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第六届北京高中数学知识应用竞赛决赛



2003 年 5 月上

中学生数学

中插 1

第六届北京高中数学知识应用竞赛决赛
2003 年 3 月 23 日





烧速度不变. 分别计算出它们的 a 值.

1. ( 满分 20 分 ) 田径队的小 刚同学在教

练指导下进行 3000 米跑的训练 , 训练要求是: 起跑后, 匀加速 , 10 秒达到每秒 5 米 的速度, 然后匀速跑到 2 分 ; 接着开始 均匀减速 , 到 5 分时已减到每 秒 4 米 , 再保持 匀速跑 4 分时 间; 在 1 分之内, 逐渐加速达到每秒 5 米的速 度, 保持匀速跑; 最后 200 米 , 均匀加速冲刺, 使撞线时的速度达到每秒 8 米 . 请按照上面的要求 ( 1) 画出小刚跑步的时间与速度的函数图 像的示意图; ( 2) 写出小刚进行长跑训练时, 跑步速度 关于时间的函数解析式. 2. ( 满分 20 分 ) 一农户收获土豆时 , 把土 豆一堆一堆地临时放在地边 , 以待运出. 为了 防止雨淋, 需要用雨布遮盖. 雨布为正方形 , 边 长是 6 米, 如果 把土豆堆 近似地 看作 是圆锥 形, 为了能够充分利用现有的雨布, 问圆锥底 面直径和高分别是多少米 ( 精确到 0. 1 米) ? 注: 自然堆积物的 堆积角 ( 圆锥顶角 ) 不小于 120 ; 1 底面积 高 . 锥体的体积 = 3 3. ( 满分 20 分 ) 目前市场上销售一种 雷 达牌 蚊香 , 每盘蚊香如图 1 所示, 图中标有 a, b 数值 ( 单位: 毫米 ) , 使用时拆成两片, 如图 2 所示. 经过实验发现, 该蚊香的燃烧速度约为 每小时 120 毫米 . 请用近似的方法回答下列问 题. 问: ( 1) 每一片蚊香大约可以燃烧多长时 间; ( 2) 根据市场需求, 请设计持续燃烧时间 分别为 4 小时、 8 小时、 10 小时的蚊香 , 蚊香燃

4. ( 满分 20 分) 下图是北京市宣武区某街 区草图 , 街区内部从上到下有平行的 5 条路 , 从左到右有 平行的 7 条路 . 路 口处都 标有字 母, 这些道路将街区分成 17 个地块 ( 1) , ( 2) , , ( 17) . 路的宽度忽略不计, 每段的长度可以 从图中得知. 例如 , DE = 20, 又 A G = 30, 所以 EI = 10. 图中标数与实际比例为 1 25, 单位是 米.

若在街区内设立一个 110 巡警站, 巡警出 动章程上明确规定从接到报警到到达出事地 点不得超过 5 分钟 . 在这里 , 我们规定 : 不论案 件发生在地块内什么位置 , 警员到达出事地块 的边缘, 就算到达了出事地点. 于是 , 按照实际 操作, 我们进一步规定: 在路上行使时间为出 警时间, 出警时间不得超过 3 分钟, 又警车的 车速恒为 60 千米 小时 . 问 ( 1) 哪些路口不能设为巡警站?

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( 2) 哪个路口设为巡警站可 以使出警至 最远地块时间达到最短? 说明理由 . ( 3) 若地块( 4) 、 ( 16) 是事件多发区 , 巡警 站设在哪里好呢 ? 请你提出 好 的原则, 并根 据你的原则给出答案 . 5. ( 满分 20 分) 初赛时曾经讨论过石材切 割的问 题, 这是 对实际问 题化简 后的 特殊情 况, 我们进一步考虑如下问题 ( 实际问题还要 比它复杂 ) . 对于一块长 宽 高的尺寸分别

为 20 14 12( cm ) 的长方体的 原料石材 , 需要切割下来的精品部分相应的尺寸为 5 4 3 2( cm ) 的小长方体, 且二者的左侧面、 前面 和底 面 相 互 平 行, 距 离 分 别 为 6 cm , 7 cm , 2 2 cm . 切割的加工费用为 3 元 cm ( 不区分切 割的方向 ) . 为操作方便, 每次切割都要把石材 切断 . 这里不要求同向切割连续两次后再旋转 刀具 , 如何切割这块石材可以保证切割的费用 最小 ?

