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高数上 公式大全



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高等数学(一)上
第一章 一元函数的极限与连续
1、一些初等函数公式:

公式总结

和差化积公式:

和差角公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? si

n ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 tan ? ? tan ? cot ? ? cot ? 1 cot(? ? ? ) ? cot ? ? cot ?
积化和差公式: 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

? ?? ? ?? 2 sin cos 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2sin sin 2 2
sin ? ? s i?n?
倍角公式: sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? cot 2 ? ? 1 cot 2? ? 2 cot ? tan 2? ?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1; tan 2 x ? 1 ? sec2 x; cot 2 x ? 1 ? csc 2 x; ch 2 x ? sh 2 x ? 1 半角公式: sin tan cot

?
2

?? ?? ??

1 ? cos ? ? 1 ? cos ?  ,  cos ? ? 2 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? ? ?    1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? ? ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ?
? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

?
2

?
2

(a3 ? b3 ) ? (a ? b)(a2 ab ? b2 ) , 12 ? 22 ?
13 ? 23 ?
1/8

? n3 ?

n 2 (n ? 1)2 4

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2、极限 ? 常用极限: q ? 1, lim q n ? 0 ; a ? 1, lim n a ? 1 ; lim n n ? 1
n ??

n ??

n ??

?

若f ( x) ? 0, g ( x) ? ?, 则 lim[1 ? f ( x)]

g ( x)

?e

lim

ln(1? f ( x )) 1/ g ( x )

ln(1? f ( x ))~ f ( x ) ????? ? ? e? lim[ f ( x ) g ( x )]

? 两个重要极限
1 sin x sin x 1 x lim ? 1, lim ? 0;lim(1 ? ) ? e ? lim(1 ? x) x x ?0 x ?? x ?? x ?0 x x x

?

常用等价无穷小:

1 ? cos x ~

1 2 1 x ; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 ? x ? 1 ~ x; 2 n x x a a ? 1 ~ x ln a; e ~ x ? 1;(1 ? x) ~ 1 ? ax; ln(1 ? x) ~ x

3、连续:
定义: lim ?y ? 0; lim f ( x) ? f ( x0 )
?x ?0 x ? x0

? ? 极限存在 ? lim f ( x) ? lim f ( x)或f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? ? x ? x0 x ? x0

第二章

导数与微分

1、 基本导数公式:
f ?( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ? tan ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0

? ? 导数存在 ? f _?( x0 ) ? f+?( x0 )

C ? ? 0; ( x a )? ? ax a ?1 ; (sin x)? ? cos x; (cos x)? ? sin x; (tan x)? ? sec 2 x; (cot x )? ? ? csc 2 x; (sec x)? ? sec x ? tan x; (csc x)? ? ? csc x ? ctgx; (a x )? ? a x ln a;(e x )? ? e x ; 1 1 1 1 (log a x )? ? ; (ln x )? ? ; (arcsin x)? ? ; (arccos x)? ? ? ; 2 x ln a x 1? x 1 ? x2 1 1 (arctan x)? ? ; ( arc cot x)? ? ? ; 2 1? x 1 ? x2

2、高阶导数:
( x n )( k ) ? n! x n?k ? ( x n )( n ) ? n !; (a x )( n ) ? a x ln n a ? (e x )( n ) ? e x (n ? k )!

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1 (?1)n n! 1 ( n) (?1) n n! 1 ( n) n! ( )( n ) ? ; ( ) ? ; ( ) ? n ?1 n ?1 x x x?a ( x ? a) a?x (a ? x)n?1
(sin kx)( n ) ? k n ? sin(kx ? n ? ); (cos kx) ( n ) ? k n ? cos(kx ? n ? ); 2 2

?

?

[ln(a ? x)]( n ) ? (?1)n ?1

(n ? 1)! 1 (n ? 1)! ? [ln( x)]( n ) ? ( )( n ?1) ? (?1)n ?1 n (a ? x) x xn

? 牛顿-莱布尼兹公式:
k ( n?k ) ( k ) (uv)( n ) ? ? Cn u v k ?0 n

? u ( n ) v ? nu ( n ?1) v? ?

n(n ? 1) ( n ?2) u v?? ? 2!

?

n(n ? 1)

(n ? k ? 1) ( n ? k ) ( k ) u v ? k!

