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免费下载:宁夏银川一中2012届高三第一次月考数学(理)试题


宁夏银川一设 2012 届高三上学期第一次月考试题(数学理科) 第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.满足 M ? {a1, a2, a3, a4},且 M∩{a1 ,a2, a 3}={ a1,a2}的集合 M 的个数是( ) A.1 2.若 f ( x ) =
1 log 1 ( 2 x + 1 )
2

B.2 ,则 f ( x ) 定义域为

C.3

D.4 ( )

A. (?

1 ,0 ) 2

B. (?

1 ,0 ] 2

C. ( ?

1 ,+∞) 2

D. (0,+∞) )

?2x, x>0 3.已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? x+1,x≤0

A.-3 B.-1 4.以下有关命题的说法错误的是

C.1

D.3 ( )

A.命题“若 x 2 ? 3 x + 2 = 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ≠ 1 , 则 x 2 ? 3 x + 2 ≠ 0 ” B.“ x = 1 ”是“ x 2 ? 3 x + 2 = 0 ”的充分不必要条件 C.若 p ∧ q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ? x ∈ R , 使得 x 2 + x + 1 < 0 , 则 ? p : ? x ∈ R , 均有 x 2 + x + 1 ≥ 0 3 5.函数 y=f(x)在定义域(- ,3)内的图像如图所示.记 y=f(x)的导函数为 2 y=f′(x) ,则不等式 f′(x)≤0 的解集为 1 A.[- ,1]∪[2,3) 3 1 4 8 B.[-1, ]∪[ , ] 2 3 3 3 1 C.[- , ]∪[1,2) 2 2 3 1 1 4 4 D. (- ,- ]∪[ , ]∪[ ,3) 2 3 2 3 3 6.设设函数 f ( x ) 在(0,+∞)上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式
集为( )
f ( x) ? f (? x) < 0 的解 x





A. (-1,0)∪(1,+∞) C. (-∞,-1)∪(1,+∞)

B. (-∞,-1)∪(0,1) D. (-1,0)∪(0,1)

7.已知函数 f ( x) = x + 2 x , g( x ) = x + Lnx , h ( x ) = x ? 则 x1 , x 2 , x3 的大小关设是

x ? 1 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,
( )

第 1 页 共 10 页

A. x1 < x2 < x3

B. x2 < x1 < x3

C. x1 < x3 < x2

D. x3 < x2 < x1

8.已知 y = f ( x ) 的图象是顶点在原 点的抛物线,且方程 f ( x) = 3? x 有一个根 x = 2 ,则不 等式 f ( x ) < ( ) | x| 的解集是 A. ( ?2, 2) B. ( ?2, 0) U (0, 2) C. (0, 2)
1 3

( D. ? ( B. log 1 b< log 1 a<0
2 2
2



9.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是 A.ab<b2<1
b a



C. 2 < 2 < 2 D.a <ab<1 10.已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,对任意 x、y 满足 f(x-y)=f(x)·g(y)-g(x)·f(y) ,且 f(-2)=f(1)≠0,则 g(1)+g(-1)=( A.-1 B.1 C.2 D.-2 11.若实数 x, y 满足 | x ? 1 | ? Ln
y y



1 = 0 ,则 y 是 x 的函数的图象大致是 y
y

y


1


1
x

O O 1 x

1

O

1

x

O

1 2

x

A.

B.

C.

D.

12.可 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数设的最小值。设 f ( x ) = min 2 x , x + 2,10 ? x 则 f ( x ) 的最大值为 (

{

}

(x ≥ 0), )

C.6 D.7 A.4 B.5 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? f ( x + 2) = 1, 且 f(1)=2,则 f(99)= _______ 14. 已知 f ( x) = ?

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

?(2 ? a) x + 1 ?a
x

( x < 1) ( x ≥ 1)

满足对任意 x1 ≠ x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 成立, x1 ? x2

那么 a 的取值范围是_______ 15.函数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上,其设 mn > 0 ,则

1 2 + 的最小值为_______. m n

16.若函数 f ( x ) 满足:“对于区间(1,2)上的任意实数 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) ,

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |<| x2 ? x1 | 恒成立”,则称 f ( x) 为完美函数.给出以下四个函数 ....
第 2 页 共 10 页

① f ( x) =

1 x

② f ( x ) =| x |

③ f ( x) = ? ?

