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四川省金堂中学2016届高三上学期开学收心考试数学(文)试题 Word版含答案



金堂中学高 2016 届高三上期收心考试试题
数 学(文科)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中有 且只有一个选项是符合题目要求的 1、已知集合 A= {x | x ? 4 ? 0} ,则 CR A =( A. (??,4) B. (??,4] ) C. (4,??)

D. [4,??)

2、 “ a ? 2 ”是“直线 x ? y ? 0 与直线 2 x ? ay ? 0 互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

件 3、如图,长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,半圆的直径为 AB。在长方形 ABCD 内随机取一点,则 该点取自阴影部分的概率是 ( )

4 a ? b ? 0 4、若 ,则下列选项正确的是( )
A.

A.

? 4

B. 1 ?

?

C.

? 8

D. 1 ?

?
8
D. ?c ? 0 ,都有 ac ? bc

b a ? a b

B.

1 1 ? a b

C. a ? b (n ? N , n ? 2)
n n

5、执行如图所示的程序框图,则输出的 S 等于( ) A.19 B.42 C.47 D.89

6、在正项等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a9 ? 16 ,则 log2 a5 =( ) A . 16 B. 4 C. 8
0

D. 2

7、设 a ? sin 145°, b ? cos 52°, a ? tan 47 ,则 a , b, c 的大小关系是( ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b

8、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( ) A.2 B. 3 C.

3 2

D.

9 2

-1-

9、设 ? 、 ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题: ①若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? ; ③若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? ; 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 10、 若双曲线 ②若 l // ? , ? // ? ,则 l // ? ; ④若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? . C. 3 D. 4

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 相切, 则此双曲线的离 a2 b2

心率等于( ) A.

2 2

B. 2

C. 3

D.2

x 2 ? 2 x ? a, x ?
11、设函数 f ( x) ?

4 x ? 3, x ?
A. a ? ?2 B. a ? ?2

1 2

1 2 的最小值为-1,则实数 a 的取值范围是( )

1 1 D. a ? ? 4 4 ? 12、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (3) ? 1,f (?2) ? 3 , f ( x) 为 f ( x) 的导函
C. a ? ? 数,已知 y= f ?( x) 的图象如图所示,且 f ?( x) 有且只有一个零点,若非负实数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1,f (? a ? 2b) ? 3 ,则

b?2 的取值范围是( a ?1
C. ? ,5? ?5 ?



4? A. ? ? 0, ? ? ?5,??? ? 5?

B.

4

?

?

D. ? ,3? ?5 ?

4

?

?

-2-

金堂中学高 2016 届高三上期收心考试试题
数 学(文科)
第Ⅱ卷
高 2016 届 班 姓名: 考籍号: 座位号: ?????????????密????????????封????????????线???????????????? 13.复数

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请将正确答案填写在横线上

3?i 在复平面内对应的点的坐标为 1? i
.

甲 7 2 8 6 4 5 1 2 3

14、如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为

乙 2 6 3 1 9 1 2

15、 已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是 ________. 16、下列命题中

1 在定义域内为单调递减函数; x a ②函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的最小值为 2 a ; x ③已知定义在 R 上周期为 4 的函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 一定为偶函
①函数 f ( x ) ? 数; ④已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 则 a ? b ? c ? 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充 分条件; ⑤已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? 0 . 其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、(本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组
x

乙组 9 2 4 0 1 2 9 5 4
y

8

7

已知甲组数据的中位数为 13,乙组数据的众数是 18. (Ⅰ)求 x, y 的值,并用统计知识分析两组学生成绩的优劣;

-3-

(Ⅱ)从成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中任意抽取 3 名,求恰有 2 名学生在乙组 的概率.

18、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C 。 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

??? ? ??? ? 3 3 ,求 BA ? AC 的值。 2

19、(本小题满分 12 分)

已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围.

C1

20、(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? CA ? AA1 ? 2 ,侧棱 AA 1 ? 平面
A1 D B1

-4-

E

C

A

F

B

ABC , D 为棱 A1B1 的中点, E 为 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?
(1) 求证:EF//平面 BC1D ; (2) 求 VD- EBC1 的体积。

1 AB . 4

21、(本小题满分 13 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 的 a 2 b2

“准圆” 。若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程. (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作直线 l1 , l2 使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只 有一个交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M , N . (1)当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程. (2)求证: MN 为定值.

-5-

22、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x
1 2

(1) 若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? ) 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; (2) 如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ≥

k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

-6-

金堂中学高 2016 届摸底考试数学答案
DCBAB DABAB CD 8、试题分析:由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,PA⊥底面 ABCD,PA=x,底面是一个上 下边分别为 1,2,高为 2 的直角梯形.V= ? 故选:D. 13.(2,-1) ;14.54;15、(-3,+∞) ;16.③ ⑤ 15. 解析 方法一 (定义法) 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N*,都有 an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得 2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1).(*) 因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需 λ>-3. 方法二 (函数法) λ 设 f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线 n=- , 2 要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数, 故只需满足 f(1)<f(2),即 λ>-3. 17、 (Ⅰ)甲组五名学生的成绩为 9,12,10+x,24,27. 乙组五名学生的成绩为 9,15,10+y,18,24.

