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第十三章 电磁感应1



§13-1 法拉第电磁感应
定律

1820年,奥斯特发现了电流的磁效应.既然电流 可以产生磁场,那么反过来磁场是否也能产生电流 呢? 英国物理学家法拉第从1822年到1831年,经过一 个又一个的失败和挫折,终于在人类历史上第一个 发现了电磁感应现象.

一. 电磁感应现象
实验一:
当条形磁铁插入或拔

出线圈回路时,在线圈回 路中会产生电流,而当磁 铁与线圈保持相对静止时, 则回路中不存在电流。

实验二:
(以通电线圈代替条 形磁铁。) 1. 当载流主线圈相 对于副线圈运动时, 线圈回路内有电流产 生。 2. 当载流主线圈相对于副线圈静止时,如果改变 主线圈的电流,则副线圈回路中也会产生电流。

实验三:
将闭合回路置于稳恒磁场B中,当导体棒在导 体轨道上滑行时,回路内出现了电流。

结论:
当穿过闭合回路 的磁通量发生变化 时,不管这种变化 是由什么原因产生 的,回路中有电流 产生。这一现象称 为电磁感应现象。

b B

c

v a
d

电磁感应现象中产生的电 流称为感应电流,相应的电动 势称为感应电动势。

二.法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时, 回路中产生的感应电动势与穿过回路的磁通量对时 间变化率的负值成正比。

dΦm ?i ? ? dt
式中的负号反映了感应电动势的方向,是楞次定 律的数学表示。

符号法则规定:

(1)对回路任取一绕行方向。
(2)当回路中的磁感线方向与回路的绕行方向成右手 螺旋关系时,磁通量为正 (+),反之为负(-)。 (3)回路中的感应电动势方向凡与绕行方向一致时为 正(+),反之为负。

? ?0
d? ?i ? ? dt

d? ?0 dt

?i ? 0

? ?0

d? ?0 dt d? ?0 dt
d? ?0 dt

?i ? 0
?i ? 0

Φ?0

Φ?0

?i ? 0

由N 匝导线构成的线圈时:

d ? i ? ? (?1 ? ? 2 ? ? ? ? N ) dt
d N d? ? ? (?? i ) ? ? dt i ?1 dt

全磁通: ? ?

??
i ?1

N

i

磁通链数:?

? N?
?1

d? ?i ? ?N dt

伏特

1 V ? 1 Wb? s

设闭合线圈回路的电阻为R

1 d? 感应电流: I i ? ?? R R dt t2 1 ?2 1 感应电量: q ? ? I i dt ? ? ? d? ? ( ?1 ?? 2 ) t1 R ?1 R
结论:在 t1 到 t2 时间内感应电量仅与线圈回路 中全磁通的变化量成正比,而与全磁通变化的快 慢无关。

?i

三. 楞次定律
楞次定律:
(1)在发生电磁感应时,导体回路中感应电流 的方向,总是使它自己激发的磁场穿过回路面积 的磁通量去阻止引起感应电流的磁通量的变化。

(2)感应电流的效果总是反抗引起感应 电流的原因。
b B

c

v
Ii

? F

a

d

结论: 楞次定律是能量守恒和转换的必 然结果。

用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向

? B

? B

I
S N

? v
N S

I

? v

例1. 一长直导线通以电流 i ? I sin ? t ,旁边 o 有一个共面的矩形线圈abcd。求:线圈中的感 应电动势。 解:

? ? r ?l1 ?oi ? ? ? B ? dS ? ? l2 dx S r 2? x

b i

l1

c

d? ?i ? ? dt

? o I o l2 r ? l1 ? sin ? t ln 2? r

l2
dx
d x

x o a r

?o I o r ? l1 ?? l2? cos ? t ln 2? r

§13-2 动生电动势
感生电动势

d? E i ? ? dt

引起磁通量变化的原因 (1)稳恒磁场中的导体运动 , 或者回 路面积变化、取向变化等 动生电动势 (2)导体不动,磁场变化 感生电动势

一.动生电动势
运动导体内电子受 到洛仑兹力的的作 用: ? ? ?

? ? ?

? ?

B

? ?
Fk ? ?

?

? ? ?
? ? ? l ? ? ?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? Fm ? ? ? ? 非静电场:E ? v ? B A k
动生电动势: ? i

? ? ? 平衡时 Fm ? ?Fk ? ?eEk

Fm ? ?e(v ? B)

? ? -? ? v? ? ?? ? ?

??

L

? ? b ? ? ? Ek ? dl ? ? (v ? B) ? dl
a

动生电动势的计算方法举例
? d l ? d? : ? ?
? d? i ? (v ? B) ? dl ? vBdl sin ? cos ? ? ?? ? ?? ? (v , B) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ( E , dl )( E k k ? v ? B) ?

b

? dl

整段导线 ab ? ? ab :

? i ? ? d? i ? ?
a

b

b

a

? ? ? (v ? B) ? dl

? B
a
图23A

? v

闭合回路:

? ? d? ? ? ? ? ? ? Ek ? dl ? ? (v ? B) ? dl ? ? L L dt

例1. 一矩形导体线框,宽为l,与运动导体棒构 成闭合回路。如果导体棒一速度v 作匀速直线 运动,求回路内的感应电动势。
解: 法一

? ? ? d? i ? (v ? B) ? dl ? Bvdl ? ? b ? ? i ? ? ( v ? B) ? dl
a

? ? vBdl
0

l

B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ?

