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2013北京房山区高三数学(理)一模试题及答案



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房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数 学 (理科)2013.04
本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选

项中,选出符合题 目要求的一项.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? { x | x ? 1} , N ? { x | x ? 4} ,错误!未找到引用源。错误!未找

到引用源。则 M ? ( C R N ) = A. ( ? 2 , 1] C. ( ? ? , ? 1] B. [ ? 2 , 1] D. ( ? ? , ? 2 )

2.已知 { a n } 为等差数列, S n 为其前 n 项和.若 a1 + a 9 = 1 8, a 4 = 7 ,则 S 1 0 = A. 5 5 C. 9 0 B. 8 1 D. 1 0 0 开始
S ? 0, n ? 1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 1 5 , 则框图中 ① 处可以填入 A. n ? 4 B. n ? 8 C. n ? 1 6 D. n ? 1 6

S ? S ?n

n ? 2n



① 是 输出 S
结束

4.在极坐标系中,圆 ? ? 2 sin ? 的圆心到直线 ? co s ? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0 的距离为 A.
5 5

B. 2 5
5

C. 3 5
5

D. 4 5
5

2 5.下面四个条件中, “函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? m 存在零点”的必要而不充分的条件是

A. m ? ? 1 C. m ? 2

B. m ? 1 D. m ? 1
???? ???? 3 BC

6. 在△ABC 中, A B ? A C , A C ? 1 ,点 D 满足条件 B D ? A.
3

,则 A C ? A D 等于

???? ????

B. 1

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C.

3 2

D.

1 2

7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥 的四个面的面积中,最大的是 A. 4 3 B. 8 C. 4 7 D. 8 3 8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x 0 ? R 满足: ? a ? 0, ? x ? M , 0 ? x ? x 0 ? a ,称 x 0 为 集合 M 的聚点.则下列集合中以 1 为聚点的有: ① { A.①④
n n ?1 | n ? N}



②{ | n ? N * } ;
n

2

③Z ;

④{ y | y ? 2 x } D. ①②④

B. ②③

C. ①②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知复数 z 满足 z ? (1 ? i ) ? 2 i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 10.已知双曲线 C : 为 .
x a
2 2

.

?

y b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

的焦距为 4 ,且过点 ( 2 , 3) ,则它的渐近线方程

11.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能在第一或最后 一步实施,程序 B 和 C 在实施时必须相 邻,则实验顺序的编排方法共有 作答) 12.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 P A 和割线 P B C , 已知 ? B P A
? 30?

种.(用数字

, BC .

? 11 , PB ? 1 ,

则 PA

?

,

O B

C

圆 O 的半径等于 13.某商品在最近 1 0 0
?t ? ? 22 ?4 f (t ) ? ? ?? t ? 52 ? 2 ?

天内的单价

f (t )

与时间 t

的函数关系是

P
(0 ? t ? 4 0, t ? N ) (40 ? t ? 100, t ? N )

A

日销售量 g ( t ) 与时间 t 的函数关系是 g ( t ) ? ? 的日销售额的最大值为 .

t 3

?

109 3

(0 ? t ? 1 0 0 , t ? N )

.则这种商品

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14.已知函数 f ( x ) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x ) 在 [0 , 1] 上为非减函数,且满足以下三个 条件:① f (0 ) ? 0 ; ② f ( ) ?
5 f( 1 2013 )? x 1 2 f (x)

; ③ f (1 ? x ) ? 1 ? f ( x ) .则 f ( ) ?
5

4



.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2 x ? 2 3 sin x co s x ? 1 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? a b ,
2 C

试判断△ABC 的形状. 16.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? A B C D 中,侧面 P A D ⊥底面 A B C D , A B C D 为直角梯形, B C // A D , ? A D C ? 9 0 ? ,
BC ? CD ? 1 2 AD ? 1 , PA ? PD
P

F

, E ,F 为 A D ,P C 的中点.
D E B A C

(Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)若 PC 与 AB 所成角为 4 5 ? ,求 P E 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 F-BE-A 的余弦值. 17.(本小题满分 13 分)
P M 2 .5

是指大气中直径小于或等于 2 .5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. 我国 P M 2 .5

标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 P M 2 .5 日均值在 3 5 微克/立方米以下空气质量为 一级;在 3 5 微克/立方米 ? 7 5 微克/立方米之间空气质量为二级;在 7 5 微克/立方米以上 空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2 0 1 2 年全年每天的 P M 2 .5 监测 数据中随机的抽取 1 5 天的数据作为样本,监测值如茎叶图 所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)从这 1 5 天的 P M 2 .5 日均监测数据中,随机抽出三天 数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (Ⅱ)从这 1 5 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到
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P M 2 .5 日均值(微克/立方米)

2 3 4 6 7 8 9

8 7 4 3 9 6 2

1 5 8 3 5

4 5

3

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P M 2 .5

监测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学期望;

(Ⅲ)根据这 1 5 天的 P M 2 .5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 3 6 5 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 a x ? ( a ? 1) x ? ln x
2

, g ( x ) ? x 2 ? 2bx ?

