9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第6章 第1课时 数列的基本概念



第六章

数列

第1课时

数列的基本概念

? 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、 通项公式).

? 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

? 请注意
? 关于数列的概念问题,虽然在高考中很少独立命题,但数 列的通项

公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题 之中,因此对本节要细心领会,认真掌握.

课前自助餐

授人以渔 自助餐

题组层级快练

课前自助餐

? 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、

通项公式).
? 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

? 请注意
? 关于数列的概念问题,虽然在高考中很少独立命题,但数 列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题 之中,因此对本节要细心领会,认真掌握.

? 1.数列的概念 一定次序 ? 按 排成的一列数叫做数列. ? 2.数列的通项公式

an ? 数列{an}的第n项 与n之间的关系可以用一个公式an=f(n) 来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.

? 3.数列与函数 ? 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,?,n})的函数,当自变量 从小到大 依次 取值时对应的一列函数值.数列的通项公式是相应函数的 一群孤立的点 解析式,它的图像是 . ? 4.数列的分类 ? (1)根据数列的项数可分为 有穷数列 无穷数列 、___________.

? (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为:
? ①递增数列;②递减数列;③摆动数列;④常数列.

? 5.递推公式 ? 如果已知数列{an}的第1项(或前几项),任一项an与它的前 一项a (或前几项)间的关系可以用一个公式 来表
n-1

示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

? 1.(课本习题改编)已知数列的通项公式an=n2-5n-14, n∈N*,则: ? (1)这个数列的第4项是__________; ? (2)52是这个数列的第__________项;

? (3)这个数列的第__________项最小;
? (4)这个数列前__________项的和最小. ? 答案 (1)-18 (2)11 (3)2或3 (4)6或7

2.已知数列 2 , 5 ,2 2 ,?,则2 5 是该数列的 ( ) A.第5项 C.第7项 B.第6项 D.第8项

答案 C

解析 由数列 2, 5 ,2 2,?的前三项 2 , 5 , 8 可知,数列的通项公式为an= 3n-1=2 5,可得n=7. 2+3?n-1? = 3n-1 ,由

1 3.(2014· 新课标全国Ⅱ文)数列{an}满足an+1= , 1-an a8=2,则a1=________.

1 答案 2

1 1 解析 由an+1= 及a8=2,得2= ,解得a7= 1-an 1-a7 1 1 1 1 2 ;由a7= 2 ,得 2 = 1-a6 ,解得a6=-1;同理可得a5=2.由 1 1 此可得,a4=2,a3=-1,a2=2,a1=2.

? 4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a7+a8的值为______.
? 答案 ? 解析 28 a7+a8=S8-S6=82-62=28.

? 5.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

? 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的 个数n之间的关系式可以是________.

? 答案

an=2n+1

授人以渔

题型一 归纳通项公式
例1 公式: (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 1 (3)1,0,3,0,5,0,7,0,? 3 7 9 (4) ,1, , ,? 2 10 17 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项

【解析】 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其 各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面 数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)将数列变形为 9 (1-0.1), 9 (1-0.01), 9 (1- 8 1 0.001),?,∴an=9(1- n). 10

1 0 1 0 1 0 1 0 (3)把数列改写成 , , , , , , , ,?,分母 1 2 3 4 5 6 7 8 依次为1,2,3,?,而分子1,0,1,0,?周期性出现,因此数列 1+?-1?n+1 的通项可表示为an= . 2n

3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 2 5 10 17 3,5,7,9,?,是序号的2倍加1, 可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列1,4,9,16,?, 即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为an= 2 . n +1

8 1 【答案】 (1)an=(-1) (6n-5) (2)an= (1- n ) 9 10
n

1+?-1?n+1 2n+1 (3)an= (4)an= 2 2n n +1

? 探究1 (1)此类问题常常将数列的各项结构形式分解成若
干个基本数列对应项的“和”、“差”、“积”,再进行 分析归纳. ? (2)有些数列的通项公式可以用分段函数形式表示. ? (3)应熟记一些基本数列的通项公式.

思考题1
(1)3,5,9,17,33,?

写出下列数列的一个通项公式:

8 15 24 (2)-1,5,- 7 , 9 ,?

? 【解析】

(1)观察各项的特点:每一项都比2的n次幂多1,

所以an=2n+1.

(2)数列的符号规律为(-1)n,由第二、三、四项特 3 点,可将第一项看作- ,这样,先不考虑符号,则分母为 3 3,5,7,9,?,可归纳为2n+1,分子为3,8,15,24,?,将其 每一项加1后变成4,9,16,25,?,可归纳为(n+1)2,综上, 数列的通项公式为
2 2 ? n + 1 ? - 1 n n n +2n an=(-1) · =(-1) . 2n+1 2n+1

2 n n n +2n 【答案】 (1)an=2 +1 (2)an=(-1) 2n+1

别忘记改 ? 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式. (2)Sn=3n+b. (1)当n=1时,a1=S1=-1.