? vBl

电动势方向 A? B

法二:

d? ?i ? ? dt

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ? Blx
d? dx ?i ? ? Bl dt dt

l

v?
?

? ? ? ? ? ? A ? x

?

? i ? vBl

? I o 解: B ? I 2 ? x ? ? ? d? i ? ( v ? B) ? dx ? ? Bvdx

例2. 一长直导线中通电流I=10A,有一长为 L=0.2m的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度 v=2m/s平行与长直导线匀速运动时,求棒产生的 动生电动势。 v

A

B

? i ? ??

a ?l

a

?o Iv a ? l ?? ln 2? a

?o Iv dx 2? x

x
a

dx

l

VA ? VB

例3. 一根长为L的铜棒,在均匀磁场B中以角速 度?在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。 求棒的两端之间的感应电动势大小。 ? ? ? ? d? i ? (v ? B) ? dl ? ? Bvdl ? ? ? L ? ? i ? ? (v ? B) ? dl ? 解: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? vBdl
0
L

0

L

? ? ? ?

? l ? dl ? o? ? ? ? ? ?

? ? ? B? ldl 0 1 ? ? B? L2 2

? ?

? ?

? ?

? ?

动生电动势方向:a ? 0

法二、

S ? ? 2 ? L 2?
1 2 S ? L? 2

?
L
?

S

? ? BS
d? 1 2 d? ? 1 BL2? ?i ? ? BL 2 dt 2 dt

二.感生电动势和感生电场
麦克斯韦在1861年提出 ? 了感生电场 Ek 的假设:

变化的磁场在其周围 空间将激发出感生电 场。

感生电动势:

?i ? ? ?

L

? ? E感 ? dl

由法拉第电磁感应定律

d? d ? ? ?i ? ? ? ? ? B ? dS dt dt S

电磁场的基本方程之一:

? ? ? ?B ? ? i ? ? E感 ?dl ? ? ?? ? dS L S ?t
结论:
(1)变化的磁场能够激发电场。

(2)感应电场的环流不等于零,表明感应电场为 涡旋场,所以又称为“涡旋电场”。

? ? ? ?B ? ? i ? ? E感 ?dl ? ? ?? ? dS L S ?t
式中负号表示感应电场与磁场增量的方向相反
? ?B ?t

感应电场与静电场的区别:
(1)静电场由静止电荷产生, 而感应电场由变化的磁场激发。

? E感

(2)静电场是保守场,其环流为零。电力线起 始于正电荷,终止于负电荷。而感应电场为非保 守场,环流不等于零。且电力线为闭合曲线。

感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场

静电场
保守场

? ? dΦ ?L Ek ? dl ? ? dt ? 0
由变化的磁场产生

?

L

? ? E静 ? dl ? 0

由电荷产生

感生电动势的计算
1)计算感生电场的分布 ? ? ? ? ? d? ?LE ? dl ? ? dt ? E ? E (r ) 2)计算感生电动势:

?i ? ?
闭合回路

b

a

? ? E ? dl

? ? d? ? i ? ? E ? dl ? ? L dt

例1. 半径为R 的圆柱形空间区域,充满着均匀磁 场。已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。 问在任意半径r 处感生电场的大小以及棒AB上的 感生电动势。 解:(1) a.

r ? R时
2

? ? BS ? B? r ? ? d? ?i ? ? ? ? Ek ? dl L dt 2 dB ? ?? r ? ? Ek ? 2? r dt 1 dB Ek ? ? r 2 dt

? ?
? ?

? ? ? ? ? Ek Ek

?

?

?
?

?

?

? ?

A ? ? ? ? ? ? Ek ?

B

b. r ? R 时 ? ? B ? ? R
? ? d? ?i ? ? ? ? Ek ? dl L dt 2 dB ? ?? R ? ? Ek 2? r dt
? Ek

2

? ? ? ? ? ?

? ?

Ek

?

R dB Ek ? ? 2r dt
( 2)

2

? ?R ? ? ? ? r? A ? ? ? ? ? B dx ? ? ? E ?
k

?i ? ?

L

0

? ? L Ek ? dx ? ? Ek cos ? dx
0

cos? ?
L

R2 ? l 2 4 r

? ?

? Ek

? ? ? ? ? ?

Ek

?

? i ? ? Ek cos ? dx
0

??

L

0

1 dB r 2 dt

R 2 ? L2 4 dx r
2

? ?R ? ? ? ? r? A ? ? ? ? ? B dx ? ? ? E ?
k

L ? L ? dB 2 ? R ?? ? 2 ? 2 ? dt

? ? ?

L ?L? 2 ? ? B? R ?? ? 2 ?2?

2

? ? ? ? ?

? ?

? ? ?

R ?

? ? ? B

A ? ? ? ?
2

d? L ? L ? dB 2 ?i ? ? R ?? ? dt 2 ? 2 ? dt



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