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2010-2011学年度上期期末高二考试(数学理科)


2010—2011 学年度上期期末高二年级
数 学 试 题(理科)
命题人:吴磊
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1) ab “

? 0 ”是“ a ? 0 ”的
(B)必要条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分条件 (C)充要条件 (2)命题

p : y ? sin x 是周期函数,命题 q :空集是集合 A 的子集,则 (A) ?p ? q 为真命题 (B) p ? ?q 为真命题 (C) ?p ? ?q 为真命题 (D) p ? q 为真命题
(3)命题甲:有一个实数 x0 ,使 x0
2

? 2 x0 ? 3 ? 0 ;命题乙:存在两个相交平面垂直
(C)2 个
2

于同一条直线;命题丙:有些整数只有两个正因数.其中真命题的个数有 (A)0 个 (B)1 个 (D)3 个

(4) A(1 ?2), B(2,?3), C(3,10) , 点 在方程 x , 上的点的个数是 (A)0 个 (B)1 个

? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线
(D)3 个

(C)2 个

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 (5)如果椭圆 100 36

F2 的距离是
(A)12 (B)14
2 2

(C)16

(D)20

x2 y2 ? ? 1 ,比较这两个椭圆的形状 (6)椭圆 C1 : 9 x ? y ? 36 ,椭圆 C2 : 16 12
(A) C1 更圆 (B) C 2 更圆 (C) C1 与 C 2 一样圆(D)无法确定

新乡市一中 2010-2011 学年度上期期末高二数学(理科)试卷第 1 页

(7)研究双曲线方程: 9 y

2

? 16 x 2 ? 144 ,下列判断正确的是 ..

3 4 (C)渐近线方程为 y ? ? x (D)焦点在 x 轴 4 5 (8)已知点 P(2,3) ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,动点 M 到点 P 的距离与动点 M 到直线 l 的距离相等,则动点 M 的轨迹为
(A)实轴长是 8(B)离心率为 (A)抛物线 (B)圆
2

(C)椭圆

(D)一条直线

(9)已知抛物线 C:y

? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF
(A)4

,则 ?AFK 的面积是 (B)8 (C)16 (D)32 在 OA 上,
O

OA (10) 如图, 空间四边形 OABC 中,
且 OM (A)

? a, OB ? b, OC ? c , M 点

? 2MA ,点 N 为 BC 中点,则 MN ?

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 (C) a ? b ? c 2 2 2
(11)已知 a

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 (D) a ? b ? c 3 3 2
(B) ?

M

A N B

C

? (1 ? t ,2t ? 1,0), b ? (2, t , t ) ,则 b ? a
(B)

的最小值是

(A)

5

6

(C)

2

(D)

3

x2 y2 (12)点 B 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 上在第一象限的任意一点, A a b 为双曲线的左顶点, F 为右焦点,若 ?BFA ? 2?BAF ,则双曲线 C 的离心率为
(A)

3

(B)3

(C)

2

(D)2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
新乡市一中 2010-2011 学年度上期期末高二数学(理科)试卷第 2 页

( 13 ) 命 题 “ ?x ? R,2 x 是

2

? 3ax ? 9 ? 0 ” 为 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围


(14)已知椭圆的两个焦点坐标分别为

?? 2,0?, ?2,0? ,并且经过点 ? 5 ,? 3 ? ,则它 ? ?
?2 2?


的标准方程为 (15)已知抛物线的方程为

y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P?? 2,1? ,斜率为 k ,若直线 l 与

?

抛物线中有一个公共点,则 k =

(16)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内,它与两个半平面所成的角都是 30 , 则这条线段与这个二面角的棱所成的角是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知

p : 5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0, q :

请说明 ?p 是 ?q 的什么条件?

1 ? 0, x2 ? 4x ? 5

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 值.

f ( x) ? x3 ? mx 2 ? m2 x ? 1(m 为常数,且 m ? 0) 有极大值 9,求 m 的

(19) (本小题满分 12 分) 一动圆截直线 3x ? 方程.

y ? 0 和 3x ? y ? 0 所得的弦长分别为

8,4,求动圆圆心的轨迹

新乡市一中 2010-2011 学年度上期期末高二数学(理科)试卷第 3 页

(20) (本小题满分 12 分) 正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中, M , N , P 分别为 AD, A1 B1 , C1C 的中点.
D1 A1 P B1 N C1

(1)求证: BD1

? 平面 MNP ;

(2)求 A1C 与平面 MNP 所成角的余弦值.

M A
(21) (本小题满分 12 分)

D B

C

y2 ? 1 ,过点 P?1,1? 能否作一条直线 l ,与双曲线交于 A, B 两点, 已知双曲线 x ? 2 且点 P 是线段 AB 的中点?如果能,求出直线 l 的方程;如果不能,请说明理由.
2

(22) (本小题满分 12 分)

0) 已知 F(- 2, ,以 F 为圆心的圆,半径为 r ,点 A(2,0) 是一个定点, P 是圆上任
意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 FP 相交于点 Q .在下列条件下,求点 Q 的轨 迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

? 1 时,点 P 在圆上运动; (2) r ? 9 时,点 P 在圆上运动.
(1) r

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2010—2011 学年度上期期末高二年级
数学(理科)参考答案
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 (1)A; (2)D; (3)B; (4)C; (5)B; (6)B; (7)A; (8)D; (9)B; (10)B; (11)C; (12)D;
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x2 y2 1 ? ? ? 1; (13) ?? 2 2, 2 2 ?; (14) (15) ? 1或 0 或 ; (16) 45 ; 10 6 2
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文说明,证明过程或演算步骤.

(17) (本小题满分 10 分) 解:由题意,

1? ? p : ? ? ?,? ? ? ?1,???, q : ?? ?,?5? ? ?1,??? ,则有 5? ?

? 1 ? ?p : ? ? ,1?, ?q : ?? 5,1?,从而 ?p 是 ?q 的充分而不必要条件. ? 5 ?
(18) (本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f (x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 (-m,

1 m, 3

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

(

1 m ,+∞) 3
+



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从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
y

(19) (本小题满分 12 分)
解:如图所示,设点

M ( x, y)

,由条件可得,
M C E B A x

AB ? 4, EC ? 2 ,由垂径定理可得, MA2 ? AB2 ? MC 2 ? EC 2 ,由点到直线的距离公式可
得,

?3x ? y ?
10

2

(3x ? y ) 2 ? 16 ? ?4 10

, 化 简 可 得 ,

xy ? 10 . ?点M 的轨迹方程为 xy ? 10 .
(20) (本小题满分 12 分)
解:本题用向量法解,第一问易得,第二问所求余弦值为

1 . 3

(21) (本小题满分 12 分) 解:本题考查学生联立直线与圆锥曲线的位置关系,以及与中点弦有关的问题,
该直线是不存在的.

(22) (本小题满分 12 分)

4 y2 ? 1( x ? 0) ,是双曲线的右支; 解: (1) 4 x ? 15 4x2 4 y 2 ? ? 1 ,是椭圆. (2) 81 65
2

本卷题目大多数在教材上可以查到,请老师们根据学生答卷情况给予评分!

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