? (1)Sn=2n2-3n; ? 【解析】

? 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 ? =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. ? ∴an=4n-5.

(2)当n≥2时, Sn-Sn-1=an=3n+b-3n-1-b=2· 3n-1. 当n=1时,a1=S1=3+b. ∴当b=-1时,a1=3-1=2适合an=2· 3n 1.


∴an=2· 3n 1 .


当b≠-1时,a1=3+b不适合an=2· 3n-1.
n-1 ?2· ? 3 ∴an=? ? ?3+b

?n≥2?, ?n=1?.

【答案】 (1)an=4n-5 (2)当b=-1时,an=2· 3n-1;
? 3n-1 ?2· 当b≠-1时,an=? ? ?3+b

?n≥2?, ?n=1?

? 【讲评】

①学生在解此题时经常出现两种错误,一是忽

略了n=1的特殊情况,二是把公式错用成an=Sn+1-Sn;
②一种能迅速判断出a1是否也符合由an=Sn-Sn-1求出的一 般式的方法是:若S0=0则符合,否则不符合.这种方法一 般不能作为解答题的步骤,但用其解某些选择、填空题或 用来检验不失为一种简单易用的好办法.

探究2 an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1的条件是n≥2,求 an时切勿漏掉n=1即a1=S1的情况.一般地,当a1=S1适合an =Sn-Sn-1时,an=Sn-Sn-1;当a1=S1不适合an=Sn-Sn-1
? ?S1 时,an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

?

思考题2

(1)已知{an}的前n项和为Sn,满足log2(Sn

+1)=n+1,则an=________.

【解析】 ∵Sn+1=2n+1,∴Sn=2n+1-1. ∴n=1时,a1=3. n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n.
?3,n=1, ? ∴an=? n ? ?2 ,n≥2. ? ?3,n=1, 【答案】 ? n ? ?2 ,n≥2

(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2, 1 n∈N ),a1=2,求an. 【思路】 由已知条件可将an=Sn-Sn-1(n≥2)代入等
*

式,得关于Sn与Sn-1的一个等式,经变形推得数列 等差数列的特征,进而求得Sn,再得an.

?1? ? ? ?Sn?

具有

【解析】 ∵当n≥2,n∈N*时an=Sn-Sn-1, 1 1 ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,即 - =2. Sn Sn-1
?1? ∴数列?S ?是公差为2的等差数列. ? n?

1 1 1 又S1=a1= ,∴ =2,∴ =2+(n-1)· 2=2n. 2 S1 Sn 1 ∴Sn= . 2n

1 1 ∴当n≥2,n∈N 时,an=-2SnSn-1=-2· · = 2n 2?n-1?
*

1 - . 2n?n-1? ?1 ?n=1?, ?2 ∴an=? 1 ?- ?n≥2,n∈N*?. ? 2n?n-1?
?1 ?n=1?, ?2 【答案】 an=? 1 ?- ?n≥2,n∈N*? ? 2n?n-1?

题型三 数列的周期性 ? 例3 (1)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1- an(n∈N*),则a2 015等于________. ? 【解析】 方法一:由a1=1,a2=5,an+2=an+1- an(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…. ? 由此可得a2 015=a335×6+5=a5=-5. ? 方法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1, ? 两式相加可得an+3=-an,an+6=an. ? ∴a2 015=a335×6+5=a5=-5. ? 【答案】 -5

1 ? ?2an,0≤an≤2, (2)数列{an}满足an+1= ? ?2an-1,1<an<1, 2 ? 则数列的第2 013项为________.

3 a1= 5 ,

3 1 【解析】 ∵a1= ,∴a2=2a1-1= . 5 5 2 4 ∴a3=2a2= .∴a4=2a3= . 5 5 3 1 ∴a5=2a4-1=5,a6=2a5-1=5,?. 3 ∴该数列周期为T=4.∴a2 013=a1=5.

3 【答案】 5

? 探究3

数列的周期性是数列的函数性质之一,其解法往往

是依题意列出数列的前若干项,从而发现规律找到周期.

思考题3

已知数列{an}满足a1=0,an+1

an- 3 = (n∈N*),则a2 015等于________. 3an+1

【解析】 由已知得a1=0,a2=- 3 ,a3= 3 ,a4= 0,a5=- 3 ,?,由此可知数列{an}的项是以3为周期重复 出现的,而2 015=3×671+2,因此a2 015=a2=- 3.
【答案】 - 3

题型四 函数思想在数列中的应用
10 n 例4 已知数列{an}的通项an=(n+1)· ( 11 ) (n∈N*),试 问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的 项数;若没有,说明理由.

【思路】 因an是n的函数,难点在an是一个一次函数(n 10 n +1)与一个指数函数( 11 ) 的积.所以从一次函数或指数函数 增减性看,一增一减积不确定.但n∈N*,不妨试从比较an 与an+1的大小入手.

10 n+1 10 n 【解析】 ∵an+1-an=(n+2)( 11 ) -(n+1)( 11 ) = 10 n 9-n ( 11) ·11 , ∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 故a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 10 9 ∴数列{an}有最大项a9或a10,其值为10· ( 11 ) ,其项数 为9或10.

