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球体积的推导(新).许兴华



高二数学授课(第九章)

球的体积(20121226)
Designed by Steven 兴T华 No.3 High School N S 许E V 课 of Nanning 件
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怎样求球的体积? 球的体积公式的另 外推导方法 (祖暅原理)
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祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几 何体,被平行于两个平面的任 意平面所截,如果截得的两个 截面的面积总相等,那么这两 个几何体的体积相等。
?

?
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观察:半球的体积与底面积 相等的旋转体体积对比

R ? 结论:

V圆锥 ? V半球 ? V圆 柱
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与半球相似的几何体体积对比
h
? 结论: R h

h
R

V圆锥 ? V半球 ? V圆 柱
圆 锥 半 球 圆 柱

几何体 体 积

1 2 ?R ? h 3

?R ? h
2
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高等于底面半径的几何体体积对比
R ? R R R R

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3

?R

3
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高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3



3 3 ?R 3

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高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

猜想
几何体 体 积 圆 锥 半 球 圆 柱

1 ?R3 3

2 ?R3 3

3 ?R3 3
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探索与证明
设球的半径为R,截面半径为r, 平面?与截面的距离为l,
那么 r = R2 ? l 2
2 2

因此

S圆 = ? r 2

ll ll o

= ? (R ? l ) = ?R2 ?? l 2 r
l
R

?

o
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设球的半径为R,截面半径为r, 平面?与截面的距离为l,

那么

r = R2 ? l 2

因此

S圆 = ? r 2

= ? (R2 ? l 2) = ?R2 ?? l 2 r
l
R

?

o

o

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圆环面积 2 2 ? S圆 ? S圆环 S圆 环 ? ?R ? ?l ,
L O2 P

r
l
R

K

O1

l

B

N

?

o

o

根据祖暅原理 , 这两个几何体的体积相,即 等

1V ? ?R2 ? R ? 1 ?R2 ? R ? 2 ?R3 球 2 3 3

4 ?R3 ?V球 ? 3

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1.

2?R2

key

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1.

2?R2

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例2:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 O 的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm, 求球的体积,表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r, R ? O?O ? , ?ABC是正三角形 2 2 3 2 3 O?A ? ? AB ? ?r 3 2 3
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O

A

O?

C

B
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例2:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 O 的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm, 求球的体积,表面积.
在Rt ?OO?A中,? OA2 ? O?O2 ? O?A2 R 2 2 3 2 2 ?R ? ( ) ? ( ) 2 3

O

A

O?

C

4 ?R ? 3

B

4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ?( ) ? ? 3 3 3 81 16 64 兴 2 S ? 4? R ? 4? ? ? ? N T 华 9 9 许E S V 课
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例3.(全 国 ,1)直 三 棱 柱 09 ABC - A1 B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 上.若AB ? 面 AC ? AA1 ? 2, ?BAC ? 120?, 则 此 球 的 表 面积为 .
B1
2

A1

C1

A
B

o

C
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分析: BC? 2 ? 2 ? 2? 2 cos120? ? 2 3 在?ABC 中, A1 BC ? 4 C1 2r ? B1 sin120?
2 2 2

E
2

r ? 2,故R ?
C

A
2

R

o
F

1 ? 2 ? 5.
2

2

B

故球表面积为 2 S ? 4?R ? 20?
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例4.已 知 过 球 面 上 三 点 B、 C的 A、 截 面 到 球 心 的 距 离 等球 半 径 的 于 一 半 , AC ? BC ? 6, ? 4, 球 面 且 AB 求 面积及球的体积.

S球面 ? 54π, V球 ? 27 6 π

O A

C B
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?THE END ?Goodbye!
南宁三中 许兴华
(文学博客)http : //blog.sin a.com.cn/s teven1970 在google 搜索里输入:月亮河A, 兴 T 华 N兴 华 出现的第一个“新浪博客”即是。 E S SVVE课 许许 课
N T
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