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东城区2014-2015第一学期期末数学统练理科试题和答案



东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

/>第一部分(选择题
要求的一项。 (1)已知集合 A ? {0,1} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A (A) {0,1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限
2

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

B?

(B) {0,1, 2} (D) {x | 0 ? x ? 2}

i 对应的点位于 1+ i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)设 a ? R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 等于 (A) 12 (C) 22 (B) 18 (D) 44
开始

(5)当 n ? 4 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 (A) 6 (B) 8 (C) 14 (D) 30

输入

n

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k
k ? n?
否 输出 S 是

S
结束

1

(6)已知函数 f ( x ) ? ? (A) (?1,0) (C) (?1, 0)

?log 1 x, x ? 0, ? 3
x ? ? 2 , x ? 0,

若 f (a) ?

1 ,则实数 a 的取值范围是 2
(B) (?1, 3) (D) ( ?1,

( 3, ??)
( 3 , ??) 3

3 ) 3

(7)在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标为分别为 (0,0, 2) , (2, 2,0) ,

(0, 2,0) , (2, 2, 2) .画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面,则得到
正视图可以为

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上.若存在 圆 C 上的点 Q ,使得 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围是 (A) [0,1] (B) [0,

8 ] 5

(C) [ ?

1 ,1] 2

(D) [?

1 8 , ] 2 5

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为 1 ,则该抛物线的方程为 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? (10)若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 3x ? y 的最大值为_______. ? x ? 3, ?
(11)在△ ABC 中, a ? 3 , b ? 13 , B ? 60 ,则 c ? _______. (12)已知向量 a , b 不共线,若( ? a ? b )∥( a ? 2b ) ,则实数 ? ? _______. (13)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若 f (1) ? 1 , 则 f (8) ? f (9) ? . ;△ ABC 的面积为

(14)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,

PD ? AD ? 2 , M , N 分别为线段 AC 上的点.若 ?MBN ? 30? ,则三棱锥

2

M ? PNB 体积的最小值为

.
P

D M A N B

C

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象如图所示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 2

? 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 6
y
1

? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2

?? 3

o
?1

?? 12

x

(16) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,满足 a2 ? 3 , a5 ? 6 ,数列 {bn ? 2an } 是公比为 3 等比数 列,且 b2 ? 2a2 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

3

(17) (本小题共 14 分) 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 , M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求

PD 的值. PC
C

A M P

D B

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ?

2 2 , g ( x) ? ?2a ln x ? ,其中 a ? R . x x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x ? [ , e ] ,使得不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围.
2

1 e

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过 P 作斜率为 求证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

3 . 2

1 的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 两点, 2

4

(20) (本小题共 13 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 ( ai ? N , i ? 1, 2, 3),定义“ T 变换” : T 将数列 A 变换成数列 , B : b1 , b2 , b3 ,其中 bi ?| ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) ,且 b3 ? | a3 ? a1 | .继续对数列 B 进行“ T 变换” 得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问数列 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变 换”得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)设数列 A : a1 , a2 , a3 ,对数列 A 进行“ T 变换” ,得到数列 B : b, 2, a (a ? b) ,若数列

B 的各项之和为 2014 ,求 a , b 的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值,并说明理由.

5

东城区 2014-2015 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)D (2)A (6)D (3)B (7)A (4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) y 2 ? 2 x (11) 4 (10) 11 (12) ?

3 3

1 2

(13) 1

(14)

4(2 ? 3) 3

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 ? ? 2 . 当x ?

T 2? ?? ? ? ? ? ,T ? ? . 4 3 12 4

????2 分

2? 2? ? ? ) ? ?1 , 时, f ( x) ? ?1 ,可得 sin(2 ? 3 3 ? ? ,所以 ? ? . 6 2
? ). 6
????5 分

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ?

??????6 分

? ), 6 ? 个单位长度得到 6

将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 的图象, 6 6 6
所以 g ( x) ? sin(2 x ? ) . 因为 0 ? x ? 当 2x ?

? 6

??????10 分

? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 6 2 3

6

当 2x ? (16) (共 13 分)

? ? 1 ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .?13 分 6 6 2

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由 a2 ? 3 , a5 ? 6 得 6 ? 3 ? 3d ,解得 d ? 1 . 所以 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 3 ? (n ? 2) ? n ? 1 . 即 {an } 的通项公式为: an ? n ? 1 , n ? N . 由于 {bn ? 2an } 是公比为 3 的等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 , 所以 bn ? 2an ? (b2 ? 2a2 ) ? 3n?2 ? 9 ? 3n?2 ? 3n . 从而 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n , n ? N? . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n . 数列 {2n ? 2} 的前 n 项和为 n(n ? 3) , 数列 {3n } 的前 n 项和为 ?????6 分
?

3 n (3 ? 1) . 2
2

所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? n +3n ? (17) (共 14 分)

3 n (3 ? 1) . ?????13 分 2

解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC . 因为 BC ? AB , PA

AB ? A ,

所以 BC ? 平面 PAB .又 AM ? 平面 PAB , 所以 AM ? BC . 因为 PA ? AB , M 为 PB 的中点, 所以 AM ? PB . 又 PB

BC ? B ,

所以 AM ? 平面 PBC .???????????5 分

7

(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 AZ ∥ BC ,则 AP, AB, AZ 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

z
C

D A B y
M

P

x
则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0, 2,0), C (0, 2,1) , M (1,1, 0) .

