第十三章 电磁感应1

§13-1 法拉第电磁感应
定律

1820年，奥斯特发现了电流的磁效应．既然电流 可以产生磁场，那么反过来磁场是否也能产生电流 呢？ 英国物理学家法拉第从1822年到1831年，经过一 个又一个的失败和挫折，终于在人类历史上第一个 发现了电磁感应现象．

一. 电磁感应现象
实验一：
当条形磁铁插入或拔 出线圈回路时，在线圈回 路中会产生电流，而当磁 铁与线圈保持相对静止时， 则回路中不存在电流。

实验二：
（以通电线圈代替条 形磁铁。） 1. 当载流主线圈相 对于副线圈运动时， 线圈回路内有电流产 生。 2. 当载流主线圈相对于副线圈静止时，如果改变 主线圈的电流，则副线圈回路中也会产生电流。

实验三：
将闭合回路置于稳恒磁场B中，当导体棒在导 体轨道上滑行时，回路内出现了电流。

结论：
当穿过闭合回路 的磁通量发生变化 时，不管这种变化 是由什么原因产生 的，回路中有电流 产生。这一现象称 为电磁感应现象。

b B

c

v a
d

电磁感应现象中产生的电 流称为感应电流，相应的电动 势称为感应电动势。

二.法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 回路中产生的感应电动势与穿过回路的磁通量对时 间变化率的负值成正比。

dΦm ?i ? ? dt
式中的负号反映了感应电动势的方向，是楞次定 律的数学表示。

符号法则规定：

（1）对回路任取一绕行方向。
（2）当回路中的磁感线方向与回路的绕行方向成右手 螺旋关系时，磁通量为正 （+），反之为负（-）。 （3）回路中的感应电动势方向凡与绕行方向一致时为 正（+），反之为负。

? ?0
d? ?i ? ? dt

d? ?0 dt

?i ? 0

? ?0

d? ?0 dt d? ?0 dt
d? ?0 dt

?i ? 0
?i ? 0

Φ?0

Φ?0

?i ? 0

由N 匝导线构成的线圈时：

d ? i ? ? (?1 ? ? 2 ? ? ? ? N ) dt
d N d? ? ? (?? i ) ? ? dt i ?1 dt

全磁通： ? ?

??
i ?1

N

i

磁通链数：?

? N?
?1

d? ?i ? ?N dt

伏特

1 V ? 1 Wb? s

设闭合线圈回路的电阻为R

1 d? 感应电流： I i ? ?? R R dt t2 1 ?2 1 感应电量： q ? ? I i dt ? ? ? d? ? ( ?1 ?? 2 ) t1 R ?1 R
结论：在 t1 到 t2 时间内感应电量仅与线圈回路 中全磁通的变化量成正比，而与全磁通变化的快 慢无关。

?i

三. 楞次定律
楞次定律：
（1）在发生电磁感应时，导体回路中感应电流 的方向，总是使它自己激发的磁场穿过回路面积 的磁通量去阻止引起感应电流的磁通量的变化。

（2）感应电流的效果总是反抗引起感应 电流的原因。
b B

c

v
Ii

? F

a

d

结论： 楞次定律是能量守恒和转换的必 然结果。

用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向

? B

? B

I
S N

? v
N S

I

? v

例1. 一长直导线通以电流 i ? I sin ? t ，旁边 o 有一个共面的矩形线圈abcd。求：线圈中的感 应电动势。 解：

? ? r ?l1 ?oi ? ? ? B ? dS ? ? l2 dx S r 2? x

b i

l1

c

d? ?i ? ? dt

? o I o l2 r ? l1 ? sin ? t ln 2? r

l2
dx
d x

x o a r

?o I o r ? l1 ?? l2? cos ? t ln 2? r

§13-2 动生电动势
感生电动势

d? E i ? ? dt

引起磁通量变化的原因 （1）稳恒磁场中的导体运动 , 或者回 路面积变化、取向变化等 动生电动势 （2）导体不动，磁场变化 感生电动势

一.动生电动势
运动导体内电子受 到洛仑兹力的的作 用： ? ? ?

? ? ?

? ?

B

? ?
Fk ? ?

?

? ? ?
? ? ? l ? ? ?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? Fm ? ? ? ? 非静电场：E ? v ? B A k
动生电动势： ? i

? ? ? 平衡时 Fm ? ?Fk ? ?eEk

Fm ? ?e(v ? B)

? ? -? ? v? ? ?? ? ?

??

L

? ? b ? ? ? Ek ? dl ? ? (v ? B) ? dl
a

动生电动势的计算方法举例
? d l ? d? ： ? ?
? d? i ? (v ? B) ? dl ? vBdl sin ? cos ? ? ?? ? ?? ? (v , B) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ( E , dl )( E k k ? v ? B) ?

b

? dl

整段导线 ab ? ? ab ：

? i ? ? d? i ? ?
a

b

b

a

? ? ? (v ? B) ? dl

? B
a
图23A

? v

闭合回路：

? ? d? ? ? ? ? ? ? Ek ? dl ? ? (v ? B) ? dl ? ? L L dt

例1. 一矩形导体线框，宽为l，与运动导体棒构 成闭合回路。如果导体棒一速度v 作匀速直线 运动，求回路内的感应电动势。
解： 法一

? ? ? d? i ? (v ? B) ? dl ? Bvdl ? ? b ? ? i ? ? ( v ? B) ? dl
a

? ? vBdl
0

l

B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ?