? uv( n )

3、微分:

?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? dy ? o(?x); dy=f ?( x0 )?x ? f ?( x)dx;
连续 ? 极限存在 ? 收敛 ? 有界; 不连续 ? 不可导 可微 ? 可导 ? 左导=右导 ? 连续;

第三章

微分中值定理与微分的应用

1、基本定理

拉格朗日中值定理:f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a), ? ? (a, b) f (b) ? f (a) f ?(? ) 柯西中值定理: ? , ? ? ( a , b) F (b) ? F (a) F ?(? ) 当F( x) ? x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

第四章

不定积分

1、常用不定积分公式:

? f ( x)dx ? F ( x) ? C; (? f ( x)dx)? ? f ( x); ? F ?( x)dx ? F ( x) ? C
? ? x dx ?
x ? a dx ?

x ? ?1 ? C ( ? ? ?1); ? ?1 ax ? C; ln a

? x dx ? ln x ? C;
x

1

? e dx ? e
x

? C;

3/8

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? sin xdx ? ? cos x ? C; ? cos xdx ? sin x ? C; ? tan xdx ? ? ln cos x ? C; ? cot xdx ? ln sin x ? C; ? sec xdx ? ln sec x ? tan x ? C; ? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C ? ln tan 2 ? C ? ? ln csc x ? cot x ? C; ? sec
2

x

xdx ? ?

dx ? tan x ? C ; cos 2 x

? csc

2

xdx ? ?

dx ? ? cot x ? C; sin 2 x

? sec x ? tan xdx ? sec x ? C; ? csc x ? cot xdx ? ? csc x ? C;

?

dx
2

1? x a ?x dx dx 1 x ? 1 ? x 2 ? arctan x ?C ? ? arc cot x ? C; ? a 2 ? x 2 ? a arctan a ?C; dx 1 x?a dx 1 a?x ? x 2 ? a 2 ? 2a ln x ? a ? C; ? a 2 ? x 2 ? 2a ln a ? x ? C; dx 2 2 ? x2 ? a 2 ? ln( x ? x ? a ) ? C;
2 2

? arcsin x ?C ? ? arccos x ? C ;

?

dx

? arcsin

x ?C ; a

? ?

x 2 a2 x ? a 2 ? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C ; 2 2 x 2 a2 x a 2 ? x 2 dx ? a ? x 2 ? arcsin ? C 2 2 a x 2 ? a 2 dx ?

2、常用凑微分公式:
dx dx 1 dx ? 2d x ; 2 ? ?d ( ); ? d (ln x); x x x x xdx 1 1 ? d ( 1 ? x 2 ); (1 ? 2 )dx ? d ( x ? ) x x 1 ? x2 dx ? d (ln tan x); cos x sin x

3、有特殊技巧的积分
(1)
(2)

? a sin x ? b cos x ?
c sin x ? d cos x

dx

1 a ?b
2 2

? sin( x ? ? )dx

1

? a sin x ? b cos x dx ? Ax ? B ln a sin x ? b cos x ? C
1 d (x ? ) 1 x ( x ? )2 ? ( 2)2 x 1

x2 ? 1 (3) ? 4 dx ? ? x ?1

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第五章

定积分

1、基本概念

?

b

a

n n i 1 f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi ? lim ? f ( ) ? F (b) ? F (a) ? F ( x) ? ?0 n ?0 n n i ?1 i ?1

b a

, ( F ?( x) ? f ( x))

连续 ? 可积;有界+有限个间断点 ? 可积; 可积 ? 有界; 连续 ? 原函数存在

?( x) ? ? f (t )dt ? ??( x) ? f ( x)
a

x

d ? ( x) f (t )dt ? f [? ( x)]? ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x) dx ?? ( x )

?
?

a

b

f ( x)dx ?? f (? (t ))? ?(t )dt , ? u( x)dv( x) ?u( x)v( x) ? ? v( x)du( x)
?
b b

?

a

a

2、常用定积分公式:
a ?a

f ( x)dx ?? [ f ( x) ? f (? x)]dx ;
0 a a a ?a 0 ?a

a

f ( x)为偶函数, ? f ( x)dx ?2? f ( x)dx ; f ( x)为奇函数, ? f ( x)dx ?0

?

?

2 0

f (sin x)dx ? ? f (cos x) dx ; ? xf (sin x)dx ?
2 0

?

?

2 0

?

2?

?

2 0

f (sin x)dx ? ? ? 2 f (sin x)dx
0

?

?

a ?T

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx ?? 2T f ( x)dx ; ?
0 ? 2

T

T

a ? nT

a

f ( x)dx ? n ? f ( x)dx
0

T

Wallis 公式:
? ?

I n ? ? 2 sin n xdx ? ? 2 cos n xdx ?
0 0

n ?1 I n?2 n

n ? 3 n ?1 ?? 1 3 ? ? ? ? , n为正偶数 ? ?2 2 4 n?2 n ?? ? 2 ? 4 ? n ? 3 ? n ? 1 , n为正奇数 ? 3 5 n?2 n ?

无穷限积分:

? ? ?

+?

a b

f ( x)dx ? lim

b?+ ? a b

?

b

f ( x)dx ? F (+?) ? F (a );

?? ??

f ( x)dx ? lim ? f ( x)dx ? F (-?) ? F (a );
a ?- ? a

??

f ( x)dx ? lim

b?+ ? a

?

b

f ( x)dx ? lim ? f ( x)dx ? F (+?) ? F (??)
a ?-? a

b

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瑕积分:

? ?

b

a b

f ( x)dx ? lim f ( x)dx ? F (b) ? lim F (t ); ? ? ?
t ?a t t ?a

b

a b

f ( x)dx ? lim f ( x)dx ? lim F (t ) ? F (a ); ? ? ?
t ?b c a t ?b

t

?

