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矩阵与变换、坐标系与参数方程



第2讲

矩阵与变换、坐标系与参数方程

一、对矩阵与变换的考查

?-1 3? ? 4 4? -1 ?,求 1.(2012· 高考江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A =? 1 1? ? - 2? ?2
矩阵 A 的特征值. 解析:因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1.

?-1

3? ? 4 4? ?2 3? -1 -1 -1 ?, ?,所以 A=(A ) =? 因为 A =? ?2 1? ?1 -1? 2? ?2

于是矩阵 A 的特征多项式为 =λ2-3λ-4.

?λ-2 f(λ)=? ? -2 ?

-3 ? ? λ-1? ?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

二、坐标系与参数方程 2.(2012· 高考江西卷)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角 坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________________. 解析:利用公式法转化求解. 直角坐标方程 x2+y2-2x=0 可化为 x2+y2=2x,将 ρ2=x2+y2, x=ρcos θ 代入整理得 ρ=2cos θ. 答案:ρ=2cos θ

3.(2012· 高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐 标系 xOy 中,曲线 C1 和
?x= ? ? ?y= ? ?x=t, ? C2 的参数方程分别为? ?y= t ?

(t 为参数)和

2cos θ, 2sin θ

(θ 为参数), 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

解析:化参数方程为普通方程然后解方程组求解. C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.

?y2=x,x≥0,y≥0, ? 由? 2 2 ?x +y =2 ?

?x=1, ? 得? ?y=1. ?

∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案:(1,1)

4.(2012· 高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的
?2 3 π? ? 极坐标分别为(2,0), 圆 , ?, 3 2? ?

C

?x=2+2cos θ, ? 的参数方程为? ?y=- 3+2sin θ ?

(θ 为参数). ①设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; ②判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

? ? 解析: ①由题意知, N 的平面直角坐标分别为(2,0),0,2 M, ?

3? ?. 3?

又 P 为线段 MN 的中点,从而点

? P 的平面直角坐标为?1, ?

3? ?, 3?

故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y=

3 x. 3

②因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),
? 2 3? ?0, ?, 3 ? ?

所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径为 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 2 3+9 C 相交.

热点一

矩阵与变换

设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长 2 倍,纵坐标伸长 3 倍 x2 y 2 - - 的伸压变换.求逆矩阵 M 1 以及椭圆 + =1 在 M 1 的作用下的新 4 9 的曲线方程. [思路点拨] 通过变换矩阵找出所求曲线上的点的坐标与已知

曲线上的点的坐标之间的关系,然后运用动点转移法得到变换后曲 线的方程.

?1 0? ?2 ? -1 ?,设椭圆上任一点(x0,y0),它 [解析] 由题意,得 M =? 1? ?0 ? 3? ?1 0? ?2 ? ?x′0? ?x0? ? ?? 对 应 的 变 换 下 的 坐 标 为 (x′0 , y′0) , 则 ? ?y′ ? = ?y ? , 故 ?0 1? ? 0 ? ? 0 ? ? 3?
?x0=2x′0, ? ? ? ?y0=3y′0

x2 y 2 ,代入椭圆方程,则椭圆 + =1 在 M-1 的作用下的 4 9

新的曲线方程为 x2+y2=1.

[规律方法] 在已知一个几何变换前后的对应点时, 待定系数法 是求变换矩阵的常用的方法;在已知变换矩阵的情况下,求一条曲 线在此变换矩阵对应的几何变换下的曲线方程,类似于解析几何中 的代入法求曲线方程,即设出变换前后的曲线上对应点的坐标,根 据变换矩阵得到变换公式,解出变换前的点的坐标,代入变换前的 曲线方程后即得变换后的曲线方程.

1.已知矩阵

?1 M=? ?2

2? ?的一个特征值为 3,求另一个特征值及 x?

其对应的一个特征向量. 解析:矩阵 M 的特征多项式为
?λ-1 f(λ)=? ?-2 ?

-2? ? ?=(λ-1)(λ-x)-4. λ-x?

因为 λ1=3 是方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1. 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ2=-1,

设 λ2=-1 对应的一个特征向量为
?-2x-2y=0, ? 则? ?-2x-2y=0, ?

?x? α=? ?, ?y ?

得 x=-y,

令 x=1,则 y=-1. 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1, 对应的一个特征向量为 α=
?1 ? ? ? ?-1?. ? ?

热点二

极坐标与直角坐标、极坐标方程的应用
? π? ?θ+ ?=2 ρsin 4? ?