?1? ?2?

x

④ f ( x) = x 2

其设是完美函数的序上是 . 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分)
2 设二次 函数 f ( x) = ax + bx + c 在区间 [ ?2, 2] 上的最大值、最小值分别是 M、m,

集合 A = { x | f ( x) = x} . (1)若 A = {1, 2} ,且 f (0) = 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A = {1} ,且 a ≥ 1 ,记 g ( a ) = M + m ,求 g ( a ) 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 给定两个命题: p :对任意实数 x 都有 ax 2 + ax + 1 > 0 恒成立; q :关于 x 的方程
x 2 ? x + a = 0 有实数根;如果 p 与 q 设有且当有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分若若若若张每值为 20 元的张张共 36 台,若若都若若 x 台(x 是正整数) ,且若若均需付运费 4 元,储存若若的张张一个月所付的保管费与若 若若若张张的总每值(不含运费)成正设,若若若若若 4 台,则该月需可去运费和保管 费共 52 元,现在全月只有 48 元可可可以可于支付运费和保管费. (1)求该月需可去的运费和保管费的总费可 f ( x ); (2)能否恰当地安排若若进货的数量,使可可可可?写出你的结论,并说明理由.

20. (本小题满分 12 分)

第 3 页 共 10 页

已知函数 f ( x ) =

2 + aLnx ? 2(a > 0) . x

(1) 若曲线 y = f ( x ) 在点 P (1, f (1)) 处的切线与直线 y = x + 2 垂直, 求函数 y = f ( x ) 的单调区间; (2)记 g ( x) = f ( x) + x ? b (b ∈ R ) .当 a = 1 时,函数 g ( x ) 在区间 [e , e] 上有两个 零点,求实数 b 的取值范围.
?1

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 2ax ?
b + Lnx x

(1)若 f ( x )在x = 1, x = ①求 a、b 的值;

1 处取得极值 , 2

②存在 x 0 ∈ [ ,2], 使得不等式 f ( x 0 ) ? c ≤ 0 成立,求 c 的最小值; (2)当 b = a时,若 f ( x)在(0, +∞) 上是单调函数,求 a 的取值范围。 (参考数据 e 2 ≈ 7.389, e3 ≈ 20.08)

1 4

[来源:学科网]

四、选做题. (本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∵AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC. (1)求证:∠P=∠EDF; (2)求证:CE·EB=EF·EP. A P
第 4 页 共 10 页

O · F C D E

B

[来源:学科网 ZXXK]

23.选修 4—4:坐标设与参数方程。 在平面直角坐标设 xOy 设,已知曲线 C1 : ?

? x = cos θ (θ 为参数) ,以平面直角坐标 ? y = sin θ

设 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标设,已 知直线 l : ρ (2cosθ ? sin θ ) = 6 . (1) 将曲线 C1 上的所有点的横坐标、 纵坐标分别伸长为原来的 3 、 倍后得到曲线 C2 2 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;
(2)在曲线 C2 上求一点P,使点P到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

24.选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ( x ) > 2 ; (2)求函数 y = f ( x) 的最小值.

第 5 页 共 10 页

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题;若小题 5 分,共 60 分. 题 1 上
[ 来 源 :Zxx

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

k.Com]

答 案

B

A

A

C

A

D

A

A

C

A

B

C

二、填空题: (本大题共 4 小题,若小题 5 分。 ) 13.
1 2

14. [ , 2)

3 2

15.8

16.①③

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (1)由 f (0) = 2可知c = 2, ……………………………1 分 又 A = {1, ,故1,是方程ax 2 + (b ? 1) x + c = 0的两实根. 2} 2

1-b ? ?1+2= a ? , …………………3 分 ∴? ? 2= c ? a ? ∴ f ( x) = x 2 ? 2 x + 2 = ( x ? 1) 2 + 1,

解得a = 1, b = ?2 …………4 分

x ∈ [ ?2, 2]

当x = 1时,f ( x ) min = f (1) = 1,即m = 1 ……………………………5 分 当x = ?2时,f ( x ) max = f ( ?2) = 10,即M = 10. ……………………………6 分
(2)由题意知,方程ax 2 + (b ? 1) x + c = 0有两相等实根x=2, x=1

