的距离 d =

=2 2.

解法二 (Ⅰ)取 AD 的中点,连结 PM,QM. 因为 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥, 所以 AD⊥PM,AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM. 又 PQ ? 平面 PQM,所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 AC、BD 设 AC I BD = O ,由 PQ⊥平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上,从而 P、A、Q、C 四点共面. 因为 OA=OC,OP=OQ,所以 PAQC 为平行四边形, AQ∥PC. 从而∠BPC (或其补角) 是异面直线 AQ 与 PB 所成的角. 因为 PB = PC = OC 2 + OP 2 = (2 2 ) 2 + 2 2 = 2 3 , 所以 cos ∠BPC=
PB +PC ? BC 2 PB ? PC
2 2 2

P

D A M O B

C

=

12 + 12 ? 16 2× 2 3 × 2 3
1 3

=

1 . 3
Q

从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos . (Ⅲ)连结 OM,则 OM =
1 1 AB = 2 = PQ . 2 2

所以∠PMQ=90°,即 PM⊥MQ. 由(Ⅰ)知 AD⊥PM,所以 PM⊥平面 QAD. 从而 PM 的长是点 P 到平面 QAD 的距离. 在直角△PMO 中, PM = PO 2 + OM 2 = 2 2 + 2 2 = 2 2 . 即点 P 到平面 QAD 的距离是 2 2 .

19.(Ⅰ)由题设知 a ≠ 0, f ′( x) = 3ax 2 ? 6 x = 3ax( x ? ) . 令 f ′( x) = 0得x1 = 0, x 2 = 当(i)a>0 时,
当前第 6 页共 9 页

2 a

2 . a

若 x ∈ (?∞,0) ,则 f ′( x) > 0 ,所以 f (x) 在区间 (?∞, 0) 上是增函数; 若 x ∈ (0, ) ,则 f ′( x) < 0 ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上是减函数; 若 x ∈ ( ,+∞) ,则 f ′( x) > 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,+∞) 上是增函数; (i i)当 a<0 时, 若 x ∈ (?∞, ) ,则 f ′( x) < 0 ,所以 f (x) 在区间 (?∞, ) 上是减函数;
2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a

若 x ∈ (0, ) ,则 f ′( x) < 0 ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上是减函数; 若 x ∈ ( ,0) ,则 f ′( x) > 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,0) 上是增函数; 若 x ∈ (0,+∞) ,则 f ′( x) < 0 ,所以 f (x) 在区间 (0,+∞) 上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线 y = f (x ) 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值,且 函数 y = f (x ) 在 x = 0, x =
2 3 2 4 3 处分别是取得极值 f (0) = 1 ? , f ( ) = ? 2 ? + 1 . a a a a a 2 a 2 a

2 a

2 a

因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 f (0) ? f ( ) ≤ 0 . 即 (?
4
2

2 a

a 故 (a + 1)(a ? 3)(a ? 4) ≤ 0, 且a ≠ 0 .

?

(a + 1)(a ? 3)(a ? 4) 3 3 + 1)(1 ? ) ≤ 0 .所以 ≤0. a a a2

解得 -1≤a<0 或 3≤a≤4. 即所求实数 a 的取值范围是[-1,0)∪[3,4]. 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由已知得 a 4 = 10, a 5 = 15 ,
a n = n + (n ? 1) + L + 2 + 1 = n(n + 1) . 2

(Ⅱ)因为 bn =

an a n n+2 n n+2 + n +1 = + >2 ? = 2, n = 1,2, L , a n +1 an n+2 n n+2 n

所以 b1 + b2 + L + bn > 2n . 又因为 bn =
n n+2 2 2 + = 2+ ? , n = 1,2, L , n+2 n n n+2 1 1 1 3 1 2 1 4 1 n 1 )] n+2

所以 b1 + b2 + L + bn = 2n + 2[( ? ) + ( ? ) + L + ( ? = 2n + 3 ?
2 2 ? < 2n + 3 . n +1 n + 2

综上, 2n < b1 + b2 + L bn < 2n + 3, n = 1,2, L . 21.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 x=1,从
当前第 7 页共 9 页

而点 A 的坐标为(1,

3 3 )或(1,- ). 2 2
9 9 = 2 p ,即 p = . 4 8

因为点 A 在抛物线上,所以 此时 C2 的焦点坐标为(

9 ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 上时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y = k ( x ? 1) .
? y = k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 . + =1 ? 3 ? 4

……①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 + 4k 2

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦,
1 1 1 所以 AB = (2 ? x1 ) + (2 ? x 2 ) = 4 ? ( x1 + x 2 ) ,且 2 2 2 AB = ( x1 + p p 4 ) + ( x 2 + ) = x1 + x 2 + p = x1 + x 2 + . 2 2 3 4 1 = 4 ? ( x1 + x 2 ) . 3 2

从而 x1 + x 2 + 所以 x1 +x 2 =

16 8k 2 16 ,即 = . 2 9 9 3 + 4k

解得 k 2 = 6, 即k = ± 6 . 因为 C2 的焦点 F ′( , m) 在直线 y = k ( x ? 1) 上,所以 m = ? k . 即m = 当m =
6 6 或m = ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = 6 ( x ? 1) . 3 2 3 1 3

当m = ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y = k ( x ? 1) . 由?
8 ? 2 8 ?( y ? m) = x 2 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) = x . 3 ? y = k ( x ? 1) ? 2 3

……①

因为 C2 的焦点 F ′( , m) 在直线 y = k ( x ? 1) 上, 所以 m = k ( ? 1) ,即 m = ? k .代入①有 (kx ?
2 3 1 3 2k 2 8 ) = x. 3 3

当前第 8

页共 9 页

即 k 2 x 2 ? (k 2 + 2) x +

4 3

4k 2 =0. 9
4(k 2 + 2) 3k 2

……②

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

由 ?x2

? y = k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 . y2 =1 ? + 3 ? 4

……③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4(k 2 + 2) 3k 2

8k 2 3 + 4k 2

.

. 解得 k 2 = 6, 即k = ± 6 . 3 + 4k 2 2 1 因为 C2 的焦点 F ′( , m) 在直线 y = k ( x ? 1) 上,所以 m = ? k . 3 3 = 即m = 当m =
6 6 或m = ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = 6 ( x ? 1) . 3 2 3

8k 2

当m = ?

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ′( , m) , 所以 AB = ( x1 + ) + ( x 2 + ) = x1 + x 2 + p = (2 ? 即 x1 + x 2 =
2 16 (4 ? p) = . 3 9 p 2 p 2 1 1 x1 ) + (2 ? x 2 ) . 2 2

……①
y 2 ? y1 m ? 0 = = 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

由(Ⅰ)知 x1 ≠ x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k = 且直线 AB 的方程是 y = ?3m( x ? 1) , 所以 y1 + y 2 = ?3m( x1 + x 2 ? 2) = 又因为 ?
2 2 ?3 x1 + 4 y1 = 12 ? 2 ?3 x 2 ? 2 + 4 y2

……②

2m . 3
y 2 ? y1 =0. x 2 ? x1

……③

= 12

,所以 3( x1 + x 2 ) + 4( y1 + y 2 ) ?

……④

将①、②、③代入④得 m 2 = 当m =

2 6 6 ,即 m = 或m = ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y = ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y = 6 ( x ? 1) . 3

当m = ?

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