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2016届高三理科数学一轮复习单元测试:第四章 三角函数 Word版含答案



第四章

单元测试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.sin210° cos120° 的值为( 1 A. 4 3 C.- 2 答案 A 2.已知 sin2α>0,且 cosα<0,则角 α 的终边位于( A.第一象限 C.第三象限 答案 C 解析 ∵cosα<0,sin2α=2sinαcosα>0,∴sinα<0.∴α 为第三象限角.故选 C. 1-cos2α sinα 3.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + 的值等于( cosα 1-sin2α A.2 C.-2 或 2 答案 D sinα |sinα| 解析 原式= + ,又角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,∴|sinα|=|cosα|且 sinα 与 cosα 互为相 |cosα| cosα sinα |sinα| 反数,∴ + =0. |cosα| cosα π 3 π 4.已知 sin( -x)= ,则 cos(x+ )=( 3 5 6 3 A. 5 3 C.- 5 答案 A π π π π 3 解析 cos(x+ )=cos[ -( -x)]=sin( -x)= ,选 A. 6 2 3 3 5 1 π π 5.若 sinα>tanα> (- <α< ),则 α 的取值范围是( tanα 2 2 π π A.(- ,- ) 2 4 π C.(0, ) 4 答案 B ) ) 4 B. 5 4 D.- 5 B.-2 D.0 ) ) ) B.- D. 3 4 3 4

B.第二象限 D.第四象限

π B.(- ,0) 4 π π D.( , ) 4 2

π π π π 1 解析 由 sinα>tanα 知, 在- <α< 的条件下, α 的取值范围是- <α<0.又在(- , 0)区间内, 使 tanα> 2 2 2 2 tanα π 成立的是 α∈(- ,0),故选 B. 4 1 π 6.已知 sin2α= ,则 cos2(α- )=( 3 4 1 A.- 3 1 C. 3 答案 D π 解析 cos2(α- )= 4 π π 1+cos?2α- ? 1+cos? -2α? 2 2 1+sin2α 2 = = = . 2 2 2 3 ) ) 2 B.- 3 2 D. 3

π 7.若将 y=sin4x 的图像向左平移 个单位长度,得 y=sin(4x+φ)的图像,则 φ 等于( 12 π A.- 12 π C. 3 答案 C 8.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的表达式为( ) π B.- 3 π D. 12

3 π A.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 4 2π C.f(x)=2sin( x+ ) 3 9 答案 B 3 5 π 4 解析 由图像知 T= π-(- )=π?T= π. 4 6 6 3 2π 3 3 ∴ω= =2π× = . T 4π 2 5 又( π,2)为五点作图法中的第二个关键点, 6 3 5 π ∴ × π+φ= +2kπ,k∈Z. 2 6 2 3 ∴φ=- π+2kπ,k∈Z. 4 3 3 3 5 ∴f(x)=2sin( x- π+2kπ)=2sin( x+ π). 2 4 2 4

3 5π B.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 4 25 D.f(x)=2sin( x+ π) 3 18

π π 9.将函数 y=sin(6x+ )图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移 个单位,得到的函数的 4 8 一个对称中心是( π A.( ,0) 2 π C.( ,0) 9 答案 A π π 解析 将函数 y=sin(6x+ )图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,得到函数 y=sin(2x+ )的图像, 4 4 π π π π 再向右平移 个单位,得到函数 f(x)=sin[2(x- )+ ]=sin2x 的图像,而 f( )=0,故选 A. 8 8 4 2 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acosA=bsinB,则 sinAcosA+cos2B=( 1 A.- 2 C.-1 答案 D 解析 ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B. ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1. π 11.设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后,所得的图像与原图像重合, 3 则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 C.6 答案 C π 解析 由题意可知,nT= (n∈N*), 3 2π π ∴n· = (n∈N*). ω 3 ∴ω=6n(n∈N*),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6. π 12.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时, 2 f(x)取得最大值,则( ) ) B.3 D.9 1 B. 2 D.1 ) ) π B.( ,0) 4 π D.( ,0) 16

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 答案 A 2π 2π 1 解析 ∵T=6π,∴ω= = = . T 6π 3

π 1 π π 又∵f( )=2sin( × +φ)=2sin( +φ)=2, 2 3 2 6 π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ= +2kπ,k∈Z. 6 2 3 π x π 又∵-π<φ≤π,∴φ= .∴f(x)=2sin( + ). 3 3 3 5 π π 7 ∴f(x)的单调递增区间为[- π+6kπ, +6kπ],单调递减区间为[ +6kπ, π+6kπ],k∈Z. 2 2 2 2 观察各选项,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1 11 π π 13.已知 cosα= ,cos(α+β)=- 且 α∈(0, ),α+β∈( ,π),则 cosβ 的值为________. 7 14 2 2 答案 1 2 1 4 3 1-? ?2= , 7 7

