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第一讲 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象



第一讲 函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象
一.知识点预习
1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

/>2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 1 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= ω 叫做周期,f=T叫 做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+2,k∈Z)成轴对称图形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. ★一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2π 由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. M-m M+m , k = 2 2 ,ω 由周期 T 确定,即

二.例题精讲
1 π? 例 1.已知函数 y=3 sin? ?2x-4? (1)用五点法作出函数的图象; (2) 求此函数的振幅、周期和初相; (3) 求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

π x∈R,A>0,ω>0,|φ|< ?的图象(部分) 例 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? 2? ? 如图,则 f(x)的解析式是 π? A.f(x)=2sin? ?πx+6?(x∈R) π? C.f(x)=2sin? ?πx+3?(x∈R) π? B.f(x)=2sin? ?2πx+6?(x∈R) π? D.f(x)=2sin? ?2πx+3?(x∈R) ( )

例 3. (人教 A 版教材习题改编)y=2sin?2x- ? 的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2,π,- 4 1 π B.2, ,- 2π 4 1 π C.2,π,- 8

? ?

π? 4?

).

1 π D.2, ,- 2π 8 )

π 例 4. .已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<2 ?的部分图象如图所示, 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(

?

?

π A.T=6π,φ= 6

π B.T=6π,φ= 3

π C.T=6,φ= 6

π D.T=6,φ= 3

例 5. 函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为(

π 2

).

C.-cos x D.cos x π 3 ? ? ?π? 例 6. 设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,- <φ<0?的最小正周期为 π,且 f? ?= . 2 ? ? ?4? 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

A.-sin x

B.sin x

例 7. 画出函数 y=3sin(2x+

? ),x∈R 的简图 3

x ? 例 8. 写出函数 y= y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像可以由函数 y=sinx 通过怎样的变换而得到. 3 6

三.课堂演练
1.函数 y = 2 sinx + 2 的最大值和最小值分别为 A.2,? 2 B.4,0 C.2,0 2.要得到函数 y = sin (2x ? A.向左平行移动 C.向左平行移动 ( D.4,? 4 ( ) )

?
3

)的图象,只要将函数 y = sin2x 的图象 B.向右平行移动 D.向右平行移动

?
3

个单位 个单位

?
3

个单位 个单位

?
6

?
6

3.函数 y = 2cos x ?1 的定义域____________________,值域________________, 当 y = 0 时 x 的集合为______________________. 4.函数 y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 ; 5.函数 y = 3cos (
1 2

x?

? 3 )的增区间是____________________.

6.函数 y = cos2x ? 3cosx 的最小值是_________ 7. 函数 y = tan (2x +
? 与 y 轴交点的纵坐标是_______, 周期是________, 4 )的图象与 x 轴交点的横坐标是___________________,

定义域为___________________,它的奇偶性是___________________. 8.函数 y=cos(

? 2? x+ )的最小正周期是 4 3

; ;

9.函数 y=2sin(2x+

? )(x∈[-π,0])的单调递减区间是 6

10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于直线 x=

? 对称,则 φ 的最小值是 6

.

四.课后作业
?2 x ? 2 x ? [?1, 0]; ? x ? (0, 2); 的定义域、值域. 1.求函数 f ( x) ? ? ? 1 2 x ?3 x ? [2, ??); ?

?| x ? 1| ?2, (| x |? 1) ? 2. 已知函数 f ( x) ? ? 1 求 f [ f (1 2 )] , (| x | ? 1) ? 2 ?1 ? x

? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 3. 求函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值 ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?

4. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, 求 g ( x) 的表达式.

f ( x) ? 3x ?1 , 设 f ( x) 得反函数为 y ? g ( x) ,

5.判断函数 f ( x) ? ?

2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) 的奇偶性. 2 ? x ( x ? 1) ( x ? 0) ? ?

6、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) = ? 则 f (3) 的值为( A. - 1 ) B. - 2

x?0 ?log2 (4 ? x), , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
C. 1 ) D. 2

?1 x ?( ) ( x ? 4) ,则 f (log 3) ? ( 7、给出函数 f ( x) ? ? 2 2 ? f ( x ? 1 ) ( x ? 4 ) ? 23 1 1 A. B. C. 8 11 19

D.

1 24

x ?1 ? x?2 ? 2e , 8、设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ) 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? 3 ? ? 0 A. B. 1 C. 2 D. 3 ?4 x ? 4, x ? 1, 9.函数 f ( x) ? ? 2 的图象和函数 g ( x) ? log2 x 的图象的交点个数是( ? x ? 4 x ? 3,x ? 1



A.4

B.3

C .2

D.1

10、设函数 f ( x) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)





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