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高中数学第一轮复习圆锥曲线



【高二数学辅导资料】

高二数学辅导资料(四)
内容:圆锥曲线
本章考试要求 考试内容 椭圆的定义及标准方程 椭圆的几何图形及简单性质 抛物线的定义及标准方程 圆 抛物线的几何图形及简单性质 锥 曲 双曲线的定义及标准方程 线 双曲线的几何图形及简单性质 直线与圆锥曲线的位置关系 曲线与方程的对应关系 一、椭圆与双曲线的性质: 【知识要点】

椭 圆 | PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |) 定义 方程
x y ? ?1 a 2 b2
2 2

?1? 已知椭圆的长轴长是 2

3 ,焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) .
3.

A

要求层次 B

? 2 ? 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且焦点到椭圆的最短距离为
C √ √ √ √

? 3? 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为
过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;

4 5 2 5 和 , 3 3

√ √ √ √

考点二

问题 2. ?1? 已知 △ ABC 的顶点 B, C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 3 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 另外一个焦点在 BC 边上,则 △ ABC 的周长是

利用椭圆定义解题


x y ? ?1 a 2 b2
2 2



线
y x ? ?1 a 2 b2
2 2

B. 6 C. 4 3 D. 12 2 ? 2 ? 已知 F 是椭圆 5x ? 9 y ? 45 的左焦点, P 是此椭圆上的动点, A?1,1? 是一定点,
2

A. 2 3

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)

求 PA ? PF 的最小值.

x y ? ?1 b2 a 2

2

2

y
M M
2

P

考点三 椭圆的离心率

图形

1 KA F F A KO 2 1 1 1 2 2

1

x

焦点 焦距 范围 对称轴 顶点 轴 离心率 准线 渐进线
a, b, c

F (?c, 0)
?a ? x ? a ?b ? y ? b

F (0, ?c)
F1 F2 ? 2C

F (?c, 0)
x ? ? a 或, x ? a

F (0, ?c)
y ? ? a 或, y ? a

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2 焦距为 2c ,若直线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,
问题 3. ?1? ( 2013 福建)椭圆 ? : 则该椭圆的离心率等于 .

?b ? x ? b ?a ? y ? a

关于 x 、 y 轴对称,关于原点成中心对称 长轴: (?a,0),(a,0) 短轴: (0, ?b), (0, b) 长轴: (0, ?a),(0, a) 短轴: (?b, 0), (b, 0)
(?a,0),(a,0) (0, ?a),(0, a)

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 2 2 a b 上一点, △F2 PF1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 2 ? ? A. B. C. D. 2 3 ? ?

? 2 ?( 2012 全国新课标)设 F1F2 是椭圆 E :

长轴长 2a ,短轴长 2b
c e ? (0 ? e ? 1) a

实轴长 2a ,虚轴长 2b
c e ? (e ? 1) a

考点五 椭圆中的焦点三角形问题

x??

a2 c

y??

a2 c

x??
y??

a2 c
b x a
2 2

y??

a2 c


a ? b ? 0,a ? b ? c
2 2 2

y??
2

a x b

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,且椭圆上 a 2 b2 存在一点 P 使 ?F 1 PF2 ? 60? . ?1? 求椭圆离心率的取值范围; ? 2 ? 求证: △PF 1 F2 的面积只与椭圆的
问题 5.已知点 P 是椭圆 短轴长有关.

c ? a ? 0,c ? a ? b

【互动探究】 (一)椭圆的标准方程及几何性质 考点一 椭圆的标准方程 问题 1.根据下列条件求椭圆的标准方程: 考点六 直线与椭圆的位置关系 第1页 共4页
超越自己,向自己挑战,向弱项挑战,向懒惰挑战,向陋习挑战。

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 ,短轴一个端点到 2 a b 3 右焦点的距离为 3 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标
问题 6. ( 07 陕西) 已知椭圆 C : 原点 O 到直线 l 的距离为

? 2 ? ( 2011 安徽)双曲线 ?x? ? y ? ? ? 的实轴长是
C. 4 D. ? ? 2 2 x y ? 3? ( 07 全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 a b ?F1 AF2 ? 90? 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为 A. 2 B. ? ?

3 ,求 △ AOB 面积的最大值. 2

A.
(二)双曲线的标准方程及几何性质 考点一 双曲线的标准方程 问题 1.根据下列条件,求双曲线方程:

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

考点四

双曲线的渐近线

问题 4. ?1? 已知双曲线 C :

?1? 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16

?

?

A. y ? ?

1 x 4

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2 1 1 B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 3
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点 4 b2
C. 3 D. 5

x2 y 2 ? 2 ? 与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 3 2, 2 ; 16 4

?

?

? 2 ? ( 2012 福建)双曲线
到其渐近线的距离等于

x2 y 2 ? 3? 以椭圆 ? ? 1 的长轴端点为焦点,且过点 P 4 2,3 ; 25 9
考点二 双曲线定义的应用

?

?

A.

