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选修2-3 1.2.1排列



1.2.1

排列(1)

知识回顾

分类加法计数原理: 完成一件事,有n类不同方案,在第1类方案 中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同 的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那 么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种 不同的方法. 分步乘法计数原理: 完成一件事,需要分成

n个步骤,做第1步有 m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……, 做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.

探究
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加 下午的活动,有多少种不同的选法?

分析:题目转化顺序排列问题,
上午
甲 乙

下午 乙 丙 甲 丙
甲 乙

相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙
丙甲



丙乙

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
1 2
3

2 4 1
3

3

4
3

1 2

2

4 2

1
3 1

4 2

3 3 1

3 42 42 3

3 41 41

41 4 1 2

2

有此可写出所有的三位数:
123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按 照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出 2名参加某天的一项活动,其 中1名参加上午的活动,1名参 加下午的活动,有哪些不同的 排法? 实质是:从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法?

问题2 从1,2,3,4这4个数 中,每次取出3个排成一 个三位数,共可得到多少 个不同的三位数?
实质是:从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.

定义:一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.

1、排列:

基本概念

从n个不同元素中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

说明:
(互异性) 1、元素不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一 (有序性) 个问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素 完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。

4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。

练习1 下列问题是排列问题吗?
(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法, 其不同结果有多少种? 不是排列 (2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法, 其不同结果有多少种? 是排列 (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标, 可得多少个不同的点的坐标? 是排列 (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最 多可确定多少条射线?可确定多少条直线? 不是排列 是排列 (5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种? 是排列

练习3.写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的 所有排列.

解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列, 共20个. 若把这题改为:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取3 个元素的所有排列,结果如何呢?
方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.

2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 “排列”和“排列数”有什么区别和联 系? n 个不同元素中,任取 m 个元素 “一个排列”是指:从
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的 所有排列的个数,是一个数.

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3 ? 2 ? 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢? 2 m An ? n(n ? 1) An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)
3 An ? n(n ? 1)(n ? 2)

第 1位

第 2位

第 3位

第m位

……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

排列数公式(1):

A ? n(n ? 1)( n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n)
n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2) ?3 ? 2 ?1

m n

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用

n!表示。

n! 排列数公式(2): A ? (n ? m)!
m n

n n个不同元素的全排列公式: An ? n!

说明:

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

2、对于 m ? 件。

n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条

有关排列数的计算与证明

n n!

2
2

3
6

4
24

5
120

6
720
4 (3 ) 6

7

8

5040 40320

例1. 计算 3 (1 )A 解: (1)A (2)

6 (2) 16 6

A

A

3 16
6 6

? 16 ? 15 ? 14 ? 3360
? 6 ! ? 720
? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360

A

(3) A 4
6

m 例2.证明: n ?1

A

? A ? mA
m n

m -1 n

证明:右边

n! n! ? ? m? ( n ? m )! ( n ? m ? 1)!

n! A ? ( n - m )!
m n

( n ? 1)n ! n !? (n ? m ? 1) ? n !? m ? ? ( n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! ( n ? 1)! m ? ? An?1 ? 左 [( n ? 1) ? m ]!

巩固练习:
1、如果A ? 18 ? 17 ? ? ? 9 ? 8,
m n

则n ? ___, m ? ___ 由n=18,n-m+1=8,得m=11
2、若n ? N , 则(55 ? n)(56 ? n)? ( 68 ? n)( 69 ? n) 用排列数符号表示为__________

A

15 69? n

3、如果A

3 2n

? 10 A , 则n ? _____
3 n

即2n(2n - 1)(2n - 2) = 10n(n - 1)(n - 2) \ n = 8

小结:

【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.

【关键点】 1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)

【排列数】所有排列总数

A ? n(n ? 1)( n ? 2)...( n ? m ? 1) n! m An = (n- m)!
m n

练习:
求解下列各式的值或解不等式。

A + A (1) = ? A - A
5 9 6 10 4 9 5 10

(2)n 壮 An

3

3 An

2

注意:含有排列数的方程或不等式,应根据有关公式 转化为一般方程,再求解.但应注意:其中的字母都 是满足一定限制条件的自然数.

1.2.1

排列(2)

知识回顾
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m个元素不可重复 取)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.

1、排列的定义:

2.排列数的定义:
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素的所有排列的个数 m 叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 An

3.有关公式:

?1?.阶乘:n! ? 1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n
(2)排列数公式:
m n

n! A ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (m、n? N*, m ? n) (n ? m)!

A ? n!
n n

例1 某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元

素的一个排列,因此,比赛的总场次是

A ? 14 ?13 ? 182
2 14

例 2(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各 1本,共有多少种不同的送法?

“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”

A = 5×4×3= 60
5

3

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各 1本,共有多少种不同的送法?

5×5×5= 125
被选元素可重复选取,不是排列问题!

例3 用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复 数字的三位数?

特殊位置“百位”,特殊元素“0”

法1: 法2 :

A ?A
9
3 9

1

2

9

? 9 ? 9 ? 8 ? 648
2

百 位

十 位

个 位

A ?2A

9

? 648
百位 十位 个位 百位 十位 个位

百位 十位 个位

0
A
3 9

0
A
2 9

A

2

9

例3 用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复 数字的三位数?

特殊位置“百位”,特殊元素“0”

法3:A10 ? A9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648
3 2

注意
对于有限制条件的排列问题,必须遵循 “特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排”, 并注意“合理分类,准确分步”,做到“不重 不漏,步骤完整” ,适当考虑“正难则反” 。

有约束条件的数字问题
例4、用0、1、2、3、4五个数字: (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个无重复数字的五位数? (3)可以组成多少个无重复数字的五位奇数? (4)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的 五位数?

有约束条件的排队问题
例5、3名男生和4个女生按照不同的要求排队,求不同 的排法种数:
(1)选5名同学站成一排; (2)选5名同学站成两排,前排2人,后排3人; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,男、女各站在一起;相邻问题,”捆绑法”

(5)全体站成一排,男、女生各不相邻;不相邻问题,“插空法”

(6)全体站成一排,男生不相邻;
(7)全体站成一排,甲、乙之间必须有2人; (8)全体站成一排,甲必须在乙的右边;

定序问题,用”除法” (9)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变。

方法总结
1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;
⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻);

方法总结

基本的解题方法:

(1)有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特 殊元素或特殊位置;称为特殊元素(或位置)优先考虑法 (2)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作 一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排 列,这种方法称为“捆绑法”;即“相邻元素捆绑法” (3)某些元素不相邻排列时,可以先安排其他元素,再 将这些不相邻元素插入空当,这种方法称为“插空法”; 即“不相邻元素插空法” (4)当n个元素的全排列中,有m个元素顺序一定时, 这时排列的种数为 A n n Am m

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4 ? 348
3 2 5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 2 3 4 A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?
3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?
3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3 种 C.6 种 D.27 种
3 A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6



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