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2011年北京市丰台区高三一模数学(文)试题Word版带答案



丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一) 数 学(文科)
2011.3 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 U ? R , A ? {x x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,那么 ? U A ? (A) {x x ? 2 或 x ? 3} (C) {x x ? 2 或 x ?

3} (B) {x 2 ? x ? 3} (D) {x 2 ? x ? 3}

2. “a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y+1=0 平行”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60° , | a |? 4 , | b |? 3 ,则 | a ? b | 等于 (A) 37 (B)

37

(C) 13

(D) 13

2 2 4.记集合 A ? {( x, y) x ? y ? 4}和集合 B ? {( x, y ) | x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0}表示的平面区域分别为

Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 Ω2 内的概率为 (A)

? 2?

(B)

? ?

(C)

? 4

(D)

??? ??

5.如图所示,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 A1C 与 AC1 的交点,E 为棱 BB1 的中点,则空间四边形 OEC1D1 在正方体各面上的正投影不可能 是 ...
A1 O D A D1 B1 C1

E C B

(A)

(B)

(C)

(D)

开始 输入 a S=0,n=1 S= S +an n= n +1 n≤2011 否 输出 S 是

6.程序框图如图所示,若输入 a 的值是虚数单位 i,则输出的结果是 (A) -1 (C) 0 (B) i-1 (D) - i

7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ;

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 1 页 共 9 页

结束

③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②

(C) ③④

(D) ②③

8.若函数 f ( x ) 满足条件:当 x1 , x2 ?[?1,1] 时,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 3| x1 ? x2 | 成立,则称 f ( x) ?? . 对于函数 g ( x) ? x3 , h( x ) ? (A) g ( x) ? ? 且 h( x) ? ? (C) g ( x) ? ? 且 h( x) ? ?

1 ,有 x?2
(B) g ( x) ? ? 且 h( x) ? ? (D) g ( x) ? ? 且 h( x) ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P(3,y),则点 P 到抛物线焦点的距离为 . 10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,S5=10,则 S7= . y 11.已知函数 f ( x) ? ?

? e ? 1,
x

x ? 0, x <0.

? f ( x ? 2),

则 f (?1) =



A

?
O A x

12.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为

4 ,则 cosα= . 5

13.某路段检查站监控录像显示,在某段时间内有 2000 辆车通过该站,现随机抽取其中的 200 辆进行车 速分析,分析结果表示为如图所示的频率分布直方图.则图中 a= ,估计在这段时间内通过该站的汽 车中速度不小于 90km/h 的约有 辆. 14.用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.8]=1.对于下面关于函数

f ( x) ? ( x ? [ x])2 的四个命题:
①函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,值域为 [0,1] ; ②函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; ③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 上是增函数. 其中正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 2 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值. 2 2 2

16. (本小题共 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90° , BC= Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. M D Q A B C P

1 AD, PA=PD, 2

17. (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 ? 5 , bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式.

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 3 页 共 9 页

18. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 OA 上存在一点 M , OB 上存在一点 N ,使得

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

???? ? 1 ??? ? MN ? AB ,若原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. 2

19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 4 在 (??, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 总在直线 y ? a2 x ? 4 上方,求 a 的取值范围.

20. (本小题共 13 分) 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,?, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) ,对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)如果 U ? (0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S4 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W ? (0, 0, 0,? , 0) , U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) .

?? ?? ?
n个 0

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 4 页 共 9 页

丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一) 数
题号 答案 1 B 2 C

学(文科)参考答案 2011.3
3 B 4 A 5 A 6 A 7 D 8 C

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.4 10.21 12. ?

11.e-1 14. ③④(写对一个给 2 分,多写不给分)

3 5

13.0.02,600

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值. 2 2 2 1 . 2
????????5 分

解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA= ∵ 0<A<π (Ⅱ) f ( x) ? ∵A? ∴A?

? . 3

x x x ? 1 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? , 2 2 2 6 2 2 2 2
∴ B ? (0,

2? ? ? 5? ) ∴ ? B? ? 3 6 6 6 ? ? ? 3 ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 6 2 2 3

? 3

????????13 分 P

16. (本小题共 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC, ∠ADC=90° ,BC=

1 AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2
Q

M D C B

(Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. A

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 5 页 共 9 页

证明: (Ⅰ)AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
∴CD // BQ . P

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, ∵ ∠ADC=90°

∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. (Ⅱ)当 t ? 1 时,PA//平面 BMQ. 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. A ????????6 分 Q N B D C M

1 ∵BC // DQ, 2
∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, ∵点 M 是线段 PC 的中点, ∴ MN // PA. ∵ MN ? 平面 BMQ,PA ? 平面 BMQ, ∴ PA // 平面 BMQ.

