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河北省蠡县中学2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理



2016-2017学年河北省保定市蠡 县中学高二(下)期末数学试卷(理科)
  一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡上) 1.曲线y=x2在(1,1)处的切线方程是(  )   A. 2x+y+3=0 2x﹣y﹣1=0   2.定义运算   A. 3﹣i   3.复数z=   A

. 25   4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(   )   A. 假设至少有一个钝角   B. 假设没有一个钝角   C. 假设至少有两个钝角   D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角   5.观察按下列顺序排序的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=3 1,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为(  ) 1 ,| |是(  ) B. 5 C. 1 D. 7 ,则符合条件 B. 1+3i C. 3+i 的复数z为(  ) D. 1﹣3i B. 2x+y﹣3=0 C. 2x+y+1=0 D.

  A. 9(n+1)+n=10n+9   C. 9n+(n﹣1)=10n﹣1   6.点M的直角坐标是   A. B.

B. 9(n﹣1)+n=10n﹣9 D. 9(n﹣1)+(n﹣1)=10n﹣10

,则点M的极坐标为(  ) C. D.

  7.曲线y=cosx(0≤x≤ )与x轴以及直线x= 所围图形的面积为(  )

  A. 4  

B. 2

C.

D. 3

8.若f′(x0)=﹣3,则   A. ﹣3   9.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为(  )   A. 一条射线和一个圆   C. 一条直线和一个圆   B. ﹣12 C. ﹣9

=(  ) D. ﹣6

B. 两条直线 D. 一个圆

10.平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值



类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(  )   A.   2 B. C. D.

11.用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分 ,则f(n)=1+ f(k)+(  )   A. k﹣1   12.已知f(x)=x+x3,且x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0则(  )   A. f(x1)+f(x2)+f(x3)>0   C. f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不能确定     二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题纸上 .) 13.   14.设Z1=i4+i5+i6+…+i12,Z2=i4?i5?i6?…?i12,则Z1,Z2关系为       .   15.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数),在[﹣3,3]上有最小值3,那么在[﹣3 ,3]上f(x)的最大值是      .   16.函数g(x)=ax3+2(1﹣a)x2﹣3ax在区间[﹣3,3]内单调递减,则a的取 值范围是      .     ( ﹣2x)dx=      . B. f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 D. B. k C. k+1 D. .”在证明第二步归纳递推的过程中,用到f(k+1)=

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三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 17.在平面直角坐标系中已知点A(3,0),P是圆x2+y2=1上一个动点,且∠AO P的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹的极坐标方程.

  18.已知F(x)= (1)求F(x)的单调区间; (2)求函数F(x)在[1,3]上的最值.   19.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=﹣1. (Ⅰ)求常数a,b,c的值; (Ⅱ)求f(x)的极值.   20.已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan(n∈N*) (1)计算a1,a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.   21.已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足 f(﹣x)=﹣f(x),当x=1时f(x)取得极值﹣2. (1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明:对任意x1,x2∈(﹣1,1),不等式|f(x1)﹣f(x2)|<4恒成立 .   dt,(x>0).

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22.已知函数f(x)=ln|x|(x≠0),函数g(x)=

(x≠

0) (1)当x≠0时,求函数y=g(x)的表达式; (2)若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值; (3)在(2)的条件下,求直线y= 积.     与函数y=g(x)的图象所围成图形的面

5

2016-2017学年河北省保定市蠡县中学高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡上) 1.曲线y=x2在(1,1)处的切线方程是(  )   A. 2x+y+3=0 2x﹣y﹣1=0 B. 2x+y﹣3=0 C. 2x+y+1=0 D.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析: 先求出导数,再把x=1代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化为一般 式. 解答: 解:由题意知,y′=2x,

∴在(1,1)处的切线的斜率k=2, 则在(1,1)处的切线方程是:y﹣1=2(x﹣1), 即2x﹣y﹣1=0, 故选D. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线斜率是该点处的导数值 ,以及直线方程的点斜式和一般式的应用,属于基础题.   2.定义运算   A. 3﹣i ,则符合条件 B. 1+3i C. 3+i 的复数z为(  ) D. 1﹣3i

6

考点:二阶行列式的定义;复数代数形式的混合运算. 专题:计算题. 分析: 根据定义,将已知转化,可以得出z(1+i)=4+2i,再利用复数的除法运 算法则求出复数z即可. 解答: 解:根据定义,可知1×zi﹣(﹣1)×z=4+2i,即z(1+i)=4+2i,∴z= = 故选A. 点评: 本题考查了复数的代数运算,利用所给的定义将已知转化为z(1+i)=4+ 2i是关键.   3.复数z=   A. 25 ,| |是(  ) B. 5 C. 1 D. 7 =3﹣i.

