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北京市怀柔区2016届高三数学下学期查漏补缺试题



2016 年 5 月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题
一、三角 1. 已知函数 f (x)= 2 3 sinxcosx-2cos x +1. (Ⅰ) 求 f (
2

5 ? ); 12

(Ⅱ) 求函数 f (x)图象的对称轴方程. 解: (Ⅰ)因为 f (x) = 3 sin2x-cos2x = 2sin(2x- 所以 f ( (Ⅱ) 令 2x-

? ? = k ? + (k∈Z), 得 6 2 k? ? ? , x= 2 3

5 2? ? ) = 2sin = 3. 3 12

? ) , 6

????????(7 分)

所以函数 f (x)图象的对称轴方程是 x= 2.已知函数

k? ? ? (k∈Z). ?????(14 分) 2 3

2? ) 的值; 3 1 (Ⅱ)求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(Ⅰ)求 f ( 解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4 1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 ? sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

?

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (k? ? , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?
3.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 设 (Ⅰ)若 a ? 7 ,求 b 的值; (Ⅱ)求 tan C 的值. (Ⅰ)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理

A?

π 3 , sin B ? 3sin C .

a b c ? ? , sin A sin B sin C
1

得 b ? 3c . 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 及 A ? 得 7 ? b2 ? c 2 ? bc ,

??????3 分

π ,a ? 7 , 3

??????5 分

b b2 所以 b 2 ? ( ) 2 ? ? 7 , 3 3
解得 b ? 3 . (Ⅱ)解:由 A ? 所以 sin( 即 ??????7 分

2π π ?C . ,得 B ? 3 3
??????8 分 ??????11 分

2π ? C ) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2 3 5 所以 cos C ? sin C , 2 2 3 所以 tan C ? . 5
4.已知函数 f ( x) ?

??????13 分

1 ? sin 2 x . cos x

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

二、数列

1.在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? 6 , a2 ? a3 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是等差数列,且 b2 ? a2 , b4 ? a4 ,
2

求数列 {bn } 的公差,并计算 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? ? b100 的值. 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q , 由已知 a1 ? a1q ? 6 , a1q ? a1q2 ? 12 , 两式相除,得 q ? 2 . 所以 a1 ? 2 , 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n . (Ⅱ)设等差数列 {bn } 的公差为 d , 则 b1 ? d ? 4 , b1 ? 3d ? 16 , 解得 b1 ? ?2 , d ? 6 , ???????9 分 ???????11 分 ???????2 分 ???????4 分 ???????6 分 ???????7 分

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ?? b100 ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ?? (b99 ? b100 ) ??????12 分
? ?50d ? ?300 .
2.数列 {an } 对任意 n ? N * ,满足 an+ 1 = an + 1 , a3 ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ( ) n ? n ,求 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和.
a

???????13 分

1 3

解: (Ⅰ)由已知得 an+ 1 - an = 1 又 a3 ? 2 ,得 a1 ? 0 ,所以

数列 ?an ? 是等差数列,且公差 d ? 1

an ? n ?1 ---------------------------6 分

n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? ( ) ? n ,

1 3 1 1 n ?1 1 1 1 所以 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 2) ? ??? ? ( ) ? n ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) 3 3 3 3 3 1 1 ? ( )n 1? n 3 ? n(n ? 1) ? 3 ? 3 ? n(n ? 1) . --------------------14 分 Sn ? 1 2 2 2 1? 3

三、概率统计

1.育新中学的高二、一班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组 里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选 出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二次做试验的

3

同学得到的试验数据为 69, 70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 解: (Ⅰ) P ?

n 4 1 1 ? ? ? 某同学被抽到的概率为 ??????2 分 m 60 15 15 45 x ? ,? x ? 3 ? 男、女同学的人数分别为 3,1 ????4 分 设有 x 名男同学,则 60 4

( Ⅱ ) 把 3 名 男 同 学 和 1 名 女 同 学 记 为 a1 , a2 , a3 , b ,则选取两名同学的基本事件有

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1 , b),(a2 , a1 ),(a2 , a3 ),(a2 , b),(a3 , a1 ),(a3 , a2 ),(a3 , b),
共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

(b, a1 ),(b, a2 ),(b, a3 )

6 1 ? ?????????8 分 12 2 68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 , x2 ? ? 71 (Ⅲ) x1 ? 5 5

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ?

s12 ?

