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3.1函数与方程


第三章 函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点 思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像 y y y x 引入 2 -1 O1 3 o x=1 x 0 1 x 3 2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3 x2-2x+1=0 x1=x2=1 x2-2x+3=0 无实根 方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点 有实根x0 有交点(x0, 0) 零点:对于函数y=f(x), 我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 3.1.1 方程的根与函数的零点 1、函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点(zero point)。 零点是一个点吗? 注意:零点指的是一个实数 对零点的理解: 数的角度: 即是使f(x)=0的实数x的值 形的角度: 即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标 求函数零点的方法: 求函数零点的步骤: (2) 图象法: 画出函数y=f(x)的图象, 其图象 (2)解方程 f(x)=0 ; 与 x轴交点的横坐标是函数 y= f ( x ) 的零点 (3)写出零点 (1) 方程法: 解方程 f ( x )=0, 得到 y = f ( x ) 的零点 (1)令f(x)=0; 练习1:求下列函数的零点: y ? 2 ? log 3 x . (1)y ? 2x ? 8 ;(2) (1) x ? 4 1 ( 2) x ? 9 练习2: (1)函数y=f(x)的图象如下, 则其零点为 -2,1,3 . y ?2 O 3 1 3 x (2)函数 y ? x ? 3x ? 5 有零点吗? 知识探究(二):函数零点存在性原理 思考 2:函数 y观察函数的图象 =f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? 有 有/无)零点; ①在区间(a,b)上______( 2 探究: f(a).f(b)_____0 (Ⅰ)观察二次函数 f ( x ) ? x ? 2x ? 3 的图象: (<或>). < . f (?2) · f (1) _____0(<或>) 有; ②○ 在区间 (b,c) 上______( 有f/ 零点; 1 在区间(-2,1) 上有零点 ______ _______ _______, (无 ?2))? -1 5 , f (1) ? -4 f(b).f(c) _____< 0(<或>). 有 ③ 在区间(c,d)< 上______( 有/无)零点; f(c).f(d) _____ < 0 (<或>). 2 在区间(2,4)上有零点 ○ ______ . 3 ; f (2) · f (4) ____0(<或>) < 结论:零点存在定理 函数零点的存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象 是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)· f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)内必有零点, 即 存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就是方程 f(x)=0的根. 结 论 如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a

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