? vBl

电动势方向 A? B

法二：

d? ?i ? ? dt

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ? Blx
d? dx ?i ? ? Bl dt dt

l

v?
?

? ? ? ? ? ? A ? x

?

? i ? vBl

? I o 解： B ? I 2 ? x ? ? ? d? i ? ( v ? B) ? dx ? ? Bvdx

例2. 一长直导线中通电流I=10A，有一长为 L=0.2m的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度 v=2m/s平行与长直导线匀速运动时，求棒产生的 动生电动势。 v

A

B

? i ? ??

a ?l

a

?o Iv a ? l ?? ln 2? a

?o Iv dx 2? x

x
a

dx

l

VA ? VB

例3. 一根长为L的铜棒，在均匀磁场B中以角速 度?在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。 求棒的两端之间的感应电动势大小。 ? ? ? ? d? i ? (v ? B) ? dl ? ? Bvdl ? ? ? L ? ? i ? ? (v ? B) ? dl ? 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? vBdl
0
L

0

L

? ? ? ?

? l ? dl ? o? ? ? ? ? ?

? ? ? B? ldl 0 1 ? ? B? L2 2

? ?

? ?

? ?

? ?

动生电动势方向：a ? 0

法二、

S ? ? 2 ? L 2?
1 2 S ? L? 2

?
L
?

S

? ? BS
d? 1 2 d? ? 1 BL2? ?i ? ? BL 2 dt 2 dt

二.感生电动势和感生电场
麦克斯韦在1861年提出 ? 了感生电场 Ek 的假设：

变化的磁场在其周围 空间将激发出感生电 场。

感生电动势：

?i ? ? ?

L

? ? E感 ? dl

由法拉第电磁感应定律

d? d ? ? ?i ? ? ? ? ? B ? dS dt dt S

电磁场的基本方程之一：

? ? ? ?B ? ? i ? ? E感 ?dl ? ? ?? ? dS L S ?t
结论：
（1）变化的磁场能够激发电场。

（2）感应电场的环流不等于零，表明感应电场为 涡旋场，所以又称为“涡旋电场”。

? ? ? ?B ? ? i ? ? E感 ?dl ? ? ?? ? dS L S ?t
式中负号表示感应电场与磁场增量的方向相反
? ?B ?t

感应电场与静电场的区别：
（1）静电场由静止电荷产生， 而感应电场由变化的磁场激发。

? E感

（2）静电场是保守场，其环流为零。电力线起 始于正电荷，终止于负电荷。而感应电场为非保 守场，环流不等于零。且电力线为闭合曲线。

感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场

静电场
保守场

? ? dΦ ?L Ek ? dl ? ? dt ? 0
由变化的磁场产生

?

L

? ? E静 ? dl ? 0

由电荷产生

感生电动势的计算
1)计算感生电场的分布 ? ? ? ? ? d? ?LE ? dl ? ? dt ? E ? E (r ) 2）计算感生电动势：

?i ? ?
闭合回路

b

a

? ? E ? dl

? ? d? ? i ? ? E ? dl ? ? L dt

例1. 半径为R 的圆柱形空间区域，充满着均匀磁 场。已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。 问在任意半径r 处感生电场的大小以及棒AB上的 感生电动势。 解：（1） a.

r ? R时
2

? ? BS ? B? r ? ? d? ?i ? ? ? ? Ek ? dl L dt 2 dB ? ?? r ? ? Ek ? 2? r dt 1 dB Ek ? ? r 2 dt

? ?
? ?

? ? ? ? ? Ek Ek

?

?

?
?

?

?

? ?

A ? ? ? ? ? ? Ek ?

B

b. r ? R 时 ? ? B ? ? R
? ? d? ?i ? ? ? ? Ek ? dl L dt 2 dB ? ?? R ? ? Ek 2? r dt
? Ek

2

? ? ? ? ? ?

? ?

Ek

?

R dB Ek ? ? 2r dt
（ 2）

2

? ?R ? ? ? ? r? A ? ? ? ? ? B dx ? ? ? E ?
k

?i ? ?

L

0

? ? L Ek ? dx ? ? Ek cos ? dx
0

cos? ?
L

R2 ? l 2 4 r

? ?

? Ek

? ? ? ? ? ?

Ek

?

? i ? ? Ek cos ? dx
0

??

L

0

1 dB r 2 dt

R 2 ? L2 4 dx r
2

? ?R ? ? ? ? r? A ? ? ? ? ? B dx ? ? ? E ?
k

L ? L ? dB 2 ? R ?? ? 2 ? 2 ? dt

? ? ?

L ?L? 2 ? ? B? R ?? ? 2 ?2?

2

? ? ? ? ?

? ?

? ? ?

R ?

? ? ? B

A ? ? ? ?
2

d? L ? L ? dB 2 ?i ? ? R ?? ? dt 2 ? 2 ? dt