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5.本章总结提升


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反比例

双曲线

一、三 减小 二、四 增大

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例1

下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数?

(1)xy=2;(2)y=10-x; 1 3b (3)y= ;(4)y= (b 为常数,b ≠0). 3x x

解:(1)(3)(4)中的y是x的反比例函数.
[点评] 要判定一个关系式是不是反比例函数, 就是观察其能 k 否写成 y= (k 为常数,k≠0)的形式. x

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【针对训练】
1.已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=-3.

(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)当x=-15时,求y的值;

(3)当y=5时,求x的值.

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k 解:(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y = (k≠0).因为 x 当 x= 5 时,y=-3 , k 所以有-3= ,解得 k =-15. 5 15 所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y=- . x 15 (2) 把 x=-15 代入 y=- ,得 y =1. x 15 15 (3) 把 y=5 代入 y =- ,得 5=- , x x 解得 x =-3.

本章总结提升 2.已知y=(k2+3k)x|k|-4,若y是x的反比例函数,求k的值


[解析] 根据反比例函数的定义有|k|-4=-1且k2+3k≠0.
解:由反比例函数的定义,得
?|k| -4=-1, ?|k| =3, ? ? ? 2 即? 2 ? ? ?k +3k≠0, ?k +3k≠0,

由 k =3 得 k=3 或 k =-3. 当 k=3 时,k2+3k≠0, 当 k=-3 时,k2+3k=0, 所以 k =3.

? ? ?

? ? ?

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例 2

2m- 1 已知反比例函数 y= 的图象如图 26 -T-1 所 x

示,A(-1,b1), B(-2,b2) 是该图象上的两点. (1) 比较 b1 与 b2 的大小; (2) 求 m 的取值范围.

图26-T-1

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【针对训练】 3.[2013·株洲] 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 6 都在反比例函数 y= 的图象上, 则 y1, y2, y3 的大小关系是( x )

A.y3<y1<y2 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y2<y1

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如图 26 - T- 2 ,正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点
E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的 是( )

图26-T-2 图26-T-3

[答案] A

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3.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°, 反比例函数 y1= 的图像经过点 A,反比例函数 则下列关于 m,n 的关系正确的是( B.m=- 3 n
3 n C.m=- 3
m x y2 ? n x

的图像经过点 B,

)A.m=-3n
3 n 3

D.m=

【答案】A

例 3

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b(k≠0)的图象过点

[2014·资阳 ] 如图 26 - T - 4 ,一次函数 y = kx +
? 3 ? P?- ,0? 且与反比例函数 ?, 2 ? ?

m y= (m≠0)的图 x

象相交于点 A(-2, 1)和点 B. (1) 求一次函数和反比例函数的解析式; (2) 求点 B 的坐标,并根据图象回答:当 x 在什么范围内取 值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?

?y=-2x- 3, ? ? 3 ? ? 0? 解:因为一次函数 y= kx +b(k≠0)的图象过点 (2) 联立两函数解 析 式 得方程组? 2 P?-2,解 得 ?和 ? ? y =- , ? x ? ? 3 ? ?- k + b = 0 , ? 1 ?k=-2, ?x ? ? 2 ?x 2, ? A(- 2,1) ,所以 所以一次函数 ? 点 1=- 1 解得? 2= , ? ? ? ? 2 ? 所以点 B? ,-4? b 3, 或? .=- 由图象可知,当- 2< ? - 2k + b = 1 , ? ? ?2 ? ?y1=1 ? y2=-4 , ? 的解析式为 y=-2x-3.因为反比例函数的图象过点 A(-2, 1), 1 x<0 或mx> 时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值. 2 2 所以 =1,所以 m=-2,故反比例函数的解析式为 y=- . -2 x

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【针对训练】 3 6.若直线 y=ax(a>0)与双曲线 y= 交于 A(x1,y1),B(x2, x y2)两点,则 4x1y2 -3x2y1=________.
[解析] 依题意有 y1=ax1,y2=ax2,所以有 4x1y2-3x2y1= 4x1·ax2-3x2·ax1=ax1x2.又由于 A(x1,y1)和 B(x2,y2)是直线 y 3 =ax 与双曲线 y= (x>0)的两个交点,由双曲线的特征知,A,B x
2 两点关于原点对称,所以 x1=-x2.这时 4x1y2-3x2y1=-ax2 =-

ax2·x2=-x2y2=-3.

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7.如图 26 -T-5,在平面直角坐标系中,点 O 为原点,菱 2 形 OABC 的对角线 OB 在 x 轴上,顶点 A 在反比例函数 y = (x>0) x 的图象上,则菱形 OABC 的面积为________.

[解析] 连接 AC,交 OB 于点 D, 则 AC⊥OB, 1 ∴菱形 OABC 的面积=4S△OAD=4× |k|=4. 2 图26-T-5

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8.[2013·佛山] 已知正比例函数 y=ax 与反比例函数 y= b 的图象有一个公共点 A(1,2). x (1) 求这两个函数的解析式; (2)画出草图,根据图象写出正比例函数值大于反比例函数 值时 x 的取值范围.

