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2010年全国数学联赛最新模拟试题(一)---2010年3月



全国联赛模拟试题(一)
一 试
一、填空题(7′×8=56 分)
1、如果 2009 个数 a1 , a 2 ,…, a 2009 满足: a1 ? 3, a n ? ? n ?1 ? ? 2009 a ?a n ? 2009 ? 0 (其中 n=2,3, ? n ?1 ? ?
2

? a

1 ?



1

4,…,2009) ,那么 a 2009 可能达到的最大值为________. 2、若 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,则 a0 ? a1 ? 2a 2 ? ? ? nan ? ________.
n 2 n

3、在四面体 A-BCD 中,AB=3,CD=2,直线 AB 与直线 CD 的距离为 2,夹角为 的体积等于________.

? ,则四面体 ABCD 6

? x 3 ? sin x ? 2a ? 0 ? ? ? ?? 4、已知 x ? y ? ?? ? ? , a ? R ,且 ? 3 1 ,则 cos?x ? 2 y ? ? ________. ? 4 4? ?4 y ? sin 2 y ? a ? 0 2 ?
5、 设复数 Z1 , Z 2 满足 Z 1 ? Z 1 ? Z 2 ? 3 , Z 1 ? Z 2 ? 3 3 , log 3 z ? z 2 则
?
7 7 7

?

?

2009

? Z1 Z 2

?

?

2009

? ________.

6、若 a, b ? Z ,且满足① ab?a ? b ? 不能被 7 整除;② ?a ? b ? ? a ? b 能被 7 整除,则 ab 的最小值为 ________. 7、在圆周上随机取四点 A、B、C、D,则线段 AB 与 CD 相交的概率是________. 8、已知双曲线 x ? y ? t ?t ? 0? 的右焦点为 F,过 F 的任一直线交双曲线的右支于 M、N,MN 的垂直平
2 2

分线交 x 轴于 P 点,当 t 取不等于零的正实数时,

FP MN

? ________.

二、解答题:
x2 y2 4 25 9、 (14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? ,其离心率为 ,一准线方程为 x ? . 5 4 a b
① 求椭圆方程. ② 设点 A 坐标为(6,0) 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点作 ,B 等腰直角△ABP(字母 A、B、P 按顺时针方向) ,求 P 点的轨迹方程.

? 10、 (14 分)若 a,b,c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,求使不等式 a ? b ? c ? ? abc ≤1 恒成立的实数 ? 的
2 2 2

最大值. 11、 (16 分)设正实数数列 ?a n ?满足: a n ?1 ≥
2

2 a2 a12 a 2 ? 3 ? ? ? n , n ? 1,2,……求证:存在正整数 m, 13 2 n3

1

使得

?a
n ?1

m

a n ?1 2009 > . 1000 1 ? a2 ? ? ? an


分别在边 AC、BC、KM 上,满足



1、 (50 分)如图,等腰直角△ABC 中,D 为斜边 AB 的中点,过直角顶点 C 作直线 l∥AB,又 K、M、N

CK BM FN ,过点 N 作 NH⊥l 于 H,比较 ND 与 NH 的大小. ? ? AK MC NK

2、 (50 分)某新建城市购进大批公共汽车,用以解决市内交通问题,计划在 2009 个不同地点建立汽车站, 并通过开辟若干条线路的公共汽车沟通它们,规划者的愿望是: (1)尽可能多辟一些线路; (2)每两条线路至少有一个公共的汽车站; (3)每个公共汽车站至多有两条不同的线路通过. 问:照此愿望,最多可以开辟多少条线路的公共汽车?每条线路至少应经过多少个站?
a 3、 (50 分)试求最小正数 a,使得存在正数 b,当 x ? ?0,1?时,恒有 1 ? x ? 1 ? x ≤ 2 ? bx ;对于所求

得的 a,确定满足上述不等式的最大正数 b. 4、 (50 分)设 m 为给定的正整数, a1 , a 2 ,…, a n 是不超过 m 的正整数,并且对任意 1≤i<j≤n;均有 [ a i , a j ]>m.求证:

1 1 1 3 ? ??? < . a1 a 2 an 2

全国联赛模拟试题答案
一试 1、 ?a 2009 ?max ?