(1)(2012· 江南十校联考)在极坐标系中,直线 ρ=4 所截得的弦长为________. [解析]

被圆

依题意,题中的直线与圆的直角坐标方程分别是 x+y

-2 2=0,x2+y2=16,则圆心(0,0)到直线 x+y-2 2=0 的距离等 2 2 于 =2,因此该直线被圆截得的弦长等于 2 16-22=4 3. 2 [答案] 4 3

(2)(2012· 南昌二模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 圆 ρ=2cos θ 的圆心到直线 ρsin θ+2ρcos θ=1 的距离是________. [思路点拨] 把极坐标系中的点曲线化为直角坐标系中的点: 曲 线方程、利用解析几何知识解决. [解析] 将 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程得 x2+y2=2x,即(x- 1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0).将 ρsin θ+2ρcos θ=1 化为直角坐标 |2-1| 5 方程得 y+2x=1,即 2x+y-1=0,故所求的距离为 2 = . 2 +1 5 [答案] 5 5

[规律方法] 极坐标方程与普通方程互化核心公式:
?x=ρcos θ, ?ρ =x +y , ? ? ? ? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ=x?x≠0?. ?
2 2 2

同时注意整体代换如(2)中把 ρ=2cos θ 变为 ρ2=2ρcos θ 后化为 x2+y2=2x

2.(2012· 高考深圳卷)在极坐标系中,点
? π? 3 ρcos?θ+4 ?= ? ? 2

? π? P ?1,2 ? 到曲线 ? ?

l:

2上的点的最短距离为________.
? π? P?1,2 ?的直角坐标是(0,1),曲线 ? ?

解析:注意到点

l:
? π? ?1, ? P 2? ?

? π? 3 2 ?θ+ ?= ρcos 的直角坐标方程是 x-y-3=0, 因此点 4? 2 ?

|0-1-3| 到直线 l 上的点的最短距离即点 P 到直线 l 的距离,等于 = 2 2 2. 答案:2 2

热点三

参数方程及应用

在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:x2+y2=1,以平面直 角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单 位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(2cos θ-sin θ)=6. ①将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 倍、2 倍后得到曲线 C2.试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参 数方程; ②在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求此 最大值.

[思路点拨] ①根据变换的规则进行变换,求出曲线 C2 的方程, 注意使用代入法; ②使用椭圆的参数方程建立点线距离的函数. [解析] ①由题意,知直线 l 的方程为 2x-y-6=0, 因为曲线 所以曲线
? C2 的直角坐标方程为? ?

x ?2 ?y ?2 ? +? ? =1, 3? ?2? θ, (θ 为参数).

?x= 3cos ? C2 的参数方程为? ?y=2sin θ ?

②设点 P 的坐标( 3cos θ,2sin θ),则点 P 到直线 l 的距离为 |2 3cos θ-2sin θ-6| |4 sin?60° -θ?-6| d= = , 5 5 所以当 sin(60° -θ)=-1 时,点 2 5. [规律方法] (1)参数方程化为普通方程的关键是消参数, 要根据
? 3 ? P?-2,1?,此时 ? ?

|4+6| dmax= = 5

参数的特点进行. (2)利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何 意义.

3.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线
?x=asin θ, ? C2:? ?y=3cos θ ?

?x=t+1, ? C1:? ?y=1-2t ?

(t 为参数)

与曲线

(θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,

则 a=________. 解析:将曲线 C1 与 C2 的方程化为普通方程求解.
?x=t+1, ? ∵? ? ?y=1-2t,

消去参数 t 得 2x+y-3=0.

?x=asin θ, ? 又? ?y=3cos θ, ?

x2 y2 消去参数 θ 得 2+ =1. a 9

?3 ? 3 x2 y2 方程 2x+y-3=0 中, y=0 得 x= , ?2,0?代入 2+ =1, 令 将 2 a 9 ? ?

9 3 得 2=1.又 a>0,∴a= . 4a 2 3 答案: 2

ρ0sin?θ0-α? 1.过点 A(ρ0,θ0)倾斜角为 α 的直线方程为 ρ= .特 sin?θ-α? 别地, ①过点 A(a,0)(a>0), 垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos
? π? ?b, ?(b>0)的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=α.②平行于极轴且过点 A 2? ?

θ=b. 2.圆心在点 A(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为 r2=ρ2+ρ2- 0 2ρρ0cos(θ-θ0).

3.(1)直线的参数方程 过 定 点 M(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
?x=x0+tcos α, ? ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

(2)圆、椭圆的参数方程 ① 圆 心 在 点 M(x0 , y0) , 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为
?x=x0+rcos θ, ? ? ?y=y0+rsin α ? ?x=acos θ, ? 程为? ?y=bsin θ ?

x2 y2 (θ 为参数,0≤θ≤2π).②椭圆 2+ 2=1 的参数方 a b (θ 为参数).

