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第四章 定积分章末归纳提升 课件(北师大版选修2-2)



BS· 数学 选修1-2 BS· 数学 选修1-2 BS· 数学 选修1-2 求定积分 求定积分的主要方法如下: 1.利用定义求定积分.步骤:(1)分割区间;(2)求过剩 估计值、不足估计值;(3)取极限. 2.利用定积分的几何意义求定积分. 3.利用微积分基本定理求定积分.若 F′(x)= f(x), ?b ? ? ?a f?x?dx =F(b)-F(a). BS· 数学 求下列定积分: 3 (1)? ? ? 选修1-2 ?-3 9-x2dx;(2)? ?e ?1 e ln3x | x |dx. 【思路点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解; (2)先去绝对值号,然后结合定积分的性质求解. 【规范解答】 (1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径 为 3 的半圆周,由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆 2 π·3 9π 2 的面积,所以有? = . 3-3 9-x dx= ? 2 2 BS· 数学 3 ? ln x 1 - x , ≤x≤1, 3 ? e ln x (2)∵| x |=? 3 ?ln x,1≤x≤e, ? x 选修1-2 ∴? ?e ?1 e 3 3 ln3x e ln x ln x ?e ? | x |dx=? (- x )dx+? d x. ? x 1 ? ? e 1 ln4x ln3x ∵( )′= x , 4 BS· 数学 选修1-2 π ? ?sin x,0≤x≤2, ? π 已知函数 f(x)=? ?1,2≤x≤2, ? ?x-1,2≤x≤4, 再求这个函数在[0,4]上的定积分. 先画出函数图像, BS· 数学 选修1-2 【解】 ?4 ? ? ?0 图像如图. ?2 xdx+? ? ?π 2 4 1dx+? ? (x-1)dx ? ?2 ?π f(x)dx=?2sin ? ?0 = π π =1+(2- )+(4-0)=7- . 2 2 BS· 数学 定积分在几何中的应用 选修1-2 由积分的概念可知,定积分在研究求解曲边平面图形 的面积以及旋转体的体积中有广泛的应用.求解时应将相应 问题画出草图,适当分割后转化为定积分求解. BS· 数学 选修1-2 求由曲线 y=x2,y=x,及 y=2x 所围成的平面图 形的面积. 【思路点拨】 画出草图 → 求交点坐标 确定被积函数 → → 求定积分 及积分上、下限 【规范解答】 2 ? ?y=x , 由? ? ?y=2x 2 ? ?y=x , 由? ? ?y=x 得 A(1,1), 得 B(2,4). BS· 数学 选修1-2 2 1 ?2 如图阴影部分面积为 S=? ? (2x-x)dx+? (2x-x )dx ? ? ?0 ?1 2 1 ?2 =? ? xdx+? (2x-x )dx ? ? ?0 ?1 1 21 22 1 32 7 = x |0+x |1- x |1= . 2 3 6 7 故所围成的平面图形的面积为 . 6 BS· 数学 选修1-2 求抛物线 y2=2x 和直线 y=-x+4 所围成的图形的面 积. 【解】 2 ? ?y =2x, ? ? ?y=-x+4, 先求抛物线和直线的交点,解方程组 求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8,-4). 法一 选 x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割 成两部分(如图),则面积为 BS· 数学 2 ?8 S=S1+S2=2? ? 2 x d x + ? ( 2x-x


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