? 【答案】
? 探究4

9或10

利用函数(数列)的单调性求最值是新课标教材中的

一个热点.

思考题4
项是第k项,则k=________.

2 n 若数列{n(n+4)( 3 ) }中的最大

【解析】 由题意得 2k 2 k-1 ? ?k?k+4??3? ≥?k-1??k-1+4??3? , ? ?k?k+4??2?k≥?k+1??k+1+4??2?k+1, 3 3 ?
2 ? ??k-1? ≤10, 化简得? 2 ? ?k ≥10.

又因为k∈N*,所以k=4.

【答案】 4

? 1.已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下 几个方面来考虑: ? (1)符号用(-1)n或(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶 交错. ? (2)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借 助分子、分母的关系.

? (3)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数
列和其他方法来解决.

? (4)此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察 规律、类比已知数列、转化成特殊数列(等差、等比)等方

法.
? 2.Sn与an之间两种转化途径,注意n=1和n≥2两种情况. ? 3.由Sn求an时,注意n=1和n>1两种情况,最后看二者是 否统一.

自助餐

? 1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中,x应取(

)

? A.19
? C.21 ? 答案 ? 解析 故选C. C

B.20
D.22

a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,∴x=8+13=21,

2.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2, a3 n∈N ),则 的值是( a5
*

) 15 B. 8 3 D.8

15 A. 16 3 C.4
答案 C

解析 由已知得a2=1+(-1)2=2. 1 ∴a3· a2=a2+(-1) ,∴a3=2.
3

1 1 ∴ a4= +(-1)4,∴a4=3. 2 2 2 ∴3a5=3+(-1) ,∴a5=3.
5

a3 1 3 3 ∴ = × = . a5 2 2 4

? 3.在数列{an}中,已知a1=a,a2=b,an+1+an-1=

an(n≥2),则a2 016等于(
? A.a ? C.b-a ? 答案 ? 解析 D B.b

)

D.a-b

通过计算数列的前12项可知,数列的周期为6,而2

016=6×336,∴a2 016=a6=a-b.

? 4.(2014·辽宁)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}

为递减数列,则(
? A.d<0 ? 答案 ? 解析 ? C.a1d<0 D.a1d>0 C

)
B.d>0

∵数列{2a1an}为递减数列,∴2a1an>2a1an+1,n∈N*,

∴a1an>a1an+1,∴a1(an+1-an)<0.∵{an}为公差为d的等差
数列,∴a1d<0.故选C.

? 5.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干 图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________ 块.(用含n的代数式表示)

? 答案
? 解析

4n+8
第(1),(2),(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3

=12;24-8=16;35-15=20;?由此可猜测第n个图案 黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8.

? 6.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an, n∈N*,则a2 009=________;a2 014=________.

? 答案
? 解析 =0.

1,0
a2 009=a503×4-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1



更多相关文章:
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 第6章 数列 第1讲数列的概念及简单表示法
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 第6章 数列 第1数列的概念及简单表示法_数学_高中教育_教育专区。第1数列的概念及简单表示法 ...
【优化指导】2015高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理(含解析)新人教版
【优化指导】2015高考数学总复习 第6章 第1数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总...
第六章 6.1数列基本概念
第六章 6.1数列基本概念_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第六章 6.1数列基本概念_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§...
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第6章 第1节 数列的概念
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第6章 第1数列的概念_数学_高中教育_教育专区。第六章 第一节 一、选择题 1.(文)给定数列 1,2+3...
2011年高三数学复习(第6章+数列):6.1+数列定义与通项
2011年高三数学复习(第6章+数列):6.1+数列定义与通项_数学_高中教育_教育专区...本题考查数列的基本知识,难度不大,计算时要细心求解. 19.写出下列数列的个...
人教A版理科数学一轮复习(全套)第6章 数列(4课时32页)
人教A版理科数学轮复习(全套)第6章 数列(4课时32页)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版理科数学轮复习(全套) 第六章 数列 1.数列的概念和简单...
第六章 第一节数列的概念及简单的表示方法
第六章 第一数列的概念及简单的表示方法_数学_高中教育_教育专区。第一数列的概念及简单的表示方法 考点梳理 1.数列的 概念. 2.数列的 表示. 3.递推...
2016届高考数学(文)一轮同步训练:第6章+6.1+数列的概念及简单表示法
2016届高考数学(文)轮同步训练:第6章+6.1+数列的概念及简单表示法_数学_...A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,?...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法 理
【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法 理 1.数列的定义 按照一定次序排列的列数称为数列,数列中的每个...
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第六章 数列 第一课
§ 6.1 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按照一定次序排列起来的列数叫做数列,数列中的每个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 按项数...
更多相关标签:
等差数列第一课时教案    等差数列第一课时ppt    等比数列第一课时教案    新概念英语课时安排    等差数列第二课时    等比数列第一课时课件    数列的概念    数列的概念ppt    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图