(68 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 , s2 ? ? 3.2 5 5

? 第二同学的实验更稳定?????????12 分
2. 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出 现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐 1 获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各 2 次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分 数相比,分数没有增加反而减 少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解:(1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意,有

P(X=10)=C1 3?? ? ??1- ? = , 2 2

?1? ? ? ?1? ? ?

1

? ? ? ?

1?2 3 ? 8 1?1 3 ? 8 1?0

P(X=20)=C2 3?? ? ??1- ? = , 2 2

2

P(X=100)=C3 3?? ? ??1- ? = , 2 2

?1? ? ?

3

? ?

?

1 8

P(X=-200)=C0 3?? ? ??1- ? = . 2 2

?1? ? ?

0

? ?

1?3 1 ? 8

4

所以 X 的分布列为:

X P

10 3 8 1 8

20 3 8

100 1 8

-200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则

P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= .
3 1 511 ?1? 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1 A2A3)=1-? ? =1- = . 512 512 ?8? 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 3 3 1 1 5 (3)由(1)知,X 的数学期望为 EX=10? +20? +100? -200? =- . 8 8 8 8 4 这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.

四、立体几何

1.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,点 O 是对角线 AC 与

BD 的交点, AB ? 2 , ?BAD ? 60 , M 是 PD 的中点.
?

(Ⅰ)求证: OM ∥平面 PAB ; (Ⅱ)平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)当三棱锥 C ? PBD 的体积等于

3 时,求 PA 的长. 2

证明: (Ⅰ)因为在△ PBD 中, O , M 分别是 BD , PD 的中点, 所以 OM ∥ PB . 又 OM ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 OM ∥平面 PAB . 分 (Ⅱ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 BD ? AC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD .又 AC ? PA ? A , ????????5

5

所以 BD ? 平面 PAC . 又 BD ? 平面 PBD , 所 以 平 面

PBD ?





PAC .

????????10 分
?

(Ⅲ)因为底面 ABCD 是菱形,且 AB ? 2 , ?BAD ? 60 , 所以 S?BCD ? 3 . 又 VC ? PBD ? VP? BCD ,三棱锥 P ? BCD 的高为 PA , 所以 ? 3 ? PA ? 解

1 3

3 , 2
得 ????????14 分

PA ?

3 . 2
o

2. 已知在△ABC 中,∠B=90 ,D,E 分别为边 BC,AC 的中点,将△CDE 沿 DE 翻折后,使之成为四棱 锥 C '? ABDE (如图). (Ⅰ)求证:DE⊥平面 BC ' D ; (Ⅱ)设平面 C ' DE ? 平面 ABC ' ? l ,求证:AB∥l; (Ⅲ)若 C ' D ? BD , AB ? 2 , BD ? 3 ,F 为棱 BC ' 上一点,设 棱锥 C '? ADF 的体积是 1?

BF ? ? ,当 ? 为何值时,三 FC '

C'

A E C D B
D

F
E

A

B

证明: (Ⅰ)∵∠B=90 ,D,E 分别为 BC,AC 的中点 ∴DE∥AB ∴ C ' D ? DE , BD ? DE 又∵ C ' D ? BD ? D ?????1 分 ?????3 分 ?????4 分

o

6

∴DE⊥平面 BC ' D
C'

?????5 分

A E C D B
D F
E

A

B

(Ⅱ)∵DE∥AB, DE ? 面 C ' DE , AB ? 面 C ' DE , ∴AB∥面 C ' DE , 又∵AB ? 面 ABC ' ,面 ABC ' ? 面 C ' DE ? l ∴ AB∥ l (Ⅲ)∵ C ' D ? BD , C ' D ? DE , ED ? BD ? D , ∴ C ' D ⊥平面 BDE. ∵ ?????7 分 ?????9 分 ?????10 分

1 S?C ' DF C ' F 1 S ? ? ∴ S?C ' DF ? ? ? 1 ?BC ' D S?BDF FB ?

?????11 分

又因为 BD=3,AB=2, VC '? ADF ? 1 , ∴ VC ' ? ADF ? VA?C ' DF ?