5

B. 4 2

考点五 直线与双曲线的位置关系 问题 6. 已知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 2 x ? y ? 1与右支有两个交点 A 、B ,问是否存在常数 k , 使得以 AB 为直径的圆过双曲线的右焦点?
2 2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, AB 是双曲线左支上过点 F1 的弦, 问题 2. ?1? 如果 F1 , F2 分别是双曲线 16 9 且 AB ? 6 ,则 △ABF2 的周长是
(2) 设 P 是双曲线 x 2 ?
最小值.

y2 ? 1的右支上的动点,F 为双曲线的右焦点, 已知 A ? 3,1? , 求P A ?P F 的 3

考点三 双曲线的性质 问题 3. ?1? ( 2013 陕西)双曲线

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于 4 16 m

.

第2页

共4页

一个能思虑的人,才是一个力量无边的人。

【高二数学辅导资料】
二、抛物线的性质 【知识要点】 标准方 程
y ? 2 px
2

考点三

抛物线的几何性质
2

y ? ?2 px
2

x ? 2 py
2

x ? ?2 py
2

问题 4. ?1? 点 P ? x, y ? 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,则 Z ? x ?

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

l
图形

y

y

y

C. 3 ? 2 ? 抛物线 y ? ? x 的点到直线 4x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

A. 0

B. 2

1 2 y ? 3 的最小值是 2 D. 4
D. 3

l

o F
p ( , 0) 2

x

F o
(?

x

F

l

o

x
p (0, ? ) 2 p y? 2

A.

4 3

B.

7 3

C.

8 5

焦点坐 标 准线方 程 范围

p x?? 2

p , 0) 2 p x? 2

p (0, ) 2

考点四

p y?? 2

问题 5.设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2 x2 上, l 是 AB 的垂直平分线。 (Ⅰ)当且仅 当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围.

直线和抛物线的位置关系

x?0

x?0

对称性 x轴 x轴 (0, 0) (0, 0) (0, 0) 顶点 e ?1 e ?1 e ?1 离心率 【互动探究】 考点一 抛物线的方程 问题 1.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:

y?0 y轴

y?0 y轴
(0, 0)

e ?1

?1? 过点 P ? ?3, 2? ;

? 2 ? 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上;

? 3? 顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M ? ?3, m? 到焦点的距离等于 5 ;
【巩固训练】 考点二 抛物线定义的应用
2

1.椭圆

问题 2.在抛物线 y ? 4 x 上找一点 M ,使 MA ? MF 最小,其中 A?3,2? , F ?1,0 ? ,求 M 点 的坐标及此时的最小值;

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 4 3 A. 1 B. 1 4 2

C. 2

D. 4

2.已知 F1 , F2 是椭圆的两个交点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 △ABF2 是正 三角形,则此椭圆的离心率是 问题 3. ?1? 抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4 ,则点 A 与抛物线焦点的距离为

A. 2

B. 3 C. 4 D. 5 2 ? 2 ? 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求线段 AB 的中点 M 到

A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

y 轴距离的最小值.

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的左焦点为 F ,右顶点为、 A ,点 B 在椭圆上,且 BF ⊥ x 轴, a 2 b2 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是
3.已知椭圆 .

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

第3页

共4页

超越自己,向自己挑战,向弱项挑战,向懒惰挑战,向陋习挑战。

4. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 3 2 9 4 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 3 4 9 2 5. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两点,

16.( 2012 重庆) 如图, 设椭圆的中心为原点 O , 长轴在 x 轴上, 上顶点为 A , 左右焦点分别为 F1 , F2 , 线段 OF1 , OF2 的中点分别为 B1 , B2 ,且 △ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率 和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,使

PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程.
P

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为
A.

y A

2
2

B. 2 2

C. 4

D. 8

x ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 60? ,则 △F1PF2 的面积是 4 3 15 15 A. B. C. 3 D. 2 4 2 7.( 2012 四川)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) .,若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 2 8.( 07 陕西)抛物线 y ? x 的准线方程是 A. 4 y ? 1 ? 0 B. 4 x ? 1 ? 0 C. 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? 1 ? 0
6. 双曲线 9. 连接抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 与点 M (1, 0) 所得的线段与抛物线交于点 A ,设点 O 为坐标原点,
2

F1 B1

O

B2 F2

x

17.( 2013 广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距 离为

则 △OAM 的面积为

3 3 C. 1 ? 2 D. ? 2 ? 2 2 2 2 2 y x ? ? 1 有相同焦点的椭圆的标准方程是 10.过点 3, ? 5 ,且与椭圆 . 25 9 x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 △FAB 11.( 2012 四川)椭圆 4 3 的周长最大时, △FAB 的面积是 .
A. ?1 ? 2 B.

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

?

?

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的范围是 m ? 3 m ?1 x2 ? y 2 ? 1的离心率等于 13.[2014· 四川卷] 双曲线 . 4
12.若方程 14.过定点 P ? 0,1? ,且与抛物线 y ? 2 x 只有一个公共点的直线方程为
2
2 15. 过 抛 物 线 y ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若 AB ?

.

.

25 , AF ? BF , 则 12

AF ?

.

第4页

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一个能思虑的人,才是一个力量无边的人。



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