参考解答
1. 解 ( 1)

t 2, 5, ( 2) v ( t ) = 4, t - 5, 60 5, t 2 + 5 180 3

t t t t t

[ 0, 10] ( 10, 120] ( 120, 300] ( 300, 540] ( 540, 600] ( 600, 637] ( 637, 668] 由

V 圆锥 =

2

1 9 1 = 18
2

2

r ( 9- r ) r r ( 18- 2 r )
2 2 2 2

4

2

2

1 18

2

6 .

3

当且仅当 r = 18- 2 r , 即 r = ( 能够充分利用雨布 ) . 此时 h = 9- r = 3, tan 圆锥顶角小于 120 .
2

6 时体积最大 OPA = 2< 3,

t 39 43 t - 57 , 400 400 t

取圆锥顶角等于 120 , 此时 r = 3 h , 式求得 r= 3 3 2 2. 6, h= 3 = 1. 5. 2

2. 解

圆锥

的侧 面 展 开 图 是 扇形 , 当圆锥顶角 不小于 120 时 , 该 扇形的顶角不小于 312 , 即大 于 270 , 于是 , 为了 能够充分利用现有的雨布 , 圆锥的母线 长应为正方形雨布边长的一半 . 正方形雨布的中心应盖在圆锥的顶点上. 设锥体底面半径为 r , 高为 h , 于是 3= h + r V 圆锥 = 1 2 2 r h= r 3
2 2 2 2

答: 圆锥底面直径约为 5. 2 米、 高约为 1. 5 米时 , 能够充分使用现有雨布 . 3. 解 ( 1) 先把蚊香盘近似地看成一个圆 盘. 取直径为 a 和 b 的算术平均值 , 则 直径 = ( a + b ) 由图可知 , 蚊香条的宽度= ( a - b ) 则 蚊香盘的面积= ( 112. 5 2) = 9935. 2 ( mm) , 1528. 5 ( mm) .
2 2

2= 112. 5 ( mm) . 2= 6. 5 ( mm) ,

9- r ,

蚊香条的总长度= 9935. 2 6. 5

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每一片蚊香中有两盘等长的蚊香 , 于是可知: 每一盘蚊香 的长度约为 764m m. 它大约可燃 烧 6. 3 小时. ( 2) 利用上面的结果知, ( 蚊香盘直径) = 4 ( 蚊香盘的面积
2

F、 L、 O、 M , 易见, 如果这些路口都满足要求 , 那么其它路口也就满足要求; 如果它们中的某 个路口不满足要求 , 则去掉这个 角 , 于是出 现了新的 角 , 再考察这些 角 .

)

S ( A ) = S A ( 15) = d A L = 30+ 15+ 65+ 20= 130, 不适合规定; 去掉它 , 出现新 角 B , G ; S ( B ) = S B ( 15) = d BL = 130- 15= 115, 适 合规定; S ( G ) = S G ( 4) = d GD = 15+ 55+ 30= 100, 适合规定 ; S ( M ) = S M ( 4) = d MD = 25 + 15+ 55+ 30 = 125, 不适合规定; 去掉它, N 成为 角 . 同理判断其它路口 , 可得, 只 有 A 、 M 两 个路口不能设巡警站 . ( 2) 从路口出警至最远地块 时间达到最 短就是距离最短. 我们考虑这样一条路 , 除了这条路上的路 口, 图中的所有路口分别位与它的两侧 ( 这条 路可能是一条折线 ) . 为了方便起见, 我们称这 样的一条路为通路 . 如果一条通路上有 m 个 路口 P 1 , P 2 , | i = 1, 2, d XPj + > , P m , 且与每一个 P i 距离最远 = min{ S ( Pj ) , m } , 则对于这条路另一侧的任 . 那么 , 至最远地块距离最短的 的地块都在这条路的一侧 , 设