1 (1 ? 2) ? 2 x ? 3 ,所以 x=3. 3 2

-7-

因为甲组数据的中位数为 13,乙组数据的众数是 18 所以 x ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
y ?8;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 因为甲组数据的平均数为 5 , · 乙组数据的平均数是
84 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 5

85

则甲组学生成绩稍好些;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 (Ⅱ)成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中共有 5 名, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 从中任意抽取 3 名共有 10 种不同的抽法, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 恰有 2 名学生在乙组共有 6 种不同抽法, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 所以概率为
6 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 = .· 10 5

cos C , 18.解(1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B?

∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴B?
?
3

∴ 2cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又 0 ? B ??

; ???????????????????????????????6 分
3 3 1 ? 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 2 3 2

(2)方法一:∵ a ? 3 , △ABC 的面积为
b2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 ?

∴c?2

??8 分 9分

?
3

? 7 ,即 b ? 7 , ?????????????????

2? 2? 7 ??? ? ???? 7 ∴ BA?AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (? ) ? ?1 . 14

7 , ??????????????????????? 10 分 14

????????????????12 分

方法二: BA ? AC ? BA( BC ? BA) ? BA ? BC ? BA

??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?2 1 ? BA ? BC ? cos? BA, BC ? ? BA ? 2 ? 3 ? ? 22 ? ?1 ????????????12 分 2 19.解 (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),

f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的根,
-8-

所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 即 5a2-4a-1=0,解得 a=1 或 a=-5. 1 由于 a<0,舍去 a=1,将 a=-5代入①, 1 6 3 得 f(x)=-5x2-5x-5.
2 ? 1+2a?2 a +4a+1 ?- (2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a?x- 及 a<0,可得 f(x)的最大 a a ? ? 2

a2+4a+1 值为- . a ? a +4a+1 ?- >0, a 由? ? ?a<0,
2

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).
20、解:(1) 证明:由

DB1 AF 1 ? ? ,可知 EF // BD , BB1 AE 2
(6 分)

? ? ? EF // 平面BC1D . BD ? 平面BC1D ? EF // BD
(2) 由题可知 S ?EBD ? S ABB1 A1 ? S ?A1DE ? S ?ABE ? S ?BDB1 ?

3 . 2

? A1 A ? 平面A1 B1C1 ? ? ? A1 A ? C1 D ? C1 D ? 平面A1 B1C1 ? ? ? C1 D ? 平面ABB1 A1 ???????????????????????????????????C1 D ? A1 B1 ? ?
则 VC1 ? EBD ?

1 3 S?EBD ? C1D ? 3 2 ?EBC1 中, EC ? 5 , EB ? 5 , BC1 ? 2 2 ,则 S?EBC1 ? 6
(12 分)

3 2 1 1 3 VC1 ? EBD ? S?EBC1 ? h ? 6 ?h ? ,则 h ? . 4 3 3 2
21、21.(Ⅰ)?c ? 2, a ? 3,?b ? 1 ,? 椭圆方程为 准圆方程为 x ? y ? 1.
2 2

x2 ? y2 ? 1 3
4分

(Ⅱ) (1)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0, 2) ,
2 2

-9-

设过点 P(0, 2) 且与椭圆有一个公共点的直线为 y ? kx ? 2 ,

? y ? kx ? 2 ? 所以由 ? x 2 消去 y ,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ?3
因为椭圆与 y ? kx ? 2 只有一个公共点, 所以 ? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,解得 k ? ?1 。 所以 l1 , l2 方程为 y ? ? x ? 2 . (2)①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x ? ? 3 , 当 l1 方程为 3 时,此时 l1 与准圆交于点 ( 3,1) , ( 3, ?1) , 此时经过点 ( 3,1) (或 ( 3, ?1) )且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? 1 (或 y ? ?1 ) , 即 l2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 , l2 垂直; 同理可证 l1 方程为 x ? ? 3 时,直线 l1 , l2 垂直.
2 2 ②当 l1 , l2 都有斜率时,设点 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? y0 ? 4.

4分

8分

设经过点 P( x0 , y0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , 则?

? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 ?x ? y ? 4
2 2

消去 y ,得 (1 ? 3t 2 ) x2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) ? 3( y0 ? tx0 )2 ? 3 ? 0 .

2 2 由 ? ? 0 化简整理得: (3 ? x0 )t ? 2x0 y0t ?1 ? y2 ? 0
2 2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2x0 y0t ? x0 ?3 ? 0.

设 l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l2 与椭圆只有一个公共点, 所以 t1 , t 2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2x0 y0t ? x0 ? 3 ? 0 ,
2 2 2

所以 t2t2 ? ?1 ,即 l1 , l2 垂直.
综合①②知: 因为 又分别交其准圆于点 M , N , 且 所以线段 MN l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) , l1 , l2 垂直,

- 10 -

为准圆

x 2 ? y 2 ? 4 的直径,所以 MN ? 4 .

13 分

1 ? 1 ? ln x ln x ?? 2 . 2 x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 所以, x ? 1 为极大值点, 1 1 1 所以 a ? 1 ? a ? ,故 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 ( ,1) . (6 分) 2 2 2 ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) (2)当 x ? 1 时, k ? ,令 g ( x) ? , x x 1 [1 ? ln x ? 1 ? ]x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x x 则 g ?( x) ? .再令 h( x) ? x ? ln x , ? 2 x x2 1 则 h?( x ) ? 1 ? ? 0 ,所以 h( x) ? h(1) ? 1,所以 g ?( x) ? 0 , x 所以 g ( x) 为单调增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 2 ,故 k ? 2 . (13 分)
22、解:(1)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

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