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几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


课时作业 3

几个常用函数的导数、基本初等函数的 导数公式及导数的运算法则
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1.给出下列结论:
? π? π ①(cosx)′=sinx;②?sin3?′=cos3; ? ?

1? ? 1 1 1 ③若 y=x2,则 y′=-x;④?- ?′= x? ? 2x x 其中正确的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:(cosx)′=-sinx,所以①错误;
? 3? π 3 sin3= 2 ,而? ?′=0,所以②错误; ?2 ?

0 -? x ? ′ -2 x ?1? ? 2?′= = x4 =-2x-3,所以③错误; x4 ?x ?
2

所 以④正确. 答案:B 2.函数 y=sinx· cosx 的导数是( A.y′=cos2x+sin2x ) B.y′=cos2x-sin2x

C.y′=2cosx· sinx

D.y′=cosx· sinx

解析: y′=(sinx· cosx)′=cosx· cosx+sinx· (-sinx)=cos2x-sin2x. 答案:B 3.f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x), n∈N,则 f2 013(x)=( A.sinx C.cosx ) B.-sinx D.-cosx

解析:因为 f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x) =(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx, f5(x)=(sinx)′=cosx,所以循环周期为 4,因此 f2 013(x)= f1(x)=cosx. 答案:C 4. 对任意的 x, 有 f′(x)=4x3, f(1)=-1, 则此函数解析式为( A.f(x)=x3 C.f(x)=x3+1 B.f(x)=x4-2 D.f(x)=x4-1 )

解析:由 f′(x)=4x3 知,f(x)中含有 x4 项,然后将 x=1 代入选项 中验证可得. 答案:B x2 1 5. 已知曲线 y= 4 -3lnx 的一条切线的斜率为2, 则切点的横坐标 为( ) A.3 C.1 B.2 1 D.2

x 3 x 3 1 解析: 因为 y′=2-x, 所以根据导数的几何意义可知, 2-x =2, 解得 x=3(x=-2 不合题意,舍去). 答案:A 6.已知直线 y=3x+1 与曲线 y=ax3+3 相切,则 a 的值为( A.1 C.-1 B.± 1 D.-2 )

解析:设切点为(x0,y0),则 y0=3x0+1,且 y0=ax3 0+3,所以 3x0
2 2 +1=ax3 ①.对 y=ax3+3 求导得 y′=3ax2,则 3ax0 =3,ax0 =1 0+3

②,由①②可得 x0=1,所以 a=1. 答案:A 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= ________. 1 1 解析:y′=k+x,由题意知,y′|x=1=0,即当 x=1 时,k+x= k+1=0,解得 k=-1. 答案:-1 8.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)= ________. 1 解析:由 f(ex)=x+ex,可得 f(x)=lnx+x,得 f′(x)=x+1,f′(1) =1+1=2. 答案:2

?π? ?π? 9.已知函数 f(x)=f′?4?cosx+sinx,则 f?4?=________. ? ? ? ? ?π? 解析:∵f′(x)=-f′?4?sinx+cosx, ? ? ?π? ?π? ?π? 2 2 ∴f′?4?=-f′?4?× 2 + 2 ,得 f′?4?= 2-1. ? ? ? ? ? ?

∴f(x)=( 2-1)cosx+sinx.
?π? ∴f?4?=1. ? ?

答案:1 三、解答题(共计 40 分) 10.(10 分)求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=x?x2+x +x3?;
? ?

1+cosx (2)y= x2 ; (3)y=(4x-x)(ex+1). 1 1? ? 1 解:(1)∵y=x?x2+x +x3?=x3+1+x2,
? ?

2 ∴y′=3x2-x3. ?1+cosx?′· x2-?1+cosx??x2?′ (2)y′= x4 = -xsinx-2cosx-2 . x3

(3)法 1:∵y=(4x-x)(ex+1)=4xex+4x-xex-x, ∴y′=(4xex+4x-xex-x)′=(4x)′ex+4x(ex)′+(4x)′-[x′ex+

x(ex)′]-x′=ex4xln4+4xex+4xln4-ex-xex-1=ex(4xln4+4x-1-x) +4xln4-1. 法 2:y′=(4x-x)′(ex+1)+(4x-x)(ex+1)′=(4xln4-1)(ex+1) +(4x-x)ex=ex(4xln4+4x-1-x)+4xln4-1. 11.(15 分)已知点 P 是曲线 y=ex 上任一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.

解:设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),该 切点即为与 y=x 距离最近的点,如右图,则在点 P(x0,y0)处的切线的 斜率为 1,即 y′|x=x0=1. ∵y′=(ex)′=ex. ∴ex0=1,得 x0=0,代入 y=ex,得 y0=1,即 P(0,1), 利用点到直线的距离公式得 d= |0-1| 2 = . 12+?-1?2 2

2 故点 P 到直线 y=x 的最小距离为 2 . 12.(15 分)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线 y= f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值. 解:f(x)=ax2+1(a>0),则 f′(x)=2ax,从而 k1=2a;

g(x)=x3+bx,则 g′(x)=3x2+b,k2=3+b, 由题意得,2a=3+b.① 又 f(1)=a+1,g(1)=1+b,∴a+1=1+b,即 a=b,代入①式可 得 a=b=3.


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