考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的模求解运算法则,直接求解即可. 解答: 解:复数z= ,| |= = =1.

故选:C. 点评: 本题考查复数的模的求法,分式的模等于分子的模除以分母的模,是基 础题.   7

4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(   )   A. 假设至少有一个钝角   B. 假设没有一个钝角   C. 假设至少有两个钝角   D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角

考点:反证法与放缩法. 专题:应用题. 分析: 根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至 少有两个钝角”,从而得出结论. 解答: 解:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内 角至少有两个钝角”, 故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个 钝角, 故选C. 点评: 本题考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,得到要证的 结论的反面,是解题的突破口.   5.观察按下列顺序排序的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=3 1,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为(  )   A. 9(n+1)+n=10n+9   C. 9n+(n﹣1)=10n﹣1 B. 9(n﹣1)+n=10n﹣9 D. 9(n﹣1)+(n﹣1)=10n﹣10

考点:归纳推理. 8

专题:探究型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据已知条件中的等式,分析 等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系,易得等式左边分别为9与编 号减1的积加上编号,等式右边的是一个等差数列,归纳后即可推断出第n(n∈ N*)个等式. 解答: 解:由已知中的式了,我们观察后分析:

等式左边分别为9与编号减1的积加上编号, 等式右边的是一个等差数列, 根据已知可以推断: 第n(n∈N*)个等式为: 9(n﹣1)+n=10n﹣9 故选B. 点评: 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;( 2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).   6.点M的直角坐标是   A. B. ,则点M的极坐标为(  ) C. D.

考点:极坐标刻画点的位置. 专题:计算题. 分析:利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,先将点M的直角坐标是 后化成极坐标即可. 解答: 解:由于ρ2=x2+y2,得:ρ2=4,ρ=2, 9

由ρcosθ=x得:cosθ=

,结合点在第二象限得:θ=



则点M的极坐标为 故选C. 点评:



本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关 系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.   7.曲线y=cosx(0≤x≤ )与x轴以及直线x= 所围图形的面积为(  )

  A. 4

B. 2

C.

D. 3

考点:余弦函数的图象. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x= 的面积,然后根据定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:由定积分定义及余弦函数的对称性, 所围图形部分的面积为: 所围图形部分

可得曲线y=cosx以及直线x=

S=3∫

cosxdx=3sinx|

=3sin

﹣3sin0=3,

所以围成的封闭图形的面积是3. 故选:D.

10

点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用,考查运算求解能力,化归与 转化思想思想,属于基本知识的应用.   8.若f′(x0)=﹣3,则   A. ﹣3 B. ﹣12 C. ﹣9 =(  ) D. ﹣6

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据 = [4? ]=4

( 解答:

)=4f′(x0),利用条件求得结果. 解:∵f′(x0)=﹣3,则 = [4? ]=4 (

)=4f′(x0)=4×(﹣3)=﹣12, 故选:B. 点评:本题主要考查函数在某一点的导数的定义,属于基础题.   9.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为(  ) 11

  A. 一条射线和一个圆   C. 一条直线和一个圆

B. 两条直线 D. 一个圆

考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析:将极坐标方程化为直角坐标方程,就可以得出结论 解答: 解:极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为:ρcosθ=4sinθcosθ

∴cosθ=0或ρ=4sinθ ∴ 或x2+y2﹣4y=0

∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆 故选C. 点评: 研究极坐标问题,我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程,再进 行研究.   10.平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 ,

类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(  )   A. B. C. D.

考点:类比推理. 专题:规律型;空间位置关系与距离. 分析: 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平 面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比 推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 12

固我们可以根据已知中平面几何中,关于线的性质“正三角形内任意一点到三 边距离之和是一个定值”,推断出一个空间几何中一个关于面的性质. 解答: , 在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图: 由棱长为a可以得到BF= ,BO=AO= a﹣OE, 解:类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2, 把数据代入得到OE= a,

∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4× 故选B.

a=

a,

点评: 本题是基础题,考查类比推理及正四面体的体积的计算,转化思想的应 用,考查空间想象能力,计算能力.  

