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100测评网江苏省淮安中学2009年高三45分钟课堂精练(4)(数学)



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江苏省淮安中学 2009 年高三 45 分钟课堂精练 4 数学
1、已知复数 z 满足 z2+1=0,则(z6+i)(z6—i)= · 2、在半径为 1 的圆周上按顺序均匀分布着 A1,A2,A3,A4,A5,A6,六个点.则 A1 A2 ?


A2 A3 + A2 A3 ? A3 A4 + A3 A4 ? A5 A6 + A4 A5 ? A5 A6 + A5 A6 ? A6 A1 =
?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 3 、若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围 y ? 0 ? ? ?x ? y ? a
是 · 4、已知?ABC 三边的长 a,b,c 都是整数,且 a≤b≤c,如果 b=m(m∈N*),则这样的三角 形共 有 个(用 m 表示). 5、若 a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,且 sin ? ? a , 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

(? ? [0, ]) ,则 tan = 2 2
6、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 ? ? 0, ? ? 轴的任意两个相邻交点间的距离为

?

?


? ), g(x) ? 2 sin2 x .若函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 2

? ? ,且直线 x ? 是函数 y ? f ( x ) 图像的一条对称轴. 2 6

(1)求 f ( x ) 的表达式. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g( x) 的单调递增区间.

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7、如右图(1)示,定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 A, 都有 f ( x ) ≥A 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有下界,其中 A 称为函数的下界. (提示:图(1)、(2)中的常数 A、B 可以是正数,也可以 是负数或零) (1) 试判断函数 f ( x) ? x ?
3

48 在 (0, +?) 上是否有下界?并说明理由; x

(1)

(2)又如具有右图(2)特征的函数称为在 D 上有上界。请你类 比函数有下界的定义,给出函数 f ( x ) 在 D 上有上界的定义,并判断(1) 中的函数在(- ? , 0)上是否有上界?并说明理由; (3)若函数 f ( x ) 在 D 上既有上界又有下界,则称函数 f ( x ) 在 D 上 有 界 , 函 数 f ( x ) 叫 做 有 界 函 数 . 试 探 究 函 数 f ( x) ? ax ?
3

b ( a ? 0, x

(2)

b ? 0 a , b 是常数)是否是 [m, n] ( m ? 0, n ? 0, m 、 n 是常数)上的有界函数?

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课堂精练 4 答案
1、2; 2、3; 3、(0,1]U[4/3, +∞); 4、m(m+1)/2; 5、
2 ; 3
? 得函数周期为 ? , 2

6、(1)由函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为
?? ? 2
? ? 2k? ?

? 直线 x ?

? ? 是函数 y ? f ( x ) 图像的一条对称轴,? sin(2 ? ? ?) ? ?1 , 6 6 ? ? f (x) ? sin(2x ? ) . 6

? 7? ? ? 或 2k? ? , (k ? Z ) , ? ? ? , ? ? ? . 6 6 2 6

? ? (2) h(x) ? sin(2x ? ) ? cos 2x ? 1 ? sin(2x ? ) ? 1 6 6 ? 2k? ? ? ? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z) , 2 6 2 ? ? ? x ? k? ? (k ? Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 k? ? 7、 解: (1) 解法 1: ∵ f ?( x) ? 3 x ?
2

48 48 x 0 ? 得 3 x 2 ? 2 ? 0 x4 ? 16, ∵ x ? (0, ??) , , 由 f ?() 2 x x

∴ x ? 2 ,∵当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0,2)上是减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(2,+ ? )上是增函数; ∴ x ? 2 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, f ( x) min ? f (2) ? 8 ?

48 ? 32 2

∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x ) ? 32,即在区间( 0 ,+ ? )上存在常数 A=32, 使得对

?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立,∴函数 f ( x) ? x 3 ?
解法 2:

48 在(0,+ ? )上有下界. x

x ? 0 ? f ( x) ? x 3 ?
3

48 16 16 16 16 16 16 ? x3 ? ? ? ? 4 4 x3 ? ? ? ? 32 x x x x x x x

当且仅当 x ?

16 即 x ? 2 时“=”成立,∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , x

即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立, ∴函数 f ( x) ? x ?
3

48 在(0,+ ? )上有下界.] x

(2)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 B,都有 f ( x ) ≤B 成立,则称函

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数 f ( x) 在 D 上有上界,其中 B 称为函数的上界. 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,由(1)知,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 ,
3

∴ f (? x) ? 32 ,∵函数 f ( x) ? x ?

48 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) x

∴ ? f ( x) ? 32 ,∴ f ( x) ? ?32 ,即存在常数 B=-32,对 ? x ? (??,0) ,都有 f ( x) ? B ,

48 在(- ? , 0)上有上界. x b b 2 2 (3)∵ f ?( x ) ? 3ax ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 3ax ? 2 ? 0 ,∵ a ? 0, b ? 0 x x
∴函数 f ( x) ? x ?
3

∴x ?
4

b , 3a
4

∵ [m, n] ? (0, ??) , ∴ x ?

4

b , 3a

∵当 0 ? x ?

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0, 4 )上是减函数; 3a 3a

当x?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在( 4 ,+ ? )上是增函数; 3a 3a b 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, 3a

∴x?

4

f (4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a
4

①当 m ?

b 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上是增函数;∴ f (m) ? f ( x) ? f (n) 3a

∵ m 、 n 是常数,∴ f ( m) 、 f ( n) 都是常数,令 f (m) ? A, f (n) ? B , ∴对 ?x ?[m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B 即函数 f ( x) ? ax ?
3

b 在 [m, n] 上既有上界又有下界 x

②当 n ?

4

b 时函数 f ( x) 在 [m, n] 上是减函数 3a
3

∴对 ?x ?[m, n] 都有 f (n) ? f ( x) ? f (m) ,∴函数 f ( x) ? ax ? ③当 m ?

b 在 [m, n] 上有界. x

4

b ? n 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上有最小值 3a

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f ( x)min = f ( 4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a

令A?

44 3ab3 ,令 B= f ( m) 、 f (n) 中的最大者 3
3

则对 ?x ?[m, n] ,? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B , ∴函数 f ( x) ? ax ? 综上可知函数 f ( x) ? ax ?
3

b 在 [m, n] 上有界. x

b 是 [m, n] 上的有界函数。 x

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