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高一补充一元二次不等式及其解法



1

x(35 ? x) 先化简不等式 >1.5x 整理得 x 2 ? 5 x ? 0 20 如何解关于 x 的不等式 x 2 ? 5 x ? 0 ???
作出二次函数 y ? x 2 ? 5 x 的图象如图所示

由右边的图象填空:

⑴当 x=0 或 5 时,
⑵当 0<x<5 时,

2 y = 0, 即 x ? 5x = 0; 2 y < 0, 即 x ? 5x < 0;

> 0, 即 x2 ? 5x > 0. ⑶当 x<0 或 x>5 时, y
∴可知 x 2 ? 5 x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?

一元二次不等式也可用图象法求解
2

关键在于快速准确捕捉图像的特征

一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴 交点的横标,一元二次不等式的解集即一元二次 函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。

问:y= ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交 点情况有哪几种?

利用二次函数图象能解一元二次不等式!

Δ>0

Δ=0

Δ<0

3

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0

△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= ? 2a {x|x≠
? b 2a}

△<0
y

y x1 O

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

O 没有实根

x

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

R Φ

{x|x1< x <x2 }

Φ

4

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 . 解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
方程的解2x2-3x-2 =0的解 是 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

先求方程的根

然后想像图象形状

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
5

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
1 则不等式的解集为:? ? x ? 2 注:开口向上,小于0 2
图象为: 解集是大于小根且 小于大根(两边夹)

-2

3

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式

化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、最高次的系数为 正); 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的 两根; 下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式 记忆口诀: 6 大于0取两边,小于0取中间.

若a<0时,先变形!

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等 式其方法步骤是:

? 化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、 最高次的系数为正); ? 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正, 则求出相应方程的两根; ? 下结论:注意结果要写成集合或者区间的 形式 ? 记忆口诀: ? 大于0取两边,小于0取中间. ? 切记:若a<0时,先变形!
7

例2.解不等式 -3x2+6x > 2
解: ∵-3x2+6x >2

3x2-6x+2 < 0

∵方程的解3x2-6x+2 =0的解是
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? . 3 3
? 3 3? ? x ? 1? 所以,原不等式的解集是 ? x | 1 ? ? 3 3 ? ?
8

例3.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解
9

例4.解不等式 -x2 +2x-3 > 0 略解: -x2 +2x-3 > 0

x2 -2x+3 < 0
无 解

注:x2 -2x+3 >0

x? R
10

课堂练习

解下列关于x的不等式 (1) x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2) 3x ? 7 x ? 10
2

11



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