1 ? 2009 2007 3

解: a n ? 故 an ?

? a n ?1 1 ? ? ? 2009 ? a ? ? ? n ?1 ? ?

? a n ?1 1 ? 4 ? ? 2009 ? a ? ? 2009 ? n ?1 ? ? ? 2

2

? a n ?1 1 ? a n ?1 1 ? ? 2009 ? a ? ? 2009 ? a ? n ?1 ? n ?1 ? , 2
2007

a n?1 1 ? 1 ? a n ?1 ? 2009 ,故 ?a 2008 ?min ? 3? a n?1 ? 2009 或 a n ? ? a n ?1 2009 ? 2009 ?

?

?

?

?



∴ ?a 2009 ?max ? 2、 n ? 2
n ?1

1 ? 2009 2007 . 3

?1
n ?1

解:等式两边对 x 取导: n?1 ? x ? 则n?2 3、
n ?1

? a1 ? 2a 2 x ? ? ? nan x n ?1 ,令 x ? 1,

? a1 ? 2a 2 ? ? ? nan ,又 a0 ? 1 ∴ a0 ? a1 ? 2a 2 ? ? ? nan ? n ? 2 n ?1 ? 1 .

1 2
2

解:如图,过 A 作 AF∥BC 且 AF=BC,过 D 作DE∥BC 且 DE=BC,连结 BE、DF、BE,把四面 体补为三棱柱 AEB-DFC,则 V A? BCD ?

1 1 1 ? 1 1 V柱 ? ? FC ? CD sin ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 2 6 12 2

4、1.

? x 3 ? sin x ? 2a ? ? ? ?? 3 解:由原方程组得 ? ,设 f ?t ? ? t ? sin t ,则 f ?t ? 在 ?? , ? 上是单调增 3 ??? 2 y ? ? sin?? 2 y ? ? 2a ? 2 2? ?
函数.又 x ? 2 y ? ?? 5、4018. 解:由 ?

? ? ?? , ? ,且 f ?x ? ? f ?? 2 y ? ,∴ x ? ?2 y ,即 x ? 2 y ? 0 , ∴ cos?x ? 2 y ? ? 1 . ? 2 2?

? Z1 ? Z 2 ? 3 ? Z2 ? 3 ? ? ,得 ? ,且 Z 1 Z 2 ? Z 1 Z 2 ? 9 , ?Z1 Z 2 ? Z1 Z 2 ? ?9 ? Z1 ? Z 2 ? 3 2 ? ?

故设 Z1 Z 2 ? 9?cos? ? i sin ? ? , Z 1 Z 2 ? 9?cos? ? i sin ? ? ,由 ? 9 ? Z 1 Z 2 ? Z 1 Z 2 ? 18 cos? , 得 cos? ? ?

故 log 3 Z1 Z 2 6、18.

?

1 2 .于是 Z 1 Z 2 ? 9? 或 Z1 Z 2 ? 9? ,当 Z 1 Z 2 ? 9 w 时, Z 1 Z 2 2

?

?

2009

? Z1 Z 2

?

?

2009

? ?9 2009

?

2009

? Z1 Z 2

?

?

2009

? 4018 .同理可得: Z1 Z 2 ? 9w 2 时,结果仍为 4018.

解: ?a ? b ? ? a ? b ? 7ab a ? b
7 7 7 5

??

5

? ? 3ab?a

3

? b 3 ? 5a 2 b 2 ?a ? b ? ? 7ab?a ? b ??a 2 ? b 2 ? ab?
2

?

?

2

2 2 3 ∴ 7 6 a 2 ? b 2 ? ab ,即 7 a ? b ? ab ,∴令 a ? b ? ab ? 7 ,即 ?a ? b ? ? ab ? 343 ,

?

?

2

3

2

2

故 ?a ? b ?min ? 19 ,此时 ab ? 18 . 7、

1 . 3
解:圆周上任取四点,将其标为 A、B、C、D,共有 24 种标法,其中有 8 种使得 AB 与 CD 相交,

因此概率为

1 . 3

8、

2 . 2
解:过双曲线 x ? y ? t 的右焦点 F
2 2

?

