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高一数学必修二:3.2.2直线的两点式方程



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下面分别是直线方程的哪两种形式?

(1)y? y 1 ? k(x? x1 )
(2)y ? kx ? b。

(1)为直线的点斜式方程; (2)为直线的斜截式方程.

求直线的点斜式和截距式都用到了什么? 截距

y ? y1 ? k(x? x1 )
y ?

k x ? b.

截距

3.2.2 直线的两点式方程

思考
已知直线l上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中 x1≠x2 ,y1≠y2 ),如何求过这两点的直线方程? y

P2 P1
O x

已知直线上一点,和直线的斜率,我们可以 求出它的点斜式方程,能不能把思考中的问题转化 为已经解决的问题? y 2 ? y1 当x1≠x2时,所求直线的斜率 k ? x 2 ? x1 任取P1,P2中的一点,例如,取P1(x1,y1),由点 斜式方程,得

y 2 ? y1 y ? y1 ? (x ? x1 ) x 2 ? x1

当y2≠y1时,可写为

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y 1 x 2 ? x1
经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2 ,y1≠y2 ), 的直线方程,叫做直线的两点式方程,简称两点式。

思考
若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时 直线的方程是什么?有两点式方程吗? 当x1 =x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式方程。 ( 因为x1 =x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有 意义)。

y

y

O

x

O

x

x1 =x2

y1 =y2

当x1 =x2时,直线P1 P2平行于y轴,直线方程 为x-x1=0或x=x1. 当y1 =y2时,直线P1 P2平行于x轴,直线方程 为y-y1=0或y=y1.

例三 如图,已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程。 y 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐 B 标代入两点式, 得: l A 即
y ?0 x?a ? , b?0 0?a

O

x

x y ? ?1 a b

x y 所以直线l 的方程为: ? ? 1 a b

直线l与y轴交点B(0,b)的纵坐标b叫做直线l 在y轴上的截距.直线l与x轴交点A(a,0)的横坐 标a叫做直线l在x轴上的截距。 y B l A

O

x

方程 x ? y ? 1 由直线l在两坐标上的截距a和b a b 决定,所以叫做直线的截距式方程。

总结
直线的两点式方程 (不能表达与坐标轴平行的直线)

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y 1 x 2 ? x1
直线的截距式方程 (不能表达平行于坐标轴或经过原点的直线)

x y ? ?1 a b

例四 求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相 等的直线方程。

y P o

x

(1)若截距不为0,直线在两坐标上截距相等, 设为a,则直线与x,y轴相交的两点分别为(0, 0?a k ? ? ?1 a),(a,0)则斜率
a?0

将点P(-5,4)和斜率k=-1代入点斜式方

程 y ? 4 ? -(x ? 5)

整理得 y =-x-1。

(2)若截距为0,则直线经过点(0,0), y?0 x?0 将两个已知点带入两点式方程, 整 ? 4?0 -5?0 4 理,得 y ? ? x.
5

例五 已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3, -3),C(0,2),求BC边所在的直线方程,以及 该边上中线的直线方程。 y C

A

o

Mx B

y C

A

o

Mx B

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:
y?2 x?0 ? -3?2 3?0

整理得:5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程。

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线 段,由中点坐标公式可得点M的坐标为: y C A o Mx B
3?0 ?3?2 3 1 ( , ) 即 ( ,- ) 2 2 2 2

过A,M的直线方程
y-0 x?5 ( , ) 1 3 - ?0 ?5 2 2

整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在 的直线的方程。

课堂小结
直线的两点式方程(x1≠x2 ,y1≠y2 )

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y 1 x 2 ? x1
直线的截距式方程(a≠0,b≠0)

x y ? ?1 a b

中点坐标公式: 若P1 ,P2坐标分别为(x1y1), (x2 y2)且中点M 的坐标为(x,y)。

? x ? x1 ? x 2 ? 2 则: ? y ? y 1 2 ?y ? ? 2

随堂练习
1.下列四个命题中的真 命题是( C ) A.经过定点P0 (x 0 , y 0 )的直线都可以用方程 y ? y 0 ? k(x ? x0 )表示; B.经过任意两个不同 P1 (x1 , y1 ), P2 (x 2 , y 2 )的点的直线 都可以用方程(y ?y1 )(x 2 ? x1 ) ? (x ? x1 )(y 2 ? y 1 )表示; x y C.不经过原点的直线都 可以用方程 ? ? 1表示; a b D.经过定点的直线都可 以用y ? kx ? b表示.

2.求满足下列条件的直线方程:
(1)过点A(0,0),B(1,1)
y?0 x?0 ? 解 1?0 1?0

即y=x。
(2)在x轴上的截距是-2,在y轴上的截距是2
x y ? ?1 解 ?2 2

即x-y+2=0。

(3)过定点且在两坐标轴上的截距相等
解:设直线的两截距皆为a,当a=0时,直线方 程设为y=kx。 3 将P(2,3)代入k= 2 当a≠0时,设直线方程为 x y ? ?1 a a 将P(2,3)代入得a=5。

所求直线方程为: x y 3 ? ?1 y? x 或 5 5 2

3.已知直线 l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2) 对称的直线l1的方程。 y

(1,2)

O

x

解:当x=0时,y=-3.(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对 称点为(2,7)。
当x=-2时,y=1.(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点 为(4,3)。 那么,点(2,7) ,(4,3)在l1上。
y-7 x-2 因此,直线l1的方程为: ? 3-7 4-2

化简得:2x+y-11=0

还有其它的方法吗?
∵l∥l1,所以l与l1的斜率相同, ∴kl1=-2 经计算,l1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4) 化简得: 2x + y -11=0

4.已知直线L过点(-2,2),且与两坐标轴构成单 位面积的三角形,求直线L的方程。



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