图26-T-6

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解:(1)把 A(1, 2)代入 y=ax,得 2=a, 所以正比例函数的解析式为 y=2x. b 把 A(1,2)代入 y = ,得 b=2, x 2 所以反比例函数的解析式为 y= . x (2) 画草图如图 26 -T-7:

图26-T-7

由图象可知: 当 x>1 或-1<x<0 时, 正比例函数值大于反 比例函数值

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= k 的图象

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x

相交于点 A(m,1) 、B(-1,n) ,与 x 轴相交于点 C(2,0) ,且 AC= (1)求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)直接写出不等式 ax+b≥ k 的解集
x

2 2

OC.
y

A O C x

解: (1)解:过点 A 作 AD⊥x 轴,垂足为 D,则 AD=1. 在 Rt△ACD 中,CD= ∴点 A 的坐标为(3,1) . ∴1= 3 ,k=3. ∴反比例函数的解析式为 y= x .
?3a ? b ? 1 ? 由题意得 ?? a ? b ? ?3
3 k

B

? 2 ? ? ?1 ? AC ? AD ? ? OC ? 2 ? ? ?
2 2

2

? 2 ? ? ? ? 2 ? 2? ?1 ? 1 ? ? .


2

第 22 题

解得
k x

?a ? 1 ? ?b ? ?2

∴一次函数的解析式为 y=x-2 (2)不等式 ax+b≥ 的解集为-1≤x<0 或 x≥3.

如图,在直角坐标中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,A,C 分别在坐标轴上, 点 B 的坐标为(4,2)直线 y=- x+3 交 AB,BC 分别于点 M,N,反比例函数 y= 的
2

本章总结提升 1

k x

图象经过点 M,N. (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 在 y 轴上,且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等,求点 P 的坐标.

解: (1) 由题意,得 OA=BC=2,将 y=2 代入 y=- x=2,∴M(2,2).
1 2

x+3,解得
k 2

k ∵反比例函数 y= x 的图象经过点 M(2,2),∴2=

.∴k

=4. ∴反比例函数的解析式 y=
4 x

.

(2)∵S 四边形 BMON=S 矩形 OADC-S△NOM-S△NOC=4×2-4=4. 由题意,得 OP·MA=4,MA=2, ∴OP=4, ∴点 P 的坐标为(0,4)或(0,-4).
1 2

例 4 在一次闪电中,两块云层间的放电时间为 t s,移动的电

本章总结提升 荷量为 Q= 32 C.
(1)求在放电过程中, 电流 I 与放电时间 t 之间的函数解析式; (2)当放电时间为 10
-3

s 时,放电时的电流是多大?

(3)如果每个电子所带电荷量为 1.6×10-19 C,那么在这次放 电中共有多少个电子迁移?
解:(1)由题意,得 It=32,所以 I= 32 . t 32 (t>0). t

故电流 I 与放电时间 t 之间的函数解析式为 I= (2)当 t=10-3 s 时, 放电电流 I= 32 4 -3=3.2×10 (A). 10

即当放电时间为 10-3 s 时,放电时的电流为 3.2×104 A. Q 32 (3)当 q=1.6×10-19 C 时,移动的电子数 n= = q 1.6×10-19 =2.0×10 (个). 即如果每个电子所带电荷量为 1.6×10-19 C,那么在这次放 电中共有 2.0×1020 个电子迁移
20

9.李大爷准备在一块空地上用篱笆围成一块面积为64 m2的长方形菜地.

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(1)该菜地的长x(m)与宽y(m)有什么样的函数关系? (2)小明建议把长定为8 m,那么按小明的想法,李大爷要准备多长的篱笆? (3)通过测量,发现宽最多为5 m,那么长至少为多少米才能保证菜地的面积不变?
解:(1)根据长方形面积公式,有 x·y=64, 变形得 y= 64 . x 64 =8. 8

故长方形菜地的宽是其长的反比例函数. (2)当 x=8 时,y=

这时长方形的周长为 2×(8+8)=32(m). 所以当把长定为 8 m 时,李大爷要准备 32 m 长的篱笆. (3)根据题意,把 y=5 代入 y= 解得 x= 64 =12.8. 5 64 64 ,得 5= , x x

由反比例函数性质可知,当宽最多为 5 m 时,长至少为 12.8 m,才能保证菜地面积为 64 m2.

如(2013 浙江丽水,20,8 分)如图,科技小组准备用材料围建一个面积为 60 科技园 ABCD本章总结提升 ,其中一边 AB 靠墙,墙长为 12 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若围成的矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26 是整米数,求出满足条件的所有围建方案.
m ,材料
m .设

m 2 的矩形

AD 的长为 x

m ,DC

的长为 y

m.

AD 和 DC 的长都

解:(1) 如图,AD 的长为 x ,DC 的长为 y , 由题意,得
60 x

xy ? 60 ,即

y ?
60 x

60 x



∴所求的函数关系式为 (2)由
y ?

y ?



,且 x, y 都是正整数, x 可取 1,2,3,4,5,6, ,10,12,15,20,30,60 但∵ 2x ? y ? 26 , 0 ? y ? 12 ∴符合条件的有: x ? 5 时, y ? 12 ; x ? 6 时, y ? 10 ; x ? 10 时, y ? 6 或 或

答:满足条件的围建方案: AD ? 10m, DC ? 6m .

AD ? 5m, DC ? 12m

AD ? 6m, DC ? 10m


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