2t ,0 的直线 MN : y ? k x ? 2t ,由渐近线为 y ? ? x ,则

?

?

?

?x 2 ? y 2 ? t 2 t k 2 ?1 ? 2 2 2 2 k ? 1 .由 ? ,得 k ? 1 x ? 2 2t k x ? 2k ? 1 t ? 0 .故 MN ? , k 2 ?1 ? y ? k x ? 2t ?

?

?

?

?

?

?

?

?

MN 的中点 R?

? 2t k 2 2t k ? 2 2tk 2 ?, , 2 则中垂线与 x 轴的交点 P 的横坐标 x p ? 2 ,则 PF ? ? k 2 ?1 k ?1? k ?1 ? ?

2t k 2 ? 1 , k 2 ?1
3

?

?



FP MN

?

2 . 2

二、解答题
9、解: (1)由已知 e ?

a 2 25 x2 y2 c 4 2 2 ,故 c ? 4 , a ? 25 ,∴ b ? 9 ,即椭圆方程为 ? ? ? 1. ? ,x ? c 4 25 9 a 5

(2)设 P?x, y ? , B?x0 , y 0 ? ,则由题意: Z AP ? Z AB ? ?? i ? 即 ?x ? 6? ? yi ? ??x0 ? 6? ? y 0 i ? ? ?? i ? ? y 0 ? ?x0 ? 6?i ,∴ ?

?x ? 6 ? y0 ? x0 ? 6 ? y ?? , ? y ? 6 ? x0 ? y0 ? x ? 6



? y ? 6?2 ? ?x ? 6?2
25 9

? 1.
1 ? ?a ? b ? c ? ? 2?ab ? bc ? ca?
2

10、解: ? ≤

1? a2 ? b2 ? c2 abc
2

?

abc

? ab bc ac ? ?, ? 2? ? ? ? c a b ? ? ?

? ab 1 ?? ab bc ? ? ab ac ? ? bc ac ?? bc ac ? ab bc ac ? ? 而? ? ? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ≥3, ? c ? 2 ?? c a? ? c b ? ? a b ?? a b ? c a b ?
故? ≤2 3.
2 a3 a a1 a2 a2 3 ? 1? ? > 2 ? ≥ ,∴当 n ≥3 时,由柯西不等式 a1 a1 ? a 2 a1 ?a1 ? a 2 ? 2 a1 a1 ? a 2
2 ? a12 a 2 a 2 ? n 2 ?n ? 1?2 2 ? 3 ? 3 ??? n ? ≤ a n ?1 . ≤ 1 ? 2 ??? n ? 2 n3 ? 4 ?1 ?

11、证明:∵

?a1 ? a2 ? ? ? an ?


2

?

3

3

3

?

m a n ?1 a n ?1 2 ≥ .故当 m ≥3 时, ? a1 ? a 2 ? ? ? a n n?n ? 1? n ?1 a1 ? a 2 ? ? ? a n 17 a n ?1 3 m 2 3 1 ? 13 2 ?1 故取 m ? 17 ,则有 ? ?? ? ? 2? ? ?? ? 2 n ?3 n?n ? 1? 2 ? 3 n ?1? 6 n ? 1 n ?1 a1 ? a 2 ? ? ? a n





13 1 37 2009 > . ? ? 6 9 18 1000

二 试
1、 连结 DK、 解: DM、 设 CD 与 KM 交于 E, K 作 KP⊥NH 于 P, M 作 MQ⊥CD 于 Q. DC, 过 过 ∵ CA = CB ,∴CK = BM,∴△CDK≌△BMD , ∴DK=DM , ∠CDK=∠MDB , ∴△KDM 为等腰直角三角形.又由 CE 平分∠ACB,得 =BM.
4