1? b ? ?1 + 1 = a ?b = 1 ? 2a ? ∴ ? , 即? ?c = a ?2 ? c ? a ?
∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a, x∈[-2,2]

……………………………8 分

其对称轴方程为 x=

4a ? 1 1 ? 1 = 2a 2a

又 a≥1,故 1-

1 ?1 ? ∈ ,1? ……………………………9 分 2a ? 2 ? ?
…………………………10 分

∴M=f(-2)=9a-2

第 6 页 共 10 页

m= f (

2a ? 1 1 ) = 1? ……………………………11 分 2a 4a 1 -1 g(a)=M+m=9a4a
又g ( a )在区间[1, +∞ ) 上为单调递增的, 当a = 1时,g ( a ) min = ∴ =

31 . ………12 分 4

18.解:对任意实数 x 都有 ax 2 + ax + 1 > 0 恒成立
?a > 0 ? 0 ≤ a < 4 ;………………………………………………4 分 ? a = 0或? ?? < 0

关于 x 的方程 x 2 ? x + a = 0 有实数根 ? 1 ? 4a ≥ 0 ? a ≤ 如果 p 正确,且 q 不正确,有 0 ≤ a < 4, 且a > ∴
1 4

1 ;……………6 分 4

1 < a < 4 ;……………8 分 4
4

如果 q 正确,且 p 不正确,有 a < 0 或 a ≥ 4 , 且 a ≤ 1 ∴ a < 0 .…………1 0 分 所以实数 a 的取值范围为 (? ∞ ,0 ) U ? 1 , 4 ? ……………………………………12 分 ? ?
?4 ?

19.解:(1)设题设设设设数为 k ,若若若若若 x 台,则共需分
元,

36 若,若若每值为20 x x

36 ? 4 + k ? 20 x ………………………………………………4分 x 16 1 由 x = 4 时, y = 52 得 k = = …… …………………………………………6分 80 5 144 ∴ f ( x) = + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) ……………………………………………8分 x 144 (2)由(1)知 f ( x ) = + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) x
由题意 f ( x ) =

∴ f ( x) ≥ 2
当且当当

144 × 4 x = 48 (元) ………………………………………………10分 x

144 = 4x ,即 x = 6 时,上式等上成立. x 2 a + , x2 x

故只需若若若若6张张张,可以使可可可可.………………………………………12分

20. (I) 直线 y = x + 2 的斜率为 1. 解: 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) ,f ′( x ) = ? 所以 f ′(1) = ? 分

2 a 2 。。。。。。 。3 + = ?1 ,所以 a = 1 .所以 f ( x ) = + ln x ? 2 .。。。。。。 2 1 1 x

f ′( x ) =

x?2 .由 f ′( x ) > 0 解得 x > 2 ;由 f ′( x ) < 0 解得 0 < x < 2 . x2
……………………6 分

所以 f ( x ) 的单调增区间是 (2, +∞ ) ,单调减区间是 (0, 2) .

第 7 页 共 10 页

(II)依题得 g ( x ) =

2 x2 + x ? 2 .由 g ′( x ) > 0 解得 + ln x + x ? 2 ? b ,则 g ′( x ) = x x2

x > 1 ;由 g ′( x ) < 0 解得 0 < x < 1 .……………… …….8 分
所以函数 g ( x ) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, + ∞) 为增函数.

? g (e ?1 ) ≥ 0, ? ?1 又因为函数 g ( x ) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ≥ 0, ? g (1) < 0. ?


……………….10

2 2 + e ? 1 .所以 b 的取值范围是 (1, + e ? 1] . …………12 分 e e b 21.解析: (Ⅰ) i )Q f ( x ) = 2ax ? + 1nx ,定义域为 (0,+∞) ( x b 1 ∴ f '( x) = 2a + 2 + 。 ………………………1 分 x x 1 Q f ( x)在x = 1, x = 处取得极值, 2 1 ∴ f '(1) = 0, f '( ) = 0 …………………………2 分 2
解得 1 < b ≤

1 ? ?a = ? 3 ?2a + b + 1 = 0 ? 即? 解得 ? ?2a + 4b + 2 = 0 ?b = ? 1 ? 3 ?

