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专题二 两条直线的位置关系



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2016 年 2 月



高 二寒假数学导学案

设计人: 韩老师

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专题二 两条直线的位置关系
[基础知识深耕] 一、两条直线的位置关系 1.两直线的平行与垂直 (1)两条直线平行: ①对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2?——————. ②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直: ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1⊥l2?——————②当其中一 条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1⊥l2. 2.两条直线的交点 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 的解. 【拓展延伸】 常见的直线系方程 1.设定点 P(x0,y0)的直线系:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为 y-y0 =k(x-x0)(斜率不存在时可设为 x=x0). 2.平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C). 3.垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. 4.过两条已知直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程:A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线 A2x+B2y+C2=0). 二、三种距离 1.两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=. 2.点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=——————. 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d=———— [基础能力提升] 1.下列说法正确的是( ) ①若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1∥l2; ②若直线 l1∥l2,则两直线的斜率相等; ③若直线 l1,l2 的斜率均不存在,则 l1∥l2;
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④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行. A.①③ B.②④ C.①③④ D.④

2. 直线 l1 的斜率为 2, l1∥l2, 直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则点 P 的坐标为( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) 3.若直线 ax+y+5=0 与 x-2y+7=0 垂直,则 a 的值为( ) A.2 1 B.2

1 C.-2 D.-2 4.已知直线 l1:3x-4y+4=0 与 l2:6x-8y-12=0,则直线 l1 与 l2 之间的距离是( ) 8 A.5 B.2 4 2 C.5 D.5

三个注意点: (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜 率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑. (2)求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式. (3)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且 x,y 的系数对应相同. 第二节 两条直线的位置关系 考纲要求:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法 求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离.

[基础真题体验] 考查角度[两条直线的位置关系] 1.(2014· 福建高考)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

考向一 两直线的平行与垂直 【例 1】 (1)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
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C.2x+y-2=0

D.x+2y-1=0

(2)已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. ①试判断 l1 与 l2 是否平行; ②l1⊥l2 时,求 a 的值. 【思路点拨】 (1)利用点斜式求方程,也可以用平行直线系. (2)运用两条直线平行或垂直的条件求解,要注意斜率不存在及斜率为 0 的情形.

两直线平行、垂直的判断方法: (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1. (2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率,然后判断两直线平行或垂直,或利用以下方法求解:

2
直线方程

2 2

l1:A1x+B1y+C1=0(A 1 +B 1 ≠0)

2

l2:A2x+B2y+C2=0(A 2 +B 2 ≠0) l1 与 l2 垂直的充要条件 l1 与 l2 平行的充分条件 l1 与 l2 相交的充分条件 l1 与 l2 重合的充分条件

[对点练习] 1.(2015· 西安模拟)设 a∈R,则“a=1”是“直线 ax-y+1=0 与直线 x-ay-1=0 平 行”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________.

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考向二 两直线的交点与距离 【例 2】 (1)经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3: 3x-5y+6=0 的直线 l 的方程为________. (2)已知点 P(2,-1),①求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程;②求过点 P 且与 原点距离最大的直线 l 的方程,并求最大距离. 【思路点拨】 (1)可先求出 l1 与 l2 的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解. (2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解.②结合图形分析 l⊥OP 时满足条件.

1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标, 就是解由两直线方程组成的方程组, 以方程组的解为坐标的点即 为交点. 2.与距离有关问题的常见类型及解题策略 (1)求距离.利用两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线的距离公式直接 求解,也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离. (2)已知距离求参数值.可利用距离公式,得出含参数的方程,解方程即可求解. (3)求距离的最值.可利用距离公式得出距离关于某个点的函数,利用函数知识求最值.

[对点练习] 1. 已知直线 l1 与 l2: x-2y-2=0 平行, 且 l1 与 l2 的距离是, 则直线 l1 的方程为________. 1 2.已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+2=0,分别求满足下 列条件的 k 的值: (1)l1,l2,l3 相交于一点; (2)l1,l2,l3 围成三角形.

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考向三 对称问题 【命题视角】 对称问题是高考常考内容之一,常与光的反射原理、直线与圆(或圆锥曲 线)的位置关系结合命题,其重点是考查学生的等价转化能力,归纳起来常见的命题角度有: (1)中心对称问题:点与点的对称和直线与点的对称; (2)轴对称问题:点关于直线对称和直线关于直线对称. 角度一:中心对称问题 【例 3-1】 求直线 y=-4x+1 关于点 M(2,3)对称的直线方程. 【思路点拨】 思路一:在待求直线上任取一点 P(x0,y0),其关于点 M(2,3)对称的点在 直线 y=-4x+1 上. 思路二:利用待求直线与已知直线平行且点 M(2,3)到两直线的距离相等求解.

(1)点关于点对称 x=2a-x1, 若点 M(x1,y1)与 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 y=2b-y1. (2)直线关于点对称 直线关于点对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关 于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2, 由点斜式得到所求直线方程. 角度二:轴对称问题 【例 3-2】 光线由点 P(-1,3)射出, 遇直线 l: x+y+1=0 反射, 反射光线经过点 Q(4, -2),求入射光线与反射光线所在的直线方程. 【思路点拨】 根据镜面反射的原理,先求点 P 关于 l 的对称点 P′,则直线 P′Q 为 反射光线所在直线,点 Q 关于 l 的对称点为 Q′,则 PQ′为入射光线所在直线.

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(1)点关于直线对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在 对称轴 l 上,而且过 P1,P2 的直线垂直于对称轴 l,由方程组 +C=0, A(y1-y2=B(x1-x2, 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2).(2)直线关于直线对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情况: 一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行.

误区分析 15 误用两点间距离公式致误 [典例剖析] 【典例】 (2015· 吉安模拟)在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为两 点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距离” .则坐标原点 O 与直线 2x-y-2=0 上任意一点 的“折线距离”的最小值是________.

【解析】 在直线 2x-y-2=0 上任取一点 P(x,y), 由题意可知 d(O,P)=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|. 误区:此处在求解时,常因误套 “两点间距离公式”致误 如图, 过 P 作 PQ⊥x 轴, 则|PQ|=2|QM|, 所以 d(O, P)=|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|=|OM|, 当且仅当 P 与 M 重合时,d(O,P)min=|OM|=. 【答案】 【防范措施】 1.熟知新定义, 本题是一新定义问题, 求解的关键是明确 d(O, P)的含义, 不能盲目套用教材公式,导致解题切入点错误. 2.合理转化,化生为熟,本题通过引垂线,巧用图形化折线的距离为三点共线时距离 最小问题,从而避繁为简,化生为熟.

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[对点练习] 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a=________.

课堂达标训练 1.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( ) 1 A.2 1 B.-2 C.2 D.-2

2.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1 =0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( ) A.-10 B.-2 C .0 D.8

3. “a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5 =0 垂直的直线 l 的方程为________.

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