13

11.用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分 ,则f(n)=1+ f(k)+(  )   A. k﹣1 B. k C. k+1 D. .”在证明第二步归纳递推的过程中,用到f(k+1)=

考点:数学归纳法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:写出当n=k时和n=k+1时的表达式,把写出的表达式相减,得到结论. 解答: 解:当n=k(k≥2)时,有f(k)=1+

那么当n=k+1时,f(k+1)=1+



∴从“k到k+1”左端需增加的代数式1+ +2﹣k)=k+1,

﹣1﹣

=

(k

∴在证明第二步归纳递推的过程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1), 故选:C. 点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.   12.已知f(x)=x+x3,且x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0则(  )   A. f(x1)+f(x2)+f(x3)>0   C. f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不能确定 B. f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 D.

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 14

分析: 通过函数的表达式,判断函数的单调性,与奇偶性,根据任意的x1+x2<0 ,x2+x3<0,x1+x3<0,判断f(x1)+f(x2)+f(x3)的符号. 解答: 解:函数f(x)=x+x3,(x∈R)是奇函数,

而且f′(x)=1+3x2,f′(x)>0; 函数f(x)=x+x3是增函数,f(0)=0, 所以对于任意的x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,x1<﹣x2,x2<﹣x3,x3<﹣x1 所以,f(x1)<f(﹣x2)=﹣f(x2),f(x2)<f(﹣x3)=﹣f(x3),f(x3 )<f(﹣x1)=﹣f(x1), 即f(x1)+f(x2)<0,f(x2)+f(x3)<0,f(x3)+f(x1<0, 所以f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 故选:B 点评: 本题考查了不等式,函数的导数的应用,函数的单调性奇偶性,考查学 生的逻辑推理能力,计算能力.   二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题纸上 .) 13. ( ﹣2x)dx=  ﹣1 .

考点:定积分. 专题:计算题;数形结合. 分析:由差的积分等于积分的差得到 )dx﹣ ( ﹣2x)dx= ( (

2xdx,然后由微积分基本定理求出 2xdx,则答案可求. ﹣2x)dx 2xdx. 15

)dx,求出定积分 解答: = ( 解: ( )dx﹣



,则(x﹣1)2+y2=1(y≥0),

表示的是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆. ∴ 又 ∴ ( 2xdx= ( . ﹣2x)dx= . )等于四分之一圆的面积,为 .

故答案为:



点评:本题考查了定积分,考查了微积分基本定理,是基础的计算题.   14.设Z1=i4+i5+i6+…+i12,Z2=i4?i5?i6?…?i12,则Z1,Z2关系为 Z1=Z2 .

考点:虚数单位i及其性质. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由虚数单位的性质分别计算可得结论. 解答: 解:Z1=i4+i5+i6+…+i12

=1+i﹣1﹣i+…+1=1, Z2=i4?i5?i6?…?i12 =1×i×(﹣1)×(﹣i)…×1 =(﹣1)2×1=1 ∴Z1=Z2, 故答案为:Z1=Z2 点评:本题考查复数的代数运算,涉及虚数单位的性质,属基础题.   15.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数),在[﹣3,3]上有最小值3,那么在[﹣3 ,3]上f(x)的最大值是 57 .

16

考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题. 分析: 要求f(x)的最大值,先求出函数的导函数,令其等于0求出驻点,在[ ﹣3,3]上分三种情况讨论得函数的极值,然后比较取最大值即可. 解答: 解析:f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=0,得3x(x+2)=0?x=0,x=﹣2 . (i)当0≤x≤3,或﹣3≤x≤﹣2时,f′(x)≥0,f(x)单调递增, (ii)当﹣2<x<0时,f(x)单调递减,由最小值为3知,最小为f(﹣3)或f (0)? f(﹣3)=(﹣3)3+3×(﹣3)2+a=a,f(0)=a,则a=3, ∴f(x)=x3+3x2+3,其最大值为f(﹣2)或f(3), f(﹣2)=(﹣2)3+3×(﹣2)2+3=7,f(3)=33+3×32+3=57,则最大值为57 . 故答案为:57. 点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力.   16.函数g(x)=ax3+2(1﹣a)x2﹣3ax在区间[﹣3,3]内单调递减,则a的取 值范围是 (﹣∞,﹣1] .