AP ? (2,0,0) , AC ? (0, 2,1) , AM ? (1,1,0) .
设平面 APC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ?n ? AP ? 0, ? x ? 0, 即? ? n ? AC ? 0, ?2 y ? z ? 0. ? ?
令 y ? 1 ,则 z ? ?2 . 所以 n ? (0,1, ?2) . 由(Ⅰ)可知 AM ? (1,1,0) 为平面 BPC 的法向量, 设 n, AM 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 因为二面角 A ? PC ? B 为锐角, 所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为

10 . 10

10 .??????????10 分 10

(Ⅲ)设 D (u, v, w) 是线段 PC 上一点,且 PD ? ? PC(0 ? ? ? 1) . 即 (u ? 2, v, w) ? ? (?2, 2,1) . 所以 u ? 2 ? 2? , v ? 2? , w ? ? . 所以 BD ? (2 ? 2?, 2? ? 2, ? ) . 由 BD ? AC ? 0 ,得 ? ? 因为

4 . 5

4 ? [0,1] ,所以在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC . 5

8

此时, (18) (共 14 分)

PD 4 ?? ? . PC 5

????????????14 分

解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) .??????2 分 x2

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f '(1) ? ?1 , f (1) ? 0 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .??5 分 (Ⅱ) f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) , x ? (0, ??) . x2 (ax ? 1)( x ? 2) 1 1 ? 0 ,得 x1 ? 2 , x2 ? ? 2 . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a
1 a 1 a

当0 ? a ?

所以在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . 当a ?

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 时, f '( x) ? . 2 2x2
(ax ? 1)( x ? 2) 1 1 1 ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 2 ? . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a a
1 a 1 a

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 当a ?

所以在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) .?10 分 (Ⅲ)由题意存在 x ? [ , e ] ,使不等式 ax ? (2a ? 1) ln x ?
2

1 a

1 a

1 e

2 2 ? ?2a ln x ? 成立, x x

即存在 x ? [ , e ] , a ?
2

1 e

ln x 成立, x

只需 a 大于或等于 令 h( x ) ?

ln x 1 2 在区间 [ , e ] 上的最小值. x e

ln x 1 ? ln x , h '( x) ? . x x2

在区间 ( , e) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为增函数; 在区间 (e,e ) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为减函数.
2

1 e

9

所以 h( x) 在 [ , e ] 上的最小值为 h ( ) 与 h(e 2 ) 中的较小者.

1 e

2

1 e

1 2 h( ) ? ?e , h(e 2 ) ? 2 , e e
所以 h( x) 在 [ , e ] 上的最小值为 h( ) ? ?e .
2

1 e

1 e

所以 a ? ? e . 所以 a 的取值范围为 [?e, ??) . (19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为 ????14 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 . , a 2 ? ?b ? 1, ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 4
1 ( x ? m) . 2

(Ⅱ)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?

1 ? y ? ( x ? m), ? ? 2 2 2 由? 2 消 y 得 2 x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 (*) . x 2 ? ? y ? 1, ? ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个根,

m2 ? 4 所以 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ? . 2
2 2 所以 | PA | 2 ? | PB | 2 ? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x2 ? m) 2 ? y2

1 1 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 4 4

5 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4
5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] 4

5 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4

10

5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) . 4
所以 | PA | 2 ? | PB | 2 为定值. (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)数列 A : 2 , 6 , 4 不能结束. 各数列依次为 4 ,2 ,2 ;2 ,0 ,2 ;2 ,2 ,0 ;0 ,2 ,2 ;2 ,0 ,2 ; ??, 从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形. (Ⅱ)因为 a ? b ,所以 a 是 B 中最大项. 所以有 a1 ? a2 ? a3 或 a3 ? a2 ? a1 . ?4 分 ????????????13 分

?b ? a1 ? a2 , ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 , ?a ? a ? a . 1 3 ?
因为 B 的各项和为 2014 , 所以 a ? b ? 2 ? 2014 .又 a ? b ? 2 , 解得 a ? 1007 , b ? 1005 .另一情况相同. ????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,数列 B : b , 2 , b ? 2 经过 6 次“ T 变换”后可得: b ? 12 , 2 ,

b ? 10 ,得到形如“ b ? , 2 , b? ? 2 ”的数列,其中最大项减少12 .
因为 1007 ? 12 ? 83 ? 11 , 所以数列 B 经过 6 ? 83 ? 498 次变换后变为: 9 , 2 ,11 . 继续变换得: 7 , 9 , 2 ; 2 , 7 , 5 ; 5 , 2 , 3 ; 3 ,1 , 2 ; 2 ,1 ,1 ;1 ,

0 ,1 ;1 ,1 , 0 ; 0 ,1 ,1 ;1 , 0 ,1 ;??,以下重复出现.
故经过 498 ? 6 ? 504 次变换后,使得数列各项之和最小. 即 k 的最小值为 504 . ????13 分

11



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