求解坐标系与参数方程的方法和技巧

极坐标系要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样 就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题进行解决;参数方程部分, 要熟练掌握直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程 的建立过程,特别是要清晰直线的参数方程中参数的几何意义,

在掌握好这些基本问题的同时要熟练掌握参数方程与普通方程 互化的一些方法,特别是把参数方程化为普通方程的方法,学会在 互化中寻找解题方案、优化解题思路.在极坐标方程化为直角坐标 方程时,只要整体上用 x 代换其中的 ρcos θ,y 代换其中的 ρsin θ 即 可,其中所含的 ρ2 也可以写成 ρ2(cos2 θ+sin2θ)=x2+y2.求圆锥曲线 上的点,特别是椭圆上的点到直线的距离最值时,使用曲线的参数 方程就可以建立其曲线上的点到直线的距离关于参数的函数,这个 函数的最值就是所求的最值.

(2012· 河南郑州三模)选修 4-4:坐标系与参数方程.已知直线 l
?x=2t, ? 的参数方程是? ?y=4t+a ? ? π? cos?θ+4 ?. ? ?

(t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=4 2

(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2, 求实数 a 的值. [解析] (1)由 ρ=4
? π? 2cos?θ+4 ?得 ? ?

ρ=4cos θ-4sin θ.

即 ρ2=4ρcos θ-4ρsin θ.

?x=ρcos θ, ? 由? ?y=ρsin θ ?

得 x2+y2-4x+4y=0 得(x-2)2+(y+2)2=8.

所以圆 C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y+2)2=8.
?x=2t, ? l 的参数方程? ?y=4t+a ?

(2)直线

可化为 y=2x+a,

则由圆的半径为 2 2知,圆心(2,-2)到直线 y=2x+a 的距离 恰好为 2. |6+a| 所以 = 2, 5 解得 a=-6± 10.

[借题发挥] 该题考查了参数方程、 极坐标方程与普通方程的互 化以及直线和圆的位置关系的判断、圆上的点到直线距离的最大值 等问题,同时考查了转化与化归、数形结合的数学思想对参数方程、 极坐标方程在求解时可以转化为普通方程来处理,在将参数方程化 为普通方程时,要注意参数取值范围的要求,对于极坐标,一定要 准确记忆转化公式.

(2011· 新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程
?x=2cos α, ? 为? ?y=2+2sin α ?

→ → (α 为参数), 是 C1 上的动点, 点满足OP=2OM, M P

P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ π = 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 3 |AB|.

解析:(1)设 P(x,y),则由条件知

?x y ? M?2,2?.由于 ? ?

M 点在 C1 上,

?x=2cos α, ?2 所以? ?y=2+2sin α. ?2
从而

?x=4cos α, ? 即? ?y=4+4sin α, ?

?x=4cos α, ? C2 的参数方程为? ?y=4+4sin α ?

(α 为参数).

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ.

π π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin ,射线 θ= 与 C2 3 3 3 π 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.

规范思路,典题例析

(2012· 高考辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出 圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表 示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. [解析] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,1 分

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.3 分

?ρ=2, ? 解? ?ρ=4cos ?

π 得 ρ=2,θ=± ,5 分 3 θ

π π 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为(2, ),(2,- ).6 分 3 3 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)(解法一)
?x=ρcos θ ? 由? ?y=ρsin θ ?

,得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为

(1, 3),(1,- 3).8 分 故圆 C1 与
?x=1, ? C2 的公共弦的参数方程为? ?y=t, ?

- 3≤t≤ 3.10 分

(解法二)将 分

?x=ρcos θ ? x=1 代入? ? ?y=ρsin θ

1 得 ρcos θ=1,从而 ρ= .8 cos θ

于是圆 C1 与

?x=1 ? C2 的公共弦的参数方程为? ?y=tan θ ?

π π - ≤θ≤ .10 分 3 3

[思维流程] 直角坐标系的方程化为极坐标系方程 解极坐标系的方程组,求交点 将(1)中的两点的极坐标化为直角坐标 根据两点的特征写参数方程必须注明参数的范围 消去 P,以 θ 为参数,写公共弦的方程 [题后点评] 此题考查了直角坐标与极坐标、参数方程的互化,由直 角坐标化为极坐标时一般 ρ>0,故本题 x2+y2=4 化为 ρ=2.(舍去 ρ =-2),在极坐标系中求曲线交点坐标.就是求 ρ 和 θ 的值.写参数 方程要选择合适的参数并注意参数范围.

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