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由g′(x)=3ax2+4(1﹣a)x﹣3a,函数g(x)=ax3+2(1﹣a)x2﹣3ax 在区间[﹣3,3]内单调递减,则g′(x)=3ax2+4(1﹣a)x﹣3a≤0在区间[﹣3 ,3]上恒成立,对a进行分类讨论,结合二次函数的图象和性质,可得满足条件 的a的取值范围. 17

解答: 解:∵函数g(x)=ax3+2(1﹣a)x2﹣3ax在区间[﹣3,3]内单调递减, ∴g′(x)=3ax2+4(1﹣a)x﹣3a≤0在区间[﹣3,3]上恒成立, (1)a=0时,g′(x)≤0,解得:x≤0,不满足要求; (2)a>0,g′(x)是一个开口向上的抛物线, 要使g′(x)≤0在区间[﹣3,3]上恒成立, 则 解得:a≤﹣1(舍去); (3)a<0,g′(x)是一个开口向下的抛物线,且以直线x= 为对称轴,

此时由

>0可知,要使g′(x)≤0在区间[﹣3,3]上恒成立,

则g′(3)=12a+12≤0 解得:a≤﹣1, ∴a的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 故答案为:(﹣∞,﹣1] 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,渗透了分类讨论思想,是一道 综合题.   三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 17.在平面直角坐标系中已知点A(3,0),P是圆x2+y2=1上一个动点,且∠AO P的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹的极坐标方程.

18

考点:轨迹方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:直线与圆. 分析:利用角平分线的性质和三角形的面积公式即可得出. 解答: 解:以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设Q(ρ,θ),则P (1,2θ). ∵S△OPQ+S△OQA=S△OAP, ∴ = .

化为 点评:



熟练掌握极坐标系的有关知识、角平分线的性质和三角形的面积公式是 解题的关键.   18.已知F(x)= (1)求F(x)的单调区间; (2)求函数F(x)在[1,3]上的最值. dt,(x>0).

考点:微积分基本定理;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;导数的概念及应用.

19

分析:

(1)由定积分计算公式,结合微积分基本定理算出 .再利用导数,研究F'(x)的正负,即可得到函数F(x

)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2). (2)根据F(x)的单调性,分别求出F(1)、F(2)、F(3)的值并比较大小 ,可得F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是 解答: 解:依题意得, , 定义域是(0,+∞).(2分) (1)F'(x)=x2+2x﹣8, 令F'(x)>0,得x>2或x<﹣4; 令F'(x)<0,得﹣4<x<2, 且函数定义域是(0,+∞), ∴函数F(x)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).(6分) (2)令F'(x)=0,得x=2(x=﹣4舍), 由于函数在区间(0,2)上为减函数,区间(2,3)上为增函数, 且 , ,F(3)=﹣6, .

∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是 ) 点评:

.(10分

本题利用定积分求一个函数的原函数,并研究原函数的单调性和闭区间 上的最值.着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等 知识,属于中档题.   19.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=﹣1. 20

(Ⅰ)求常数a,b,c的值; (Ⅱ)求f(x)的极值.

考点:函数模型的选择与应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,由函数x=±1处取得极值,且f(1)=﹣1, 得到f'(1)=f'(﹣1)=0,f(1)=﹣1,代入x值后联立方程组求解a,b,c的 值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中求得的a,b,c得到函数f(x)的具体解析式,求出导函数后 解得导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,判断出导函数在各段内的 符号,得到原函数的单调性,从而得到极值点,并求出极值. 解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=ax3+bx2+cx,得

f'(x)=3ax2+2bx+c,由已知有f'(1)=f'(﹣1)=0,f(1)=﹣1,

即:

?

,解得:



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,



∴ 当x<﹣1时,或x>1时,f'(x)>0, 当﹣1<x<1时,f'(x)<0.



∴f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)内分别为增函数; 在(﹣1,1)内是减函数. 因此,当x=﹣1时,函数f(x)取得极大值f(﹣1)= =1; 21

当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)= 点评:

=﹣1.

