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漫谈导数综合题的解题策略



数 学有 数  漫谈导数综合题 的解题策 略  ■林敏 燕  导数综合 题在高 考 中一般 是 占着最 后的位置 ,是考生 望  而生畏的试题 . 如何从这类 题中得到 自己满 意的分数 是 学生  在高考复 习中最关心的 问题. 本文从 2 0 1 4年广州一模理科数学  第2 1 题谈起 .希望能对考生的复习能起一定的指导作用.   先看题 目:   存在这样 的二个根

呢?可 以在草稿纸上画一 画 y   厂 (   ) 和y   的  图像 , 看 看它们 的交点个数 . 从草 图中可以看 出, 当x = l 时, , ,   的图像 在 y   ) 的图像上方 , 当x = 2时 , y   的图像在 ) ,   ) 的  图像下方 , 从而预测方程 厂 (  )   只有一个大于 1的实根.   大致方向走对 了 , 得分一般会 在 8 分 以上. 有 同学考虑 到如  果 函数 y = f ( x ) - x 是单调递增 的就好了 , 这样 函数不可能有二个  零点了. 求导以后发现 , 导数并不是恒大于零 , 又放弃了. 其实 , 如  何坚持做下去 , 也是可 以找到 出路的. 这样可 以得到解法一.   能不能通过变形 , 使一个函数为单 调函数 呢? 试一试 . 你会  2 1 . 已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 2 x + 1 ) e   ( 其中 e 为 自然对数的底数) .   ( 1 ) 求 函数 f ( x ) 的单调区间 ;   ( 2 ) 定义: 若 函数 h (   ) 在 区间 [ s , t ] ( s < t ) 上 的取值 范 围为  [ s , t ] , 则称 区间 [ s , t ] 为函数 h (   ) 的“ 域同 区间” . 试 问函数 f ( x )   在( 1 , +  ) 上是否存在“ 域同 区间” ?若存在 , 求出所有 符合条件  的“ 域 同区间” : 若不存在 . 请说 明理 由.   发现 收获很大 . 如果把 方程二边 同时除 以 , 得到一个 新 函数 :   g (  ) = (   +   一 2 ) e   一 1 ( x > 1 ) , 你会发现 , 这个 函数是单 调递增 的 ,   得 到解法二 ; 两边 除 以 e   得到 g ( x ) = (   一 1 )   - x e  (   > 1 ) , 你 也会  发现 , 这个 函数是单调递增 的, 得到解法 三. 还有很 多变形 , 同学  们还可 以再试一试.   解法一 : ( 1 )   . . 厂 (  ) = (   一 1 ) 2 e   , . ‘ . f   ( x ) = ( x 2 - 1 ) e   ,   f   (  ) > O   > 1 或 < 一 1 ; f   (  ) < 0 铮一 l < x < 1 .   ? . . 分析: 第 一 问是 最常规 的求 导问题 , 它 考查 了二个 函数之  积的导数公式 . 直接对 函数求导 , 令导数大于零 , 小于零 , 即可得  到单 调区间. 而要注意的是 , 一定要说出函数f ( x ) 的单调递增 区  间是什么 , 单调递减 区间是什 么 , 不能说在 哪个 区间上单调递  增. 哪个 区间单调递 减 , 虽 然意思差 不多 , 但是题 目问什么 , 你  必须答 什么  不然要 被扣分 . 还有一 点要 注意  得 到的不等式 如  何有二个或二个 以上 的区间 , 必须用逗号


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