1 1 1 1 VA?C ' DB ? VC '? ADB ? C ' DS?ADB 1? ? 1? ? 1? ? 3
?????13 分 ?????14 分
F

?

解得 ? ? 2 . 3.如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? BC , AF ? AC, AF // 2CE , G 是线段 BF 上一点,
AB ? AF ? BC ? 2 . (Ⅰ)当 GB ? GF 时,求证: EG / / 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BF ? A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG ?并说明理由. 解: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连接 GD, CD ,

3 ?1 1? ?

G A B

E

又 GB ? GF ,所以 AF // 2GD . 因为 AF // 2CE , 所以 GD //CE ,四边形 GDCE 是

C

平行四边形,

所以 CD // EG 因为 EG ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC 所以 EG // 平面 ABC . (Ⅱ) 因为平面 ABC ? 平面 ACEF , 平面 ABC ? 平面 ACEF = AC , 且 AF ? AC ,所以 AF ? 平面 ABC , 所以 AF ? AB , AF ? BC
G

z F

E A y C

7

B x

因为 BC ? AB ,所以 BC ? 平面 ABF . 如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 F (0,0,2), B(2,0,0), C (2,2,0), E (2,2,1) ,

??? ? ??? ? n ? BC 1 ??? ? ? , 令 y ? 1 ,则 z ? ?2, x ? ?2 ,所以 n ? (?2,1, ?2) , 所以 cos ? n, BC ?? | n || BC | 3 1 由题知二面角 E ? BF ? A 为钝角,所以二面角 E ? BF ? A 的余弦值为 ? . 3 ??? ? ??? ? (Ⅲ)因为 BF ? AE ? (?2,0,2)(2,2,1) ? ?2 ? 0 ,所以 BF 与 AE 不垂直, 所以不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG . 4.正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折 成直二面角 A—DC—B(如图(2) )

??? ? BC ? (0,2,0) 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 BEF 的法向量 n ? ( x, y , z ) ,则 ??? ? ? ? 2 y ? z ? 0, ? n ? BE ? 0, ,即 ? ? ? ??? ? ?2 x ? 2 z ? 0. ? ?n ? BF ? 0.

在图形(2)中: (Ⅰ )试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 E—DF—C 的余弦值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?证明你的结论. 解: 法一: (I)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF.??????????????????????????3 分 (II)

∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角????????4 分
8

∴AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD 取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD ∴EM⊥平面 BCD 过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角????????6 分 在 Rt△EMN 中,EM=1,MN=

3 2

∴tan∠MNE=

3 21 ,cos∠MNE= ????????????8 分 2 7

(Ⅲ)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE??????????????9 分 证明如下: 在线段 BC 上取点 P。使 BP ?

1 BC ,过 P 作 PQ⊥CD 与点 Q, 3

∴PQ⊥平面 ACD????????????????????????10 分 ∵ DQ ?

1 2 3 在等边△ADE 中,∠DAQ=30° DC ? 3 3

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE??????????????????????12 分 法二: (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0, 2)B(2,0,0)C(0, 2 3,0, ), E(0, 3,1), F (1, 3,0) ??????????4 分 平面 CDF 的法向量为 DA ? (0,0,2) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则?

? ?DF ? n ? 0 ? ?DE ? n ? 0

即?

? ?x ? 3 y ? 0 取n ? (3,? 3,3) ????????6 分 ? ? 3y ? z ? 0
DA ? n | DA || n | ? 21 7

cos ? DA , n ??

所以二面角 E—DF—C 的余弦值为

21 ????????????8 分 7

(Ⅲ)在平面坐标系 xDy 中,直线 BC 的方程为 y ? ? 3x ? 2 3 设 P( x,2 3 ? 3x,0),则AP ? ( x,2 3 ? 3x,?2)

9

? AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? x ?

4 1 ? BP ? BC ??????10 分 3 3

所以在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE?????????????12 分 另解:设 P( x, y,0),则 AP ? DE ?