????????13 分

17. (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 ? 5 , bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式. 解: (I)当 n=1 时, a1 ? 当 n ? 2 时,

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

3 a1 ? 1 , 2

∴ a1=2.

3 an ? 1 ① 2 3 Sn ?1 ? an ?1 ? 1(n ? 2) ② 2 3 3 ①-②得: an ? ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) ,即 an ? 3an?1 , 2 2
∵ Sn ? ∴ 数列 {an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 3
n?1



????????6 分
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 6 页 共 9 页

(II)∵ bn?1 ? bn ? an , ∴当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2 ? 3n?2 ??

b3 ? b2 ? 2 ? 31 b2 ? b1 ? 2 ? 30
相加得 bn ? b1 ? 2 ? (3
n?2

1 ? 3n?1 ??? 3 ? 3 ) ? 5 ? ? 3n?1 ? 4 . 1? 3
1 0

当 n=1 时, 31?1 ? 4 ? 5 ? b1 ,

∴ bn ? 3n?1 ? 4 .

????????13 分

18. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 OA 上存在一点 M , OB 上存在一点 N ,使得

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

???? ? 1 ??? ? MN ? AB ,若原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. 2
解:(Ⅰ) 依题意,可设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2



c 1 ? , a 2

2 2 2 2 ∴ a ? 2c , b ? a ? c ? 3c .

3 x2 y 2 ? ? 1. ∵ 椭圆经过点 (1, ) , ∴ 椭圆的方程为 2 4 3
(Ⅱ) 记 A, B 两点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

????????5 分

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 消 y,得 (4k ? 3) x ?16kx ? 4 ? 0 . ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4
∵ 直线与椭圆有两个交点,

1 . 4 16k 4 由韦达定理 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 2 2 4k ? 3 4k ? 3
2 4 ∴ ? ? (16k ) ?16(4k ? 3) ? 0 ,∴ k ?
2

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 7 页 共 9 页

∵ 原点 O 在以 MN 为直径的圆上,∴ OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 .

???? ? ????

? 1 ??? AB , M 在 OA 上, N 在 OB 上, 2 ??? ? ??? ? 又 OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? ( x2 , y2 ) ,
∵ MN ?

???? ?

∴ OA ? OB ? 0 ,

??? ? ??? ?

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 +x2 )+4

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1)
∴ k =
2

4 16k ? 2k 2 +4=0 . 4k ? 3 4k ? 3
2

4 1 ? , 3 4

∴ k= ?

2 3 . 3

????????14 分

19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 4 在 (??, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 总在直线 y ? a2 x ? 4 上方,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 4 , ∴ f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b . ∵ f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数, ∴ 当 x ? 0 时, f ( x ) 有极大值,即 f '(0) ? 0 , ∴ b ? 0. (Ⅱ) f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? x(3x ? 2a) , ∵ f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数, ∴ ? ????????6 分

2 3 a ? 1 ,即 a ? ? . 3 2

2 ∵曲线 y ? f ( x) 在直线 y ? a x ? 4 的上方,

设 g ( x) ? ( x ? ax ? 4) ? (a x ? 4) ,
3 2 2

∴在 x ? [0, ??) 时, g ( x) ? 0 恒成立. ∵ g '( x) ? 3x ? 2ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 2

令 g '( x) ? 0 ,两个根为 ?a ,

a a ,且 ? 0 ? ?a , 3 3

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 8 页 共 9 页

x
g '( x ) g ( x)

(0, ?a)


?a
0
极小值

(?a, ??)


?

?

∴ 当 x ? ?a 时, g ( x) 有最小值 g (?a) . 令 g (?a) ? (?a3 ? a3 ? 4) ? (?a3 ? 4) ? 0 , ∴ a ? ?8 ,由 a ? ?
3

3 , 2

∴ ?2 ? a ? ?

3 . 2

????????14 分

20. (本小题共 13 分) 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,?, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) ,对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)如果 U ? (0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S4 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W ? (0, 0, 0,? , 0) , U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) .

?? ?? ?
n个 0

解: (Ⅰ)6.

????????4 分

(Ⅱ)记 U , V 中对应项同时为 0 的项的个数为 p ,对应项同时为 1 的项的个数为 q , 则对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数为 n ? p ? q ; ( p、q ? N,p ? q ? n) .

d (U ,W ) 即是 U 中 1 的个数, d (V ,W ) 即是 V 中 1 的个数, d (U ,V ) 是 U , V 中对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数.
于是有 d (U ,V ) ? n ? p ? q .

U , V 中 1 一共有 2q ? (n ? p ? q) 个,即 d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? n ? p ? q .
所以有 d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ? 2q ? 0 , 于是 d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) . ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (文科)第 9 页 共 9 页



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