9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国II)精校版



年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II) 第I卷
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相互独 立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

4 V = π R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn p k (1 ? p )n ? k (k = 0,1, 2, …n)

一.选择题

?3?i ? (1)复数 ? ? = ? 1+ i ?
2

(A) ?3 ? 4i

(B) ?3 + 4i (C) 3 ? 4i 1 + ln( x ? 1) (2)函数 y = ( x > 1) 的反函数是 2 (B) y = e2 x +1 + 1( x > 0) (D) y = e 2 x +1 + 1( x ∈ R)

(D) 3 + 4i

(A) y = e2 x +1 ? 1( x > 0) (C) y = e 2 x +1 ? 1( x ∈ R)

? x≥ ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z = 2 x + y 的最大值为 ?3x + 2 y≤5, ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 + ... + a7 = (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

(5)不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3

{ {

} }

(B) x x< ? 2,或1<x<3

{

} }

(C) x ?2<x< ,或x>3 1

(D) x ?2<x< ,或1<x<3 1

{

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 (7)为了得到函数 y = sin(2 x ? (A)向左平移 (C)向左平移

π

π π
4 2

) 的图像,只需把函数 y = sin(2 x + ) 的图像 3 6
(B)向右平移 (D)向右平移

π

个长度单位 个长度单位

π π

4 2

个长度单位 个长度单位

点 若 (8)V ABC 中, D 在 AB 上,CD 平方 ∠ACB . CB = a ,CA = b , a = 1 , b = 2 , 则 CD = (A) a +

uur

uur

uuu r

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a+ b 3 3

(C)

3 4 a+ b 5 5

(D)

4 3 a+ b 5 5

(9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA = 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1
? 1 2

(B)

3

(C)2

(D)3

1 ? ? ? (10)若曲线 y = x 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两 个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a = ? ?

(A)64

(B)32

(C)16

(D)8

(11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 (12) 已知椭圆 C : (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

x2 y2 3 + 2 = 1(a>b>0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k ( k>0) 的 2 a b 2

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF = 3FB ,则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

第Ⅱ卷
注意事项:

1.用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2.本卷共 10 小题,共 90 分。 填空题: 小题, 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题 (13)已知 a 是第二象限的角, tan(π + 2a ) = ?

4 ,则 tan a = 3




(14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a =
9
3

a x

(15)已知抛物线 C : y = 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交
2

于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM = MB , 则 p =



(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦, AB = 4 .若 OM = ON = 3 ,则两圆圆心的距离 MN = .

解答题: 小题, 解答应写出文字说明, 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD = 33 ,sin B =
(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = ( n + n)i3 .
2 n

5 3 ,cos ∠ADC = , AD . 求 13 5

(Ⅰ)求 lim

n →∞

an ; Sn a a1 a2 + 2 + … + n >3n . 2 1 2 n2

(Ⅱ)证明:

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = BC , AA1 = AB , D 为 BB1 的中点, E 为

AB1 上的一点, AE = 3EB1 .
(Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
(20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个组件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各组件相互独立.已知 T1,T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.

(Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ξ 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的组件个数,求 ξ 的期望.

(21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

x2 y2 ? = 1( a>0,b>0 ) 相交于 B、D 两点,且 a2 b2

BD 的中点为 M (1,3) .
(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF i BF = 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与

x 轴相切.
(22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 1 ? e .
?x

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ( x ) ≥ (Ⅱ)设当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≤

x ; x +1

x ,求 a 的取值范围. ax + 1

参考答案

(18)解: (Ⅰ) lim

an S ? S n ?1 S S = lim n = lim(1 ? n ?1 ) 1 ? lim n ?1 , n →∞ S n →∞ n →∞ n →∞ S Sn Sn n n

lim

n →∞

S n ?1 n ?1 1 1 = lim ? = , n →∞ n + 1 3 Sn 3 an 2 = . n →∞ S 3 n

所以 lim

(Ⅱ)当 n = 1 时,

a1 = S1 = 6 > 3 ; 12 a a1 a 当 n > 1 时, 2 + 2 + ? + n 2 1 2 n2 S ?S a1 S ? S = 2 + 2 2 1 + ? + n 2 n ?1 1 2 n

(19)解法一: (Ⅰ)连接 A1 B ,记 A1 B 与 AB1 的交点为 F. 因 为 面 AA1 B1 B 为 正 方 形 , 故 A1 B ⊥ AB1 , 且 AF = FB1 . 又 AE = 3EB1 , 所 以

FE = EB1 ,又 D 为 BB1 的中点,故 DE / / BF , DE ⊥ AB1 .
作 CG ⊥ AB ,G 为垂足,由 AC = BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC ⊥ 面 AA1 B1 B ,得 CG ⊥ 面 AA1 B1 B .连接 DG, DG / / AB1 , DE ⊥ DG , 则 故 由三垂线定理, DE ⊥ CD . 得 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (Ⅱ)因为 DG / / AB1 ,故 ∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角, ∠CDG = 45 . 设 AB = 2 ,则 AB1 = 2 2, DG =

2, CG = 2, AC = 3 .

作 B1 H ⊥ A1C1 ,H 为垂足.因为底面 A1 B1C1 ⊥ 面 AA1C1C ,故 B1 H ⊥ 面 AA1C1C ,又 作 HK ⊥ AC1 ,K 为垂足,连接 B1 K ,由三 垂线定理,得 B1 K ⊥ AC1 ,因此 ∠B1 KH 为二 面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角.