3y ? 2 ? 0? y ?

2 3 3

又 BP ? ( x ? 2, y,0), PC ? (?x,2 3 ? y,0)

? BP // PC ?( x ? 2)(2 3 ? y) ? ?xy ? 3x ? y ? 2 3
把y?

2 3 4 1 代入上式得x ? ,? BP ? BC 3 3 3

所以在线段 BC 上存在点 P 使 AP⊥DE??????????12 分 五、导数 1. 已知曲线 C : f ( x) ? 2 xeax ? ax2 ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求曲线 C 与直线 y ? 2 x ? 1 的交点个数; (Ⅲ)若 a ? 0 ,求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. 解: (Ⅰ) f (0) ? ?1 , 因 为 f '( x) ? (2ax ? 2)eax ? 2ax ,所以 f '(0) ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线为 y ? 2 x ? 1 . (Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 2 xe? x ? x 2 ? 1 曲线 C 与直线 y ? 2 x ? 1 的交点个数与方程 x(2e? x ? x ? 2) ? 0 的解的个数相同,
x ? 0 显然是该方程的一个解.

令 g ( x) ? 2e? x ? x ? 2 ,则 g '( x) ? ?2e? x ? 1 由 g '( x) ? 0 得 x ? ln 2 因为 x ? ln 2 时 g '( x) ? 0 , x ? ln 2 时 g '( x) ? 0 所以 g ( x) 在 ( ??,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2, ??) 上单调递增 所以 g ( x) 最小值为 g (ln 2) ? ln 2 ? 1 , 因为 ln 2 ? ln e ? 1 ,所以 g (ln 2) ? 0 , 因为 g (0) ? 0 , g (2) ? 2e?2 ? 0 ,
10

所以 g ( x) 的零点一个是 0,一个大于 ln 2 , 所以两曲线有两个交点. (Ⅲ) f '( x) ? 2[(ax ? 1)eax ? ax] 因为 a ? 0 ,所以当 x ? 0 时, ax ? 0 ,所以 ax ? 1 ? 1,eax ? 1 所以 f '( x) ? 2[(ax ? 1)eax ? ax] ? 2[(ax ? 1) ? ax] ? 2 ? 0 所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调 递增. 2.设函数 f ( x) ? ln x ?

(Ⅰ)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x ) 的极小值;

a ,a?R . x

x 零点的个数; 3 f (m) ? f (n) ? 1恒成立,求 a 的取值范围. (Ⅲ)若对任意 m ? n ? 0 , m?n 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,
(Ⅱ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? e x-e 当 a=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,

x

x

∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2. ----------------------------------------5 分 x 1 a x (Ⅱ)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2 - (x>0), 3 x x 3 1 3 令 g(x)=0,得 a=- x +x(x>0), 3 1 3 设 φ (x)=- x +x(x≥0), 3 2 则 φ ′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ (x)的最大值点, 2 ∴φ (x)的最大值为 φ (1)= . 3 又 φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图像(如图所示),可知 2 ①当 a > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 a= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<a< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 a≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点(x>0) . 2 综上所述,当 a> 时,函数 g(x)无零点; 3
11

2 当 a= 或 a≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<a< 时,函数 g(x)有两个零点.-----------------------------------10 分 3 (Ⅲ)对任意的 m ? n ? 0 ,

等价于 f (m) ? m ? f (n) ? n 恒成立.(*) 设 h(x)=f(x)-x=ln x+

f (m) ? f (n) ? 1恒成立, m?n

a -x(x>0), x

∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 a 由 h′(x)= - 2 -1≤0 在(0,+∞)上恒成立,

x

x

2 ? 1? 1 2 得 a≥-x +x=-?x- ? + (x>0)恒成立, ? 2? 4 1 1 1 ∴a≥ (对 a ? ,h′(x)=0 仅在 x ? 时成立) ,-------------------------14 分 4 4 2

?1 ? ∴a 的取值范围是? ,+∞?. ?4 ?
3.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln( x ? m) 。直线 l : y ? kx ? b 经过点 P(?1 , 0) 且与曲线 y ? f ( x) 相 切。 (1)求切线 l 的方程。 (2)若关于 x 的不等式 kx ? b ? g ( x) 恒成立,求实数 m 的最大值。 (3)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 F ( x) 有唯一的零点 x0 ,求证 -1 ? x0 ? ?