7 8

.

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ?
g (x) ? M

1 4

时,函数 f ( x ) 在 ( 0 , 2 ] 上的最大值为 M ,若存在 x ? [1, 2 ] ,使得

成立,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 p x 的焦点坐标为 F (1, 0 ) ,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A ,B 两点,直 线 A O ,B O 分别与直线 m : x ? ? 2 相交于 M ,N 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.

20.(本小题满分 13 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记
8 7 1 7

号 x 表示.例如 1 .2 ? 0 .2 , ? 1 .2 ? 0 .8 , 下条件:
? 1 ? ? ? an ? ?0 a n ? 0, a n ? 0,

?

.对于实数 a ,无穷数列 ? a n ? 满足如

a1 ? a

, a n ?1

其中 n ? 1,2 ,3,? .

(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ)当 a ?
1 4

2 ,求数列 ? a n ? 的通项公式;

时,对任意的 n ? N * ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ;
p q

(Ⅲ)若 a 是有理数,设 a ?

( p 是整数, q 是正整数, p , q 互质) ,对于大于 q 的

任意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成立,证明你的结论.

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房山区高三年级第一次模拟考试参考答案 数 学 (理科) 2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1B

2D

3B

4A

5C

6A

7C

8A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 1 ? i 12. 2 3 , 7 10. y ? ? 3 x 13.
8 0 8 .5

11. 14.
1

96
, 1

2 32

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x ) ? 2 cos
2

x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos 2 x ?
1 2

3 sin 2 x
3 2

………………………………………4 分
?
6

? 2(
2? 2

cos 2 x ?

sin 2 x )

? 2 s i n2x ? (

) …………………6 分

周期为 T ?

??. C 2 ) ? 2 s in ( C ? ?) 1
?
6 ? C ?

……………………………………7 分
?
6 )? 2

(Ⅱ)因为 f ( 所以
s i nC( ?

?
6

因为 0 ? C ? ? 所以 C ?
2 2

所以

?
6

?

7? 6

……………………………………8 分

?
6
2

?

?
2

所以 C ?
2

?
3
2

……………………………………………………9 分

c ? a ? b ? 2 a b co s C ? a ? b ? a b ? a b ………………………………………11 分

整理得 a ? b 所以 三角形 ABC 为等边三角形

…………………………………………12 分 …………………………………………13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO
?

BC

// AD

, BC ?

1 2

AD ,

E 为 AD 中点

? ?

AE//BC,且 AE=BC 四边形 ABCE 为平行四边形
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?

O 为 AC 中点 又 F 为 AD 中点 OF // PA ?
? ?
O F ? 平 面 B E, F

………………………………….………………..1 分 ……………………………………………...….2 分 ? A 面 P 平 B E F ……………...….3 分 ………………………………………..……..…..4 分

PA //平面 B E F

(Ⅱ)解法一:
? PA ? PD E 为 A D中 点 ? PE ? AD

? 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD , 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD ? AD , PE ? 平 面 PAD ?

………………………….…………………6 分 易知 BCDE 为正方形
PE ? 平 面 ABCD

z
P

? AD ? BE

建立如图空间直角坐标系 E ? xyz , PE ? t ( t ? 0 ) 则 E ? 0 , 0 , 0 ?, A ?1, 0 , 0 ?, B ? 0 ,1, 0 ?, P ? 0 , 0 , t ?, C ? ? 1,1, 0 ?
? PC ? ? ? 1,1, ? t ?, AB ? ? ? 1,1, 0 ?
A E

F

D

C

O

B

y

? PC 与 AB 所成角为

45

0

x

? cos ? PC , AB ? ?

PC ? AB PC AB

?

1?1? 0 2?t
2

? cos 45 2

0

?

2 2

,…….………8 分

解得: t ?

2

? PE ?

2

…………………………………………………………………….9 分

解法二:由 BCDE 为正方形可得 由 ABCE 为平行四边形 可得 EC
? ? PC E 为 PC与 AB所 成 角
? PA ? PD E 为 A D中 点

EC ?

2BC ?