本题考查了函数模型的选择及应用,考查了利用导数求函数的极值,训 练了方程组的解法,是中档题.   20.已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan(n∈N*) (1)计算a1,a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

考点:数学归纳法;数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由Sn与an的关系,我们从n=1依次代入整数值,即可求出a1,a2,a3 ,a4; (2)由a1,a2,a3,a4的值与n的关系,我们归纳推理出数列的通项公式,观察 到它们是与自然数集相关的性质,故可采用数学归纳法来证明. 解答: 解:(1)计算得 ; ; ; .

(2)猜测:

.下面用数学归纳法证明

①当n=1时,猜想显然成立. ②假设n=k(k∈N*)时,猜想成立, 即 .

那么,当n=k+1时,Sk+1=1﹣(k+1)ak+1, 即Sk+ak+1=1﹣(k+1)ak+1.

22





所以



从而



即n=k+1时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立. 点评: 本题(2)中的证明要用到数学归纳法,数学归纳法常常用来证明一个与 自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠 基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对 一切自然数n都成立.   21.已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足 f(﹣x)=﹣f(x),当x=1时f(x)取得极值﹣2. (1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明:对任意x1,x2∈(﹣1,1),不等式|f(x1)﹣f(x2)|<4恒成立 .

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭 区间上函数的最值. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由f(﹣x)=﹣f(x)(x∈R)得d=0,求得f(x)的导数,由题意

23

可得f′(1)=0,f(1)=﹣2,解得a=1,c=﹣3,求得f(x)的导数,令导数 大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,进而得到极大值; (2)求出f(x)在[﹣1,1]的最大值M和最小值m,对任意的x1,x2∈(﹣1,1 ),恒有|f(x1)﹣f(x2)|<M﹣m,即可得证. 解答: 解:(1)由f(﹣x)=﹣f(x)(x∈R)得d=0,

∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=ax2+c. 由题设f(1)=﹣2为f(x)的极值,必有f′(1)=0, ∴ 解得a=1,c=﹣3,

∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1) 从而f′(1)=f′(﹣1)=0. 当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,则f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数 ; 在x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,则f(x)在(﹣1,1)上是减函数, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴f(﹣1)=2为极大值. (2)证明:由(1)知,f(x)=x3﹣3x在[﹣1,1]上是减函数, 且f(x)在[﹣1,1]上的最大值M=f(﹣1)=2, 在[﹣1,1]上的最小值m=f(1)=﹣2. 对任意的x1,x2∈(﹣1,1),恒有|f(x1)﹣f(x2)|<M﹣m=2﹣(﹣2)=4 . 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用,考查导数的运用:求单调区间和极值、 最值,考查运算能力,属于中档题.   22.已知函数f(x)=ln|x|(x≠0),函数g(x)= (x≠

0) 24

(1)当x≠0时,求函数y=g(x)的表达式; (2)若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值; (3)在(2)的条件下,求直线y= 积. 与函数y=g(x)的图象所围成图形的面

考点: 定积分在求面积中的应用;函数解析式的求解及常用方法;利用导数求 闭区间上函数的最值. 专题:计算题. 分析: (1)对x的取值分类讨论,化简绝对值,求出f′(x)得到x>0和x<0 导函数相等,代入到g(x)中得到即可; (2)根据基本不等式得到g(x)的最小值即可求出a; (3)根据(2)知 ,先联立直线与函数解析式求出交点

,利用定积分求直线和函数图象围成面积的方法求出即可. 解答: ∴当x>0时, ∴当x>0时, 解:(1)∵ ,当x<0时, ,当x<0时, , …(1分) …(2分)

∴当x≠0时,函数

…(4分)

(2)∵由(1)知当x>0时, ∴当a>0,x>0时, ∴函数 ∴依题意得 在

, 当且仅当 时取等号 …(6分) …(7分)

上的最小值是 ∴a=1…(8分) 25

(用导数求最小值参考给分) (3)根据(2)知a=1,∴ …(9分)



解得

…(10分)

∴直线

与函数

的图象所围成图形的面积

…(11分)

.…(14分). 点评: 考查学生导数运算的能力,理解函数最值及几何意义的能力,利用定积 分求平面图形面积的能力.  

26



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