1 。 2

12

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 4.知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数 ?ln x, x ? 0
图象上的两点,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 ; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的单调减区间为 (??,?1) ,单调增区间为 (?1, 0) , (0, ?? ) (Ⅱ)由导数的几何意义知,点 A 处的切线斜率为 f ?( x1 ) ,点 B 处的切线斜率为 f ?( x 2 ) , 故当点 A, B 处的切线互相垂直时,有 f ?( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? ?1 ,

13

当 x<0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 因为 x1 ? x 2 ? 0 ,所以 (2 x1 ? 2) ? (2 x 2 ? 2) ? ?1 ,所以 2 x1 ? 2 ? 0 , 2 x 2 ? 2 ? 0 , 因此 x2 ? x1 ? [?(2x1 ? 2) ? (2x2 ? 2)] ? ? (2x1 ? 2) ? (2x2 ? 2) ? 1 , (当且仅当 ? (2 x1 ? 2) ? 2 x2 ? 2 ? 1 ,即 x1 ? ?

1 2

3 1 且 x2 ? ? 时等号成立) 2 2

所以函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时有 x2 ? x1 ? 1 . (Ⅲ)当 x1 ? x 2 ? 0 或 x 2 ? x1 ? 0 时, f ?( x1 ) ? f ?( x 2 ) ,故 x1 ? 0 ? x 2 . 当 x1 ? 0 时, f ( x ) 的图象在点 ( x1 , f ( x1 )) 处的切线方程为
2 2 y ? ( x1 ? 2x1 ? a) ? (2x1 ? 2) ? ( x ? x1 ) 即 y ? (2x1 ? 2) x ? x1 ? a .

当 x2 ? 0 时, f ( x ) 的图象在点 ( x2 , f ( x2 )) 处的切线方程为

y ? ln x 2 ?

1 1 ? ( x ? x2 ) 即 y ? ? x ? ln x 2 ? 1 . x2 x2

?1 ① ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x 2 , ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ② 1 ? 2
由①及 x1 ? 0 ? x 2 知, 0 ?

1 ?2, x2 1 1 1 1 ? 1) 2 ? 1 ? ? ln ? ( ? 2) 2 ? 1 , 2 x2 x2 4 x2

由①、②得 a ? ln x 2 ? (

令t ?

1 1 ,则 0 ? t ? 2 ,且 a ? t 2 ? t ? ln t x2 4

设 h(t ) ?

1 2 1 1 (t ? 1) 2 ? 3 ?0 t ? t ? ln t (0 ? t ? 2) ,则 h ?(t ) ? t ? 1 ? ? 2 t 2t 4

所以 h(t ) (0 ? t ? 2) 为减函数,则 h(t ) ? h(2) ? ?1 ? ln 2 , 所以 a ? ?1 ? ln 2 , 而当 t ? (0, 2) 且 t 趋向于 0 时, h(t ) 无限增大, 所以 a 的取值范围是 (?1 ? ln 2, ?? ) . 故当函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合时, a 的取值范围是 (?1 ? ln 2, ?? ) .

14

六、解析几何 1.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点, 过点 Q 作 x 轴的垂线 ,垂足为 E . 取点 A(0, 2 2) , 连 接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG ,问这样作 出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由 解: (1)因为椭圆过点 P ( 2,3)

?

2 3 ? ? 1 且 a 2 ? b2 ? c2 a 2 b2
b2 ? 4 c2 ? 4
椭圆 C 的方程是

? a2 ? 8
(2)

x2 y 2 ? ?1 8 4

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 ? 则 QG 的直线方程: 8 y0 x0 ? x0 x?
化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,
2 2

x2 y 2 ? ?1 所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 8 4
求得最后 ? ? 0 所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.
15

2.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 的准线上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(2, ),Q(2,﹣

,它的一个顶点恰好在抛物线 x =8y

2

)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.当 A,

B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

解:(1)设椭圆 C 的标准方程为
2

(a>b>0),

∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x =8y 的准线 y=﹣2 上, ∴﹣b=﹣2,解得 b=2. 又 ∴a=4, ,a2=b2+c2, , .