2

// AB

即 ? P C E ? 4 5 0 …………………………………..…5 分

? PE ? AD

? 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD , 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD ? AD , PE ? 平 面 PAD ? PE ? 平 面 ABCD ? PE ? EC ? PE ? EC ?

……………………………………………………………….…7 分 …………………………………………………………………….8 分 …………………………………..………9 分
? 1 1 ? 2 F ? ?? , , ? 2 2 2 ? ? ? ?

2

(Ⅲ) F 为 P C 的中点,所以



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? 1 1 2 ? ? EB ? ? 0 ,1, 0 ? , EF ? ? ? , , ? 2 2 2 ? ? ?

设 n ? ? x , y , z ? 是平面 BEF 的法向量
? n ? EB ? y ? 0 , ? ? 1 1 2 y ? z ? 0. ? n ? EF ? ? x ? 2 2 2 ?



取 x ? 2 ,则 z ?
EP ? 0 , 0 ,

2 ,得 n ? 2 , 0 ,

?

2

?

……………………………………………….11 分 ………………………………………………….12 分

?

2 是平面 ABE 的法向量

?

? cos ? n , EP ? ?

n ? EP n EP

?

3 3

………………………………………………….13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?
3 3

.………………………………………….14 分

17(本小题满分 13 分) (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天 记“从 1 5 天的 P M 2 .5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件
A

则 P ( A) ?

C 4 ?C 1 1 C 15
3

1

2

?

44 91

??????????????3 分

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1, 2, 3 ,
C 5 C 10 C 15 C 5 C 10 C 15
3 2 1 3 0 3

????????4 分
C 5 C 10 C 15 C 5 C 10 C 15
3 3 0 3 1 2

P (? ? 0 ) ?

?

24 91

P ( ? ? 1) ?

?

45 91

P (? ? 2 ) ?

?

20 91

P ( ? ? 3) ?

?

2 91

?????????????????8 分 所以 ? 的分布列为
?

0
24 91

1
45 91

2
20 91

3

2 91

P

?????????????9 分
E? ? 24 91 ?0? 45 91 ?1? 20 91 ?2? 3 91 ?3?1

????????????10 分

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(Ⅲ) 1 5 天的空气质量达到一级或二级的频率为
365 ? 2 3 ? 243 1 3 1 3

10 15

?

2 3

??????11 分

, 天的空气质量达到一级或二级. ?????? 13 分

所以估计一年中有 2 4 3

(说明:答 243 天,244 天不扣分) 18(本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? x ? ln x
f ' (x ) ? ? ? 1 1 x

f ( 1 ) ? 1? l n ? ? 1 ? 1 ……………………1 分

f '(1) ? 0

………………………………………….…2 分

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 y ? ? 1 …………………………….…3 分 (Ⅱ) f '( x ) ? a x ? ( a ? 1) ? ① 当 a ? 0 时, 解 f '( x ) ? ?
x ?1 x ? 0

1 x

?

a x ? ( a ? 1) x ? 1
2

?

( a x ? 1)( x ? 1) x

x

( x ? 0 ) ………4



,得 x ? 1 ,解 f '( x ) ? ?

x ?1 x

? 0

,得 x ? 1 ………………………5 分

所以函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) ,递减区间为在 ? 1, ? ? ? ② a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 得 x ? 1 或 x ? i)当 0 ? a ? 1 时, x f’(x) f(x) + 增
(0,1) )
1 a ?1

1 a

1

(1,

1 a

)

1 a

(

1 a

, ?? )



+ 增 ………………………6 分

函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , ? ii)当 a ? 0 时,
1 a ? 0

?1

1 ? , ? ? ? ,递减区间为 (1, ) ……………………7 分 a ?a ?

在 ? 0,1 ? 上 f '( x ) ? 0 ,在 (1, ? ? ) 上 f '( x ) ? 0 函数 f ( x ) 的递增区间为 ? 0,1 ? ,递减区间为 (1, ? ? ) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ?
1 4
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………………………8 分 ………………………9 分

时, f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,2) 上是减函数,

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所以 M ? f (1) ? ?

9 8


9 8 7 8 9 8

…………………………………11 分

存在 x ? [1, 2 ] ,使 g ( x ) ? ?

即存在 x ? [1, 2 ] ,使 x 2 ? 2 b x ?

? ?


9 8

方法一:只需函数 g ( x ) 在[1,2]上的最大值大于等于 ?
9 ? ? g (1) ? ? 8 ? 所以有 ? ? g (2) ? ? 9 ? 8 ? 7 9 ? ?1 ? 2 b ? 8 ? ? 8 ? 即? ? 4 ? 4b ? 7 ? ? 9 ? 8 8 ?