= 4 ( 燃烧时间 燃烧速度 蚊香条的宽度 2 ), a = 蚊香盘直径+ 蚊香条的宽度 . 依次将结果可填入下表 ( 第一列填入后, 可利用比例和相似关系填写后面的数据 ) .
燃烧时间 蚊香长度 4 小时 480 mm 8 小时 960 mm 10 小时 1200 mm

蚊香片的面积 6240 mm2 12480 mm 2 15600 mm 2 蚊香片的直径 89. 1 mm 126. 0 mm 140. 9 mm a 95. 6 mm 132. 5 mm 147. 4 mm

( 注: 由于计算顺序和

的取值不同 , 会有

计算误差 , 误差不超过 5% 也算正确) 4. 解 为了叙述的方便 , 我们先明确一些 概念 , 并给出一些记号. 定义 1: 路口 X , Y 之间的距离就是所有 连接两个路口的路径中最短路径的长度, 记做 dX Y . 定义 2: 路口 X 与地块( m ) 之间的距离是 X 到 ( m ) 的边缘 上各点距离 的最小值 . 记做 S X( m ) . 因为通过任何一条路到达地块的任一边缘, 都是先到达属于这一边缘的某一路口, 所以 SX ( m) = min{ dXY | Y 是( m ) 的边缘上的路口} . 我们 将路 口 X 至最远 地块 的 距离 记做 S(X ). 即 S ( X ) = max { S X ( m ) | m = 1, 2, , 17} . ( 1) 按规 定, 出警时间 不得超过 3 分钟, 又警车的车速恒为 60 千米 小时 , 所以, 从巡 警站 到任 何一个 地块 的 距离 不能 超过 3000 米, 那 么在图 中不 超过 3000 25, 即不 超过 120. 为了简便 , 我们只需研 究图中的标数, 下 面涉及的距离都是计算标数的结果. 我们先分 析几个 角 的情况 , 所谓的 角 是路口 A 、 D、

一路口 X , 存在 Pj , 有 S ( X ) = d XP j + S ( P j ) 路口就不可能在通路的的这一侧 . 于是, 为了 尽快地找到满足要求的路口, 我们在街区中央 附近找几条通路, 使每一条通路上的每一个路 口距离最远的地块都在这条路的一侧 , 这些通 路围成一条封闭的环路, 则所求路口就在这条 环路上或在其围成的区域内. 在图中, 过 B , H , N 的通路 , 过 A , B , C , D 的通路 , 过 D , E , I , J , O 的通路 , 过 G , H , I , K , L 的通路就围成了一条上述环 路, B 、 H、 I、 E、 D、 C 是环路上的路口 . 经计算和比较, S ( C ) = S ( H ) = S ( I ) , 且 是所有路口至最远地块距离的最小值 . 故巡警 站设在 C 、 H、 I , 可以使出警至最远地块时间

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达到最短 . ( 3) 若地块( 4) 、 ( 16) 是事件多发区 , 我们 规定最好的标准是: 首先巡警站到这两处的最 远处距离最小 , 然后再要求巡警站到这两处的 距离之和最小. 类似前面的解答过程可得, 巡警站设在路 口 B 最好 . ( 此题是开放的 , 如果自己能给出合理的 好 的原则 , 且能按此得到相应的结论 , 即为 正确 ) 5. 解法 令 L i ( i = 1, 2, 3) 分别表示原

