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2016年普通高等学校招生全国统一考试(理数)



2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

/>第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范
围是

, (B) (?1, ? 3) 3) (C) (1, +?) (D) (-?, (A) (?31)
(2)已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ?

1, 2, 3} (D) {?1, 0, 1, 2, 3} , 2} (C) {0, (A) {1} (B) {1
(3)已知向量 a ? (1, m),b =(3, ?2) ,且 (a + b ) ? b ,则 m= (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8 (4)圆 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=
2 2

4 (A) 3 ?

3 (B) 4 (C) 3 (D)2 ?

(5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老 年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π π (7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则评议后图象的对称轴为 12 kπ π kπ π kπ π kπ π (A)x= – (k∈Z) (B)x= + (k∈Z) (C)x= – (k∈Z) (D)x= + (k 2 6 2 6 2 12 2 12 ∈Z) (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序 框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34 π 3 (9)若 cos( –α )= ,则 sin 2α = 4 5

7 1 1 7 (A) (B) (C)– (D)– 25 5 5 25 (10)从区间 0,1 随机抽取 2n 个数

? ?

x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn ,构成 n 个数对

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机
模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为

4n (A) m

2n (B) m

4m 2m (C) n (D) n

x2 y 2 (11)已知 F1,F2 是双曲线 E 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,M F1 与 x 轴垂直, a b
sin ?MF2 F1 ? (A) 2

1 ,则 E 的离心率为 3
(B)

3 (C) 3 2

(D)2

x ? 1 y ? f ( x) ( 12 )已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x ),若函数 y ? 与 图像 x
的交点为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则 (A)0 (B)m (C)2m

? (x ? y ) ?
i ?1 i i

m

(D)4m

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= b= . (14)α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m ? α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) (15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与

4 5 ,cos C= ,a=1,则 5 13

丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的 数字是 。 。 (16)若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+2)的切线,则 b=

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分)

,S7 ? 28. 记 bn = ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 an =1
的最大整数,如 ?0.9? =0, ?lg99? =1 . (I)求 b1,b11,b101 ; (II)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 18.(本题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年 度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 1 2 上年度出 0 险次数 0.85a a 1.25a 保费 3 1.5a 4 1.75a 4 0.10

?5
2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 1 2 3 一年内出 0 险次数 0.30 0.15 0.20 0.20 概率 (I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

?5
0. 05

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,

5 ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D?EF 的位置, OD? ? 10 . 4 (I)证明: D ?H ? 平面 ABCD;
AE=CF= (II)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 t 3

A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t=4, AM ? AN 时,求△AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围. (21) (本小题满分 12 分) (I)讨论函数 f (x) ?

x?2 x e 的单调性,并证明当 x >0 时, ( x ? 2)e x ? x ? 2 ? 0; x?2

g x) = (II)证明:当 a ? [0,1) 时,函数 (
h(a) ,求函数 h(a) 的值域.

e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g(x)的最小值为 x2

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,E,F 四点共圆; (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (II)直线 l 的参数方程是 求 l 的斜率。 (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣,M 为不等式 f(x) <2 的解集.
2 2 1 1

= cos, (t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点,∣AB∣= 10, = sin,

(I)求 M; (II)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣.



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