解得: b ?

3 2

………………………………………………13 分

2 方法二:将 x ? 2 b x ?

7 8

? ?

9 8

整理得 b ?

x 2

?

1 x

?[ 2,

3 2

],

x ? [1, 2 ]

从而有 b ? ?

? x ?2

?

1? 3 ? ? x ? m ax 2
3 2

所以 b 的取值范围是 (??, ] .

…………………………………………………13 分

19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由焦点坐标为 (1, 0 ) 所以 p ? 2 所以抛物线 C 的方程为 y
2

可知

p 2

?1

? 4 x …………………………………4 分

(Ⅱ) 当直线 l 垂直于 x 轴时, ? ABO 与 ? MNO 相似, 所以
S ?ABO S ?M NO ? ( OF 2 ) ?
2

1 4

…………………………………….…6 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ………………………7 分 设 M ( ? 2, y M ) , N ( ? 2, y N ) , A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

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? y ? k ( x? 1 ) ? 2 ? y ? 4x

整理得

k

2

x ? ( 4 ? 2k
2

2

) x?

k ?, 0
2

所以 x 1 ? x 2 ? 1
1 ? S ?ABO S ?M NO ? 2 1 2 ? A O ? B O ? s in ? A O B

…………………………………………………………….9 分

? ? M O ? N O ? s in ? M O N

AO MO

?

BO NO

?

x1 2

?

x2 2

?

1 4

…………………….14 分

综上

S ?ABO S ?M NO

?

1 4

20(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a 1 ?
2 ? 2 ? 1 , a2 ?
1 a1 ? 1 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?1

……….2 分

若 ak ?

2 ? 1 ,则 a k ? 1 ? ?

? 1 ? ? ? ? ? ? ak ?

2 ? 1? ? ?

2 ?1

所以 a n ?

2 ?1
1 4

……………………………………3 分 所以
1 4
1 a1 ? 1 a ? 1 a

(Ⅱ)? a 1 ? a ? a , a ? ①当
1 2 ? a ? 1 ,即 1 ? 1 a
2

? a ? 1 ,从而 1 ?

1 a

? 4

? 2 时, a 2 ?

?1? a

所以 a ? a ? 1 ? 0
?1 ? 2 5

解得: a ?

,

(a ?

?1 ? 2

5

?1 ? ? ? ,1 ? ?2 ?

,舍去)

……………….4 分

②当

1 3
2

? a ?

1 2

,即 2 ?

1 a

? 3 时, a 2 ?

1 a1

?

1 a

?

1 a

?2 ? a ,

所以 a ? 2 a ? 1 ? 0
?2 ? 2 8
?1 1? ? ?

解得 a ?

?

2 ? 1,

( a ? ? 2 ? 1 ? ? , ? ,舍去) ………………5 分 3 2
1 a
1 a1 1 a 1 a

③ 当

1 4

? a ?

1 3

时,即 3 ?

? 4

时, a 2 ?

?

?

?3? a

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解得 a ?

?3 ? 2

13

(a ?
?1 ? 2

?3 ? 2
5
a, ?

13

? 1 1? ?? , ? ? 4 3?

,舍去)

………………6 分

综上,集合 A ?a ?? (Ⅲ)结论成立.

2 ?a , 1 ?

?3 ? 2

13

?.

………………7 分 ……………………8 分

由 a 是有理数,可知对一切正整数 n , a n 为 0 或正有理数, 可设 a n ?
pn qn

( p n 是非负整数, q n 是正整数,且 p n , q n 互质)

由 a1 ?

p q

?

p1 q1

,可得 0 ? p 1 ? q ;

…………………………………9 分

若 p n ? 0 ,设 q n ? ? p n ? ? ( 0 ? ? ? p n , ? , ? 是非负整数)
qn pn
1 an



?? ?

?
pn
qn pn

,而由 a n ?

pn qn



1 an

?

qn pn

a n ?1 ?

?

?

?
pn

,故 p n ?1 ? ? , q n ?1 ? p n ,可得 0 ? p n ?1 ? p n ………11 分

若 p n ? 0 则 p n ?1 ? 0 , 若 a 1 , a 2 , a 3 ,? ? ?, a q 均不为 0,则这 q 正整数 p n ( n ? 1, 2, 3, ? , q ) 互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故 a 1 , a 2 , a 3 ,? ? ?, a q 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q ) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ? a n ? 中 a m 以及它之后的项均为 0, 所以对于大于 q 的自然数 n ,都有 a n ? 0 ……………………………………………13 分

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