切割的顺序不影响整个切割的费用 . 再分析前两次的切割面互不平行的情况 , 切割的顺序对费用的影响 . 不妨设这两次切割为切割 和 , 这时有两种 切割方案: 先 后 ( 记做 [ , ]) 和 先 后 ( [ , ] ) . 它们的切割费用分别为: A 13 = a ( L 1 L 2 + L 2 L 3 - L 2 D 3 ) + A 和 A 31 = a ( L 2 L 3 + L 1 L 2 - d 1 L 2 ) + A , 于是 A 13 - A 31 = aL 2 ( d 1 - D 3 ) . 这表明只有当 d 1 < D 3 时才有 A 13 < A 31 . 也就是说, 当先切上面时所切下的长方体的厚 度 D 3 大于先切左面时所切下的长方体的厚度 d 1 时先 后 的切割费用要低于先 后 的切割 费用, 即在后面四次切割的顺序相同的条件下 先切上面时的费用要低于先切左面的费用. 类似地, 对于任意两次连续切割互不平行的 切割面的情形, 均可得到与前面相同的结论. 综上所述 , 如果我们称每次所切割下的长 方体的厚度为切割量 , 则使切割费用最小的切 割策略应该是依次选择切割量大的首先切割 就可以了 , 我们不妨称之为大切割量原理. 按照我们所得到的大切割量原理, 我们只 需计算出六次切割的切 割量 d i 和 D i ( i = 1, 2, 3) , 将它们按数值的大小排序就可以得到 最优的切割顺序. 此题中 , d 1 = 6cm, d 2 = 7cm, D 1 = 9cm, 排序可得 D 1 = 9cm, d 1 = 6cm, D 3 = 8cm, D 2 = 3cm , d 2 = 7cm, d 3 = 2cm. D 2 = 3cm, d 3 = 2cm, D 3 = 8cm,

料长方体的长, 宽和高, l i ( i = 1, 2, 3) 分别表 示精品部分长方体的长 , 宽和高 . d i ( i = 1, 2, 3) 分别表示原料石材与精品部分的左侧面 , 前 面和底面之间的距离 , Di = L i - l i - d i ( i = 1, 2, 3) 则分别表示原料石材与精品部分的右侧 面, 后面和上面之间的距离 . 切割的费用为 a 元. 根据 题意可 知, 整 个切 割的过 程分 为六 次, 即切割上面 ( ( )、 切割右面 ( 面( )、 切割底面( ) 、 切割左面 )、 切割前面 ( ) 和切割后

) . 这六次切割可以按照任意的顺序来安

排, 总共有 6! = 720 种不同的切割顺序 . 由于 每一次切割都使石材的形状发生变化 , 影响到 后面需要切割的面积 , 因此, 采用枚举的算法 在没有计算机的条件下是困难的. 我们尝试寻 找规律. 经分析 , 不难确认如下 事实: 在这六次有 顺序的切割中, 如果前面几次 ( 例如两次 ) 切割 的方式确定了 ( 如 和 , 但切割的顺序可以 任意) , 则经过这几次切割以后石材的形状将 是唯一确定的, 与这几次切割的顺序无关. 首先 , 讨论前两次切割的顺序对切割费用 的影响. 对经过两次切割后剩余的石材选定一 种切割方案 ( 即后四种切割的顺序) . 并记后面 这四次切割所需的费用为 A . 如果前两次 切割的 面是相 互平行 的 ( 如 、 组合 , 、 组合或 、 组合 ) , 无论次 序先后 , 先次切割不改变后次切割面, 则两次

最优的切割顺序是: ( 切右面) , ( 切上面) , ( 切前面 ) , ( 切左面 ) , ( 切后面 ) , ( 切 下面 ) . 所需的费用是: A = a[ L 2 L 3 + ( L 1 - D1 ) L 2 + ( L 1 - D 1) ( L 3 - D3) + ( L 2- d 2) ( L 3- D3 ) + l1 ( L 3- D 3) + l1 l2 ] = 1302( 元 ) .



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