1 A1 B1 × A1C12 ? ( A1 B1 ) 2 2 2 2 B1 H = = , A1C1 3

HC1 = B1C12 ? B1 H 2 =

3 , 3

AC1 = 22 + ( 3) 2 = 7 , HK =

AA1 × HC1 2 3 = , AC1 3 7

(Ⅱ)因为 B1 A, DC 等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角, 故 B1 A ? DC = B1 A ? DC cos 45 ,即 2 2 × c + 2 ×
2

2 = 4, 2

解得 c =

2 ,故 AC = (?1, 0, 2) .又 AA1 = BB1 = (0, 2, 0) ,

所以 AC1 = AC + AA1 = ( ?1, 2, 2) . 设 平 面 AA1C1 的 法 向 量 为 m = ( x, y , z ) , 则

m ? AC1 = 0, m ? AA1 = 0 ,
即 ? x + 2 y + 2 z = 0 且 2 y = 0 .令 x =

2 ,则

z = 1, y = 0 ,故 m = ( 2, 0,1) .
设 平 面 AB1C1 的 法 向 量 为 n = ( p, q, r ) , 则

n ? AC1 = 0, n ? B1 A = 0 ,
即 ? p + 2q + 2r = 0, 2 p ? 2q = 0 . 令p=

2 ,则 q = 2, r = ?1 ,故 n = ( 2, 2, ?1) .

所以 cos m, n =

m?n 1 = . m n 15

由于 m, n 等于二面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角,

所以二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小为 arccos

15 . 15

(Ⅲ)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互独立, 故 ξ ~ B (4, 0.9) , Eξ = 4 × 0.9 = 3.6 . (21)解: (Ⅰ)由题设知, l 的方程为: y = x + 2 . 代入 C 的方程,并化简,得 (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 4a 2 x ? 4a 2 ? a 2b 2 = 0 . 设 B ( x1 , y1 ) 、 D ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 =

4a 2 4a 2 + a 2 b 2 , x1 ? x2 = ? 2 ,① b2 ? a 2 b ? a2

x1 + x2 1 4a 2 由 M (1,3) 为 BD 的中点知 = 1 ,故 × 2 = 1 ,即 b 2 = 3a 2 ,② 2 2 2 b ?a
故c =

a 2 + b2 = 2a ,所以 C 的离心率 e =

c = 2. a

(Ⅱ)由①、②知,C 的方程为: 3 x ? y = 3a ,
2 2 2

A(a, 0), F (2a, 0), x1 + x2 = 2, x1 x2 = ?
故不妨设 x1 ≤ ? a, x2 ≥ a .

4 + 3a 2 <0, 2

BF = ( x1 ? 2a) 2 + y12 = ( x1 ? 2a) 2 + 3x12 ? 3a 2 = a ? 2 x1 ,
2 2 FD = ( x2 ? 2a) 2 + y2 = ( x2 ? 2a) 2 + 3x2 ? 3a 2 = 2 x2 ? a



BF ? FD = (a ? 2 x1 )(2 x2 ? a)
= 5a 2 + 4 a + 8 .

= ?4 x1 x2 + 2a ( x1 + x2 ) ? a 2

又 BF ? FD = 17 , 故 5a + 4a + 8 = 17 , 解 得 a = 1, 或
2

9 a = ? (舍去). 5
故 BD =

2 x1 ? x2 = 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 6 .

连接 MA,则由 A(1, 0), M (1, 3) 知 MA = 3 ,从而 MA = MB = MD ,且 MA ⊥ x 轴,因 此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点A处于 x 轴相切. 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

于是 g ( x ) 在 x = 0 处达到最小值,因而当 x ∈ R 时, g ( x ) ≥ g (0) ,即 e ≥ 1 + x .
x

所以当 x > ?1 时, f ( x ) ≥

x . x +1

(Ⅱ)由题设 x ≥ 0 ,此时 f ( x ) ≥ 0 . 当 a < 0 时,若 x > ?

1 x x ,则 < 0 , f ( x) ≤ 不成立; a ax + 1 ax + 1



更多相关文章:
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(课标...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(课标全国I)精校版 2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题隐藏...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(广东...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(广东卷)精校版_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...
精校版2010年普通高等学校招生全国统一考试(数学理...
上教考资源网绝密★ 绝密★启用前 助您教考无忧 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 理科数学(必修+ 本试卷分第 I 卷(选择题)和第...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(江西...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(江西卷)精校版_高考_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014全国高考状元联手分享状元笔记 ...
安徽数学理精校版-2010普通高等学校招生统一考试
安徽数学理精校版-2010普通高等学校招生统一考试_数学_高中教育_教育专区。恒谦教育研究院 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共...
...学校招生全国统一考试数学理科试题(全国I)精校版(河...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国I)精校版(河北、河南、山西、广西)_数学_高中教育_教育专区。2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)...
河北数学理精校版-2010普通高等学校招生统一考试
河北数学理精校版-2010普通高等学校招生统一考试_数学_高中教育_教育专区。恒谦教育研究院 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷 一、选择题 (1)复数...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国...
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国II)精校版(贵州、云南、新疆、内蒙古、青海、西藏。2011年高考数学真题年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必...
...试题(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试_免费...
(精校版)大纲全国II数学(理)2010年高考试题(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试 (精校版)大纲全国II数学(理)2010年高考试题(含答案)-2010年普通高等学校招生...
...(理)卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一...
(精校版)大纲全国II数学(理)卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试...免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载 直线与 C 相交...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图