可得椭圆 C 的标准方程为

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∠APQ=∠BPQ,则 PA,PB 的斜率互为相互数, 可设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为﹣k, 直线 PA 的方程为: 联立 =k(x﹣2), ,

化为

+4

﹣16=0,

∴x1+2=



同理可得:x2+2=

=



16

∴x1+x2=

,x1﹣x2=



kAB=

=

=



∴直线 AB 的斜率为定值



3. 已知椭圆 C : 9x2 ? y 2 ? m2 ? m ? 0? ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A 、
B ,线段 AB 的中点为 M .

(Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m ) ,延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形? 3

若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 解:(Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b ? k ? 0, b ? 0? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? xM , yM ?.
2 2 2 2 2 2 2 将 y ? kx ? b代入9 x ? y ? m 得 k ? 9 x ? 2kbx ? b ? m ? 0, 故

?

?

x1 ? x2 ?kb 9b ? , yM ? kxM ? b ? . 2 2 9?k 9 ? k2 y 9 于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即k gkOM ? -9 xM k xM ?
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 (

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ? 0, k ? 3 . 3 9 x. k 9 x 与 9 x2 ? y 2 ? m2 联立解得 k

由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ?

设点 P 的横坐标为 xP , y ? ?

xp2 ?

k 2 m2 ? km 即 xp ? 2 9k ? 81 3 k2 ? 9

b? m 将点 ( , m ) 的坐标代入 l 的方程得 3

m(3 ? k) km(k ? 3) ,因此 xM ? ???8 分 3 2
3(k ? 9)

17

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM. 于是

? km 3 k ?9
2

? 2?

km(k ? 3) 3(k 2 ? 9)

解得 k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7. 因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 , 所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4+ 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 4.已知椭圆 C: + (a>b>0)的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆

与直线 x﹣y+ =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右顶点 B 作两条互相垂直的直线 l1,l2,且分别交椭圆 C 于 M,N 两点,探究直线 MN 是否过定点?若过定点求出定点坐标,否则说明理由.
2 2 2 2 2 2

解: (I)∵

,∴a =2c =b +c ,∴a =2b , =0 相切,

∵以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ ∴ =b,
2

∴b=1.∴a =2. ∴椭圆 C 的方程为: .

(II)由题意可知:直线 l1,l2 的斜率都存在,设直线 l1:y=k(x﹣1) ,直线 l2:



设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联立

,化为(x﹣1)[(2+k )x﹣(k ﹣2)]=0,解得

2

2

x1=

,y1=



把 k 换成﹣ ,可得 x2=





∴kMN=

=



直线 MN 的方程为:

,化为



∴直线 MN 过定点



18

当 k=±1 时,M 综上可得:直线 MN 必过定点

,N .

, 此时直线 MN 也过定点



x2 y2 5. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角 a b
形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a =6,b =2, 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m),
2 2

x2 y2

m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2)
1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2.

m

当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.

x=my-2, ? ? 2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y + =1. ? ?6 2
消去 x,得(m +3)y -4my-2=0, 2 2 其判别式 Δ =16m +8(m +3)>0. 所以 y1+y2= 4m -2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3
2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3
设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m +1,
2

-12

6 2m ?- , 2 ? 2 ?. m + 3 m +3? ?

m

m

19

|PQ|= (x1-x2) +(y1-y2) 2 2 = (m +1)[(y1+y2) -4y1y2] = (m +1)?? ?
2

2

2

? 4m ?2 -2 ? ? -4? 2 2 ? m +3? ??m +3?



24(m +1) . m2+3 1 (m +3) ? = 24 m2+1 1 3 (4+4)= . 24 3
2 2

2

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 ? ?m +1+m2+1+4?≥ 24? ? 当且仅当 m +1=
2 2

4 |TF| ,即 m=±1 时,等号成立,此时 取得最小值. m +1 |PQ|

|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ|

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