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2.2.2双曲线的简单几何性质



定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值
等于常数 2a (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M

注意

1、 2a < |F1F2 |

双曲线

F

/>
2 、2a= |F1F2 |
以F1、F2为端点两条射线

1

o

F

2

3、2a> |F1F2 | 无轨迹

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a, ? 0 ? 2a ? F1F2

?

方程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

焦点 a.b.c 的关系

F ? ?c,0?
c ? a ?b
2 2 2

F ? 0, ?c ?
谁正谁是 a

[练习]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上,双曲线的 2 标准方程为 。 2 x ? y ?1 9 16
2、已知a=3,b=4焦点在y轴上,双曲线的 2 标准方程为 2 。

y

9

?

16

x

?1

[练习] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴;求a、b、c各为多少?

y x (1) ?
2

2

25
2

16
2

?1

y x ( 2) ?
25
2 2

2

2

16

?1

(3)4 x ? 9 y ? 36

(4)4 x ? 9 y ? ?36

x

2

9

y ?

2

4

?1

y ( 4) ?x
4

2

2

9

?1

x2 y2 练习1:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0
得?1? m ? 2

变式:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围是_________________.

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

曲线 性质 椭圆

方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a

F1

图形

O

F2

X

范围 对称性 顶点

x ? a, y ? b
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?a,0), (0,?b)
c e? a
e越大,椭圆越扁 e越小,椭圆越圆

离心率

0<e<1,

如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方 法来研究双曲线,那么双曲线将会具有什么样 的几何性质呢? 1、范围: 2、对称性: 3、顶点: 4、离心率:
F1 o F2 x

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

2

2

参照椭圆,完成下表

曲线
性质 方程 椭圆

双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形

F1 O F2 X
F1

B2 A1
o

A2 B1

F2

x

范围 对称性 顶点 离心率

x ? a, y ? b
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

x ? a, y ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?a,0), (0,?b)
c e? a
e越大,椭圆越扁 0<e<1, e越小,椭圆越圆

(? a,0)
c e? a
e>1,

椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度,那 么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何特 征呢?

5、渐近线:

x2 y2 b 对于双曲线 2 ? 2 ? 1,直线y ? ? x叫做双曲线 a b a 的渐近线 y
注:渐近线是双曲线特有 的几何性质,它决定着双 曲线张口的开阔与否。

B2
A1

O

b a
B1

A2

x

离心率e与双曲线的图形变化的联系?
c a 2 ? b2 b 2 e? ? ? 1? ( ) a a a

y

e越大,斜率越大,倾斜角越 大,张角越大,张口越开阔 e越小,斜率越小,倾斜角越 小,张角越小,张口越扁狭

B2 A1

O

b a
B1

A2

x

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形
F1 o F2 x

o

x

焦点
范围 对称性 顶点 离心率

(c,0)

x ? a, y ? R

(-c,0)

(0,c)

(0,-c)

y ? a, x ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(? a,0)
e越大,张口开阔 e>1,

(0,? a)
e越大,张口开阔 e>1, e越小,张口扁狭

渐近线

b y?? x a

e越小,张口扁狭

y ??

a x b

例1、研究双曲线 9 x 2 ? 16y 2 ? 144与9 y 2 ? 16x 2 ? 144 的的几何性质,并完成 下表。

标准方程

x2 y2 ? ?1 16 9
y

y2 x2 ? ?1 16 9 y
o x

图形
F1 o F2 x

范围
对称性 顶点 焦点 离心率 渐近线

x ? 4, y ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

y ? 4, x ? R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点

(?4,0)
(5,0) (-5,0)

(0,?4)
(0,5) (0,-5)

5 e? 4 3 y ?? x 4

e?

4 y ?? x 3

5 4

尝试练习:
求适合下列条件的双曲线的标准方程。

5 (1)顶点在 x轴上,两顶点的距离是 8,且离心率 e ? 4 4

(2)焦点在 y轴上,焦距是 16,离心率 e ?

(3)双曲线的渐近线为 y ? ? x,且过点( 1 , 2)
解:

3

x2 y 2 (1). ? ?1 16 9
2 2

y2 x2 (2). ? ?1 36 28

(3).y ? x ? 3

小结:
1、本节课所研究的双曲线的几何性质有哪些?

2、需要注意的两个问题:

(1)焦点在不同的轴时的渐近线的方程不同
(2)根据几何性质求双曲线方程时需区分定性 与定量条件。

x2 y2 5 练习3.求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 e ? 49 24 4 的双曲线方程。

练习4.求经过点 A(3, ?1 ),并且对称轴都在坐 标轴上的等轴 双曲线的方程。 2 9 练习5.双曲线的渐近线方程为 y ? ? x,且过点 M( , ?1 ), 3 2 求双曲线的标准方程。



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