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矩阵与变换、坐标系与参数方程



第2讲

矩阵与变换、坐标系与参数方程

一、对矩阵与变换的考查

?-1 3? ? 4 4? -1 ?,求 1.(2012· 高考江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A =? 1 1? ? - 2? ?2
矩阵 A 的特征值. 解析:因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1.

?-1

3? ? 4 4? ?2 3? -1 -1 -1 ?, ?,所以 A=(A ) =? 因为 A =? ?2 1? ?1 -1? 2? ?2

于是矩阵 A 的特征多项式为 =λ2-3λ-4.

?λ-2 f(λ)=? ? -2 ?

-3 ? ? λ-1? ?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

二、坐标系与参数方程 2.(2012· 高考江西卷)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角 坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________________. 解析:利用公式法转化求解. 直角坐标方程 x2+y2-2x=0 可化为 x2+y2=2x,将 ρ2=x2+y2, x=ρcos θ 代入整理得 ρ=2cos θ. 答案:ρ=2cos θ

3.(2012· 高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐 标系 xOy 中,曲线 C1 和
?x= ? ? ?y= ? ?x=t, ? C2 的参数方程分别为? ?y= t ?

(t 为参数)和

2cos θ, 2sin θ

(θ 为参数), 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

解析:化参数方程为普通方程然后解方程组求解. C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.

?y2=x,x≥0,y≥0, ? 由? 2 2 ?x +y =2 ?

?x=1, ? 得? ?y=1. ?

∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案:(1,1)

4.(2012· 高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的
?2 3 π? ? 极坐标分别为(2,0), 圆 , ?, 3 2? ?

C

?x=2+2cos θ, ? 的参数方程为? ?y=- 3+2sin θ ?

(θ 为参数). ①设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; ②判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

? ? 解析: ①由题意知, N 的平面直角坐标分别为(2,0),0,2 M, ?

3? ?. 3?

又 P 为线段 MN 的中点,从而点

? P 的平面直角坐标为?1, ?

3? ?, 3?

故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y=

3 x. 3

②因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),
? 2 3? ?0, ?, 3 ? ?

所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径为 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 2 3+9 C 相交.

热点一

矩阵与变换

设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长 2 倍,纵坐标伸长 3 倍 x2 y 2 - - 的伸压变换.求逆矩阵 M 1 以及椭圆 + =1 在 M 1 的作用下的新 4 9 的曲线方程. [思路点拨] 通过变换矩阵找出所求曲线上的点的坐标与已知

曲线上的点的坐标之间的关系,然后运用动点转移法得到变换后曲 线的方程.

?1 0? ?2 ? -1 ?,设椭圆上任一点(x0,y0),它 [解析] 由题意,得 M =? 1? ?0 ? 3? ?1 0? ?2 ? ?x′0? ?x0? ? ?? 对 应 的 变 换 下 的 坐 标 为 (x′0 , y′0) , 则 ? ?y′ ? = ?y ? , 故 ?0 1? ? 0 ? ? 0 ? ? 3?
?x0=2x′0, ? ? ? ?y0=3y′0

x2 y 2 ,代入椭圆方程,则椭圆 + =1 在 M-1 的作用下的 4 9

新的曲线方程为 x2+y2=1.

[规律方法] 在已知一个几何变换前后的对应点时, 待定系数法 是求变换矩阵的常用的方法;在已知变换矩阵的情况下,求一条曲 线在此变换矩阵对应的几何变换下的曲线方程,类似于解析几何中 的代入法求曲线方程,即设出变换前后的曲线上对应点的坐标,根 据变换矩阵得到变换公式,解出变换前的点的坐标,代入变换前的 曲线方程后即得变换后的曲线方程.

1.已知矩阵

?1 M=? ?2

2? ?的一个特征值为 3,求另一个特征值及 x?

其对应的一个特征向量. 解析:矩阵 M 的特征多项式为
?λ-1 f(λ)=? ?-2 ?

-2? ? ?=(λ-1)(λ-x)-4. λ-x?

因为 λ1=3 是方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1. 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ2=-1,

设 λ2=-1 对应的一个特征向量为
?-2x-2y=0, ? 则? ?-2x-2y=0, ?

?x? α=? ?, ?y ?

得 x=-y,

令 x=1,则 y=-1. 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1, 对应的一个特征向量为 α=
?1 ? ? ? ?-1?. ? ?

热点二

极坐标与直角坐标、极坐标方程的应用
? π? ?θ+ ?=2 ρsin 4? ?

(1)(2012· 江南十校联考)在极坐标系中,直线 ρ=4 所截得的弦长为________. [解析]

被圆

依题意,题中的直线与圆的直角坐标方程分别是 x+y

-2 2=0,x2+y2=16,则圆心(0,0)到直线 x+y-2 2=0 的距离等 2 2 于 =2,因此该直线被圆截得的弦长等于 2 16-22=4 3. 2 [答案] 4 3

(2)(2012· 南昌二模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 圆 ρ=2cos θ 的圆心到直线 ρsin θ+2ρcos θ=1 的距离是________. [思路点拨] 把极坐标系中的点曲线化为直角坐标系中的点: 曲 线方程、利用解析几何知识解决. [解析] 将 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程得 x2+y2=2x,即(x- 1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0).将 ρsin θ+2ρcos θ=1 化为直角坐标 |2-1| 5 方程得 y+2x=1,即 2x+y-1=0,故所求的距离为 2 =