1 1 ∴ 所求a、b的值分别为- , ? ……………………………4 分 3 3 1 (ii)在 [ , 2]存在xo , 使得不等式 f ( xo ) ? c ≤ 0成立,只需c ≥ [ f ( x )]min , 4
[来源:Zxxk.Com]

由 f '( x ) = ?

2 1 1 2 x 2 ? 3x + 1 (2 x ? 1)( x ? 1) x? 2 + =? =? , 2 3 3x x 3x 3x 2

1 1 1 1 ∴当x ∈ [ , ]时,f '( x) < 0, 故 f ( x)在[ , ]是单调递减 ; 4 2 4 2 1 1 当 x ∈ [ ,1]时,f '( x ) > 0,故 f ( x )在[ ,1]是单调递增 ; 2 2

当x ∈ [1, 2]时,f '( x) < 0,故 f ( x)在[1, 2]是单调递减 ;
1 1 ∴ f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 . 2 4
………………………6 分

第 8 页 共 10 页

而 f( )=

1 1 1 + 1n = ? 1n 2 , 3 2 3 7 f (2) = ? + 1n 2 , 6

1 2

且 f ( ) ? f (2) =

1 2

3 3 ? 1n 4 = 1ne 2 ? 1n 4, 2

又 e ? 16 > 0,∴1ne ? 1n 4 > 0
3

3 2

∴[ f ( x)]min = f (2) , ∴ c ≥ [ f ( x)]min = ? 7 + ln 2 6 7 7 ∴ c的取值范围为[? + 1n 2, +∞), 所以c的最小值为 ? + 1n 2. ………………9 分 6 6 2ax 2 + x + a , x2

(Ⅱ)当 a = b时,f '( x) =

① 当a = 0时,f ( x) = 1mx.则f ( x)在(0, +∞)上单调递增 ; ②当 a > 0 时,Q x > 0,∴ 2ax 2 + x + a > 0 ,

∴ f '( x) > 0,则f ( x)在(0,+∞)上单调递增;
③ 当a < 0时,设g ( x ) = 2ax 2 + x + a, 只需? ≤ 0 , 从面得 a ≤ ? 综

2 , 此时f ( x)在(0 + ∞)上单调递减 ; 4
上 得 , … A P O · F C D E B

a的取值范围是( ? ∞, ?

2 ] U [0,+∞) . 4

……12 分 22.证明(1)∵DE2=EF·EC, ∴DE : CE=EF: ED. ∵∠DEF 是公共角, ∴?DEF∽?CED. ∴∠EDF=∠C. ∵CD∵AP, ∴∠C=∠ P. ∴∠P=∠EDF.----5 分 (2)∵∠P=∠EDF, ∠DEF=∠PEA, ∴?DEF∽?PEA. DE : PE=EF : EA. EF·EP=DE·EA. ∴ 即 ∵ 弦 AD 、 BC 相 交 于 点 E , ∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP. 10 分

23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 = 0 ,………………2 分
第 9 页 共 10 页

∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) + ( )2 = 1 , 2 3

∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? x = 3 cos θ ? (θ 为参数) .………………5 分 ? y = 2sin θ ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos θ , 2 sin θ ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 2 3 cos θ ? 2sin θ ? 6 | | 4sin(600 ? θ ) ? 6 | d= = ,………………7 分 5 5
,此时 d max = ∴当 sin(600-θ)=-1 时,点 P( ? ,1 ) 24.解: (1)令 y = 2 x + 1 ? x ? 4 ,则
3 2

| 4+6| = 2 5 .…………10 分 5
y

1 ? x≤? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? ... y = ?3 x ? 3, ? < x < 4,....3 分 2 ? ? x + 5, x ≥ 4. ? ?

y=2 O 1 ? 2

4

x
? ?

作出函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y = 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) 2

?5 ?3

所以 2 x + 1 ? x ? 4 > 2 的解集为 ( ? x, 7) U ? , x ? .………….5 分 ? + (2)由函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x = ? 最小值 ?

?5 ?3

? ?

1 时, y = 2 x + 1 ? x ? 4 取得 2

9 2
………………. .10 分

第 10 页 共 10 页



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