CK BM , ? KA MC

CK KE ,而 CK ? CM EM



KE MN ,∴KE=MN.故△DKE≌△DMN,∴DE=DN.又易证△KPN≌△MQE ? EM NK

∴NH=PN+PH=PN+CKsin45° =EQ+BM sin45° =EQ+QD=ED=DN,证毕. 2、解:用 A 记车站的集合,则|A|=2009,设共开辟了 m 条线路,每条线路上的车站的集合分别记为 A1, A2,…,Am,由 Ai ? A ,由条件(2)(3)知 , (i) Ai ? A j ? ? ,1≤i<j≤m; (ii) Ai ? A j ? Ak ? ? ,1≤i<j<k≤m.即其中的每两个子集都相交, 但每 3 个子集的交集都是空集. 由(i)知每个子集都与其余 m-1 个子集至少有一个公共元素,而由(ii)知这些公共元素两两不同,
m

故这 m 个子集所含不同元素数目不少于 m(m-1).故 U Ai 的元素数目不少于
i ?1



m(m ? 1) ≤2009.满足条件的最大整数为 m=63.故按照规划者的愿望,至多开设 63 条线路的公共汽 2

m m(m ? 1) 个,但 U Ai ? A . i ?1 2

车,每条线路至少经过 m-1=62 个公共汽车站.
a 3、解: ? bx ≥ 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ?

? 1? x ?
? 2x 2

1? x ? 2

?? 1 ? x ?

1? x ? 2

?

1? x ? 1? x ? 2

?

2 1? x2 ? 2 1? x ? 1? x ? 2

?

? 1? x ?

1? x ? 2

?? 1 ? x
a

2

?1

?

a ,故欲使 1 ? x ? 1 ? x ≤ 2 ? bx ,

即要使

? 1? x ?
?

? 2x 2 1? x ? 2

?? 1 ? x

2

?1

?

≤ ? bx , ? bx

a ?2



? 1? x ?

2 1? x ? 2

?? 1 ? x

2

?1

?.

令 f ?x ? ?

? 1? x ?

1? x ? 2

?? 1 ? x

2

? ?? ? 1 , x ? ?0,1?.令 x ? cos 2? , ? ? ? 0, ? ,则 ? 4?

?

f ?x ? ? ?

2 sin ? ?

2 cos? ? 2 ?1 ? sin 2? ?

?

?

2 ?sin ? ? cos? ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? .
2

?

令 t ? sin? ? cos? , t ? [1, 2 ],则 f ?x ? ? 数.∴ f max ? f

?

2t ? 2 t 2 ? 2t 3 ? 2t 2 在 t ? [1, 2 ]上是单增函

?

? 2 ? ? 8 ,即 bx

a ?2



1 1 ,故 a ? 2 , b ? . 4 4
? 2x 2 a a?2 b ≤ ? bx ,则 x ≥ f ?x ? f ?x ? 2

下证 a ? 2 ,假设存在 a<2 及某个正数 b 使 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 令 x ? 0 ,则 0≥4b 矛盾,故 a ? 2 . 再证 b ?

2 2 1 1 2 ,由 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ≤ ? bx , x ? ?0,1?,即 b≤ ? . ? b ≤ min f ?x ? 4 f ?x ? 4

4、证:若 n ≥
?

m ?1 ,则 a1 , a 2 ,…, a n 中必有两个数,使得其中一个数是另一个数的倍数(这只需将 a i 2

表示为 2 ? q 的形式,利用抽屉原则可得,这里 ? ≥0, q 为奇数,1≤ q ≤m) ,这导致 a1 , a 2 ,…, a n 中
5

有两个数的最小公倍数≤m,故 n <

m ?1 . 2

a a 另一方面, 2, m 中, i 的倍数构成的集合与 a j 的倍数构成的集合是不变的 1, …, (否则[ a i , j ]≤m) 这 .
里 1≤i<j≤n,所以,

? ?a

?m? ? m ? m ai ? 1 m ? 1 m ? ?1, ? ≤m,由 ? Q ,∴ ? ? ≥ ? ai ai ai i ?1 ? i ? ? a i ? ai
n

1 ?m ? 1? ? m 3 ?m ? ?m? 1 n?m 2 ∴?? < . ? ? 1? ≤ ? ? a ? ≤m,即有 ? a ≤ m ? 1 < ? 2 m ?1 i ?1 ? a i i ?1 ? i ?1 ? i ? i
n n

n

6



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