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x )dx
a c

b

?

+?

a

1 1 1 dx , p ? 1 收敛 , p ? 1 发散 ; ?a x p dx, 0 ? p ? 1收敛, p ? 1发散 xp

第六章

定积分应用

1、平面图形的面积: 直角坐标情形: A ? ? f ( x) dx ; A ? ? f ( x) ? g ( x) dx ; A ? ? ? ( y) ?? ( y) dy
a a c b b d

参数方程情形: A ? ? ? (t )d? (t ) ? ? ? (t )? ?(t )dt;(? (? ) ? a;? ( ? ) ? b)
? ?

?

?

1 ? 2 ? (? )d? 2 ?? 2、空间立体的体积:

极坐标情形: A ?

由截面面积: V ? ? A( x)dx
a

b

V ? ? ? f 2 ( x)dx;V ? ? ? [ f 2 ( x) ? g 2 ( x)dx( x为积分变量) a a 旋转体: 绕 x 轴旋转: d d V ? ? 2? y ? ( y ) dy;V ? ? 2? y ? ( y ) ?? ( y ) dy ( y为积分变量)
c c

b

b

绕 y 轴旋转: 3、平面曲线的弧长:

V ? ? 2? x f ( x) dx ? ? 2? x f ( x) ? g ( x) dx;( x为积分变量)
a a

b

b

V ? ? ? [? 2 ( y) ?? 2 ( y)]dy( y为积分变量)
c

d

s??

?

?

? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt ? ?

b

a

1 ? f ?2 ( x)dx ? ?

?

?

? 2 (? ) ? ? ?2 (? )d?

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总结 求极限方法:
1、 极限定义;2、函数的连续性;3、极限存在的充要条件;4、两个准则; 5、两个重要极限;6、等价无穷小;7、导数定义;8 利用微分中值定理; 9、洛必达法则;10、麦克劳林公式展开;

求导法:
1、导数的定义(求极限) ;2、导数存在的充要条件;3、基本求导公式; 4、导数四则运算及反函数求导;5、复合函数求导;6、参数方程确定的函数求 导; 7、隐函数求导法;8、高阶导数求导法(莱布尼茨公式/常用的高阶导数) ;

等式与不等式的证明:
1、利用微粉中值定理;2、利用泰勒公式展开;3、函数的单调性; 4、最大最小值;5、曲线的凸凹性

第十二章

微分方程

一、基本类型的一阶微分方程:

1、可分离变量方程 :

dy dy ? f ( x) g ( y ) ,分离变量,两边积分? ? f ( x) dx dx g ( y) ? dy 2、一阶线性微分方程 : ? P( x) y ? Q( x) dx ?Q( x) ? 0 齐次 : 通解:y ? e? ? P ( x ) dx, ? ? ? P ( x ) dx ? P ( x ) dx dx ? C ) ?Q( x) ? 0 非齐次 : 通解:y ? e ? ( Q ( x ) e ? ?

二、可化为基本类型的一阶微分方程:

a x ? b1 y dy y dy y ()齐次方程: 1 ? f ( )或 ? f ( 1 ), 令u ? dx x dx a2 x ? b2 y x

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三、可降阶的高阶微分方程:

dn y ( 1) n ? f ( x) 连续积分n次; dx (2)y?? ? f ( x, y?), 令 y? ? p,则 y?? ? p? ? p? ? f ( x, p) (3)y?? ? f ( y, y?) ,令 y? ? p,则 y?? ? p
四、二阶常系数齐次线性微分方程

dp dp ?p ? f ( y, p ) dy dy

y?? ? py? ? qy ? 0 ? 特征方程:r 2 ? pr ? q ? 0
? ? p 2 ? 4q ? 0, r1 ? r2 ? 通解:y ? C1e r1x ? C2e r2 x ? ? p 2 ? 4q ? 0, r1 ? r2 ? 通解:y ? (C1 ? C2 x)e r1x ? ? p 2 ? 4q ? 0, r1,2 ? ? ? i ? ? 通解:y ? e? x (C1 cos ? x ? C2 sin ? x)
四、二阶常系数非齐次线性微分方程

y?? ? p y? ? q y ? f ( x) 通解y( x) ? 齐次通解Y ( x) ? 非齐次特解y? ( x)
? ?不是特征根 k ? 0 ? ? ? () 1 f ( x) ? e Pm ( x) ? 特解形式y ? x Qm ( x)e ? ?是特征单根 k ? 1 ? ? ?是特征重根 k ? 2 ? ? ?
?x
? k

?x

(2)f ( x) ? f ( x) ? e? x ? Pl ( x) cos ? x ? Pn ( x)sin ? x ? ? ? ? iw不是特征根 k ? 0 ? (1) (2) ? 特解形式y ? ? xe? x ? ? ? Rm ( x) cos ? x ? Rm ( x)sin ? x ? ? ? ? iw是特征根 k ?1? ?

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