π π 1 11 解析 ∵α∈(0, ),α+β∈( ,π),cosα= ,cos(α+β)=- , ∴sinα= 1-cos2α= 2 2 7 14 sin(α+β)= 1-cos2?α+β?= 11 5 3 1-?- ?2= . 14 14

11 1 5 3 4 3 1 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× + × = . 14 7 14 7 2 π 14.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tanA=2,则 sinA=________;a=________. 4 答案 2 5 ,2 10 5

2 5× 5 5 sinA 2 π bsinA 解析 ∵tanA= =2, ∴sinA= 5.又∵b=5, B= , 根据正弦定理, 得 a= = =2 10. cosA 5 4 sinB 2 2 15.已知 tan2θ=2tan2φ+1,则 cos2θ+sin2φ 的值为________. 答案 0 解析 由 tan2θ=2tan2φ+1,得 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ tan2φ cos2θ= 2 . 2 = 2 =- cos θ+sin θ 1+tan θ tan2φ+1 tan2φ ∴cos2θ+sin2φ=- 2 +sin2φ=-sin2φ+sin2φ=0. tan φ+1 16.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π; kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α= ,k∈Z}; 2 ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图像和函数 y=x 的图像有三个公共点; π π ④把函数 y=3sin(2x+ )的图像向右平移 得到 y=3sin2x 的图像; 3 6

π ⑤函数 y=sin(x- )在[0,π]上是减函数. 2 其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号) 答案 ①④ 解析 考查①y=sin2x-cos2x=-cos2x,所以最小正周期为 π. ②k=0 时,α=0,则角 α 终边在 x 轴上. ③由 y=sinx 在(0,0)处切线为 y=x,所以 y=sinx 与 y=x 图像只有一个交点. π π ④y=3sin(2x+ )图像向右平移 个单位得 3 6 π π y=3sin[2(x- )+ ]=3sin2x. 6 3 π ⑤y=sin(x- )=-cosx 在[0,π]上为增函数. 2 综上知①④为真命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知 α 为第三象限角, π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 f(α)= . tan?-α-π?sin?-α-π? (1)化简 f(α); 4 (2)若 f(α)= ,求 tan2α 的值. 5 24 答案 (1)f(α)=-cosα (2) 7 解析 (1)f(α)= -cosαsinα?-tanα? =-cosα. -tanαsinα

4 4 3 (2)由 f(α)= ,得 cosα=- .又因为 α 为第三象限角,所以 sinα<0,所以 sinα=- 1-cos2α=- . 5 5 5 sinα 3 2tanα 24 所以 tanα= = ,故 tan2α= . 2 = cosα 4 1-tan α 7 18.(本小题满分 12 分) π 已知函数 f(x)= 3sin2x-2sin( +x)cos(π-x). 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; α π 3 π (2)若 f( - )= ,α 是第二象限角,求 cos(2α+ )的值. 2 12 2 3 7+3 5 π π 答案 (1)[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) (2) 3 6 16 π 解析 (1)f(x)= 3sin2x-2cosx(-cosx)= 3sin2x+2cos2x= 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1, 6

π π π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 6 2 3 6 π π 故函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 α π 3 1 (2)∵f( - )=2sinα+1= ,∴sinα= . 2 12 2 4 ∵α 是第二象限角,∴cosα=- 1-sin2α=- ∴sin2α=- 15 . 4

15 7 π π π 7 1 15 3 7+3 5 ,cos2α= .∴cos(2α+ )=cos2αcos -sin2αsin = × -(- )× = . 8 8 3 3 3 8 2 8 2 16

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC-1)=1. (1)求 B 的大小; 3 3 (2)若 a+c= ,b= 3,求△ABC 的面积. 2 π 5 3 答案 (1) (2) 3 16 解析 (1)由 2cosAcosC(tanAtanC-1)=1,得 sinAsinC 2cosAcosC( -1)=1. cosAcosC ∴2(sinAsinC-cosAcosC)=1. 1 1 ∴cos(A+C)=- .∴cosB= . 2 2 π 又 0<B<π,∴B= . 3 a2+c2-b2 1 (2)由余弦定理,得 cosB= = . 2ac 2 ∴ ∴ ?a+c?2-2ac-b2 1 3 3 = .又 a+c= ,b= 3, 2ac 2 2 27 5 -2ac-3=ac,∴ac= . 4 4

1 1 5 3 5 3 ∴S△ABC= acsinB= × × = . 2 2 4 2 16 20.(本小题满分 12 分) π 设函数 f(x)=2sinxcosx-cos(2x- ). 6 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)画出函数 f(x)在区间[0,π]上的图像; 2π (3)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值. 3 5π 答案 (1)π (2)略 (3)x= 时 f(x)最大值为 1 12

π 解析 (1)∵f(x)=2sinxcosx-cos(2x- ) 6 π π =sin2x-(cos2xcos +sin2xsin ) 6 6 1 3 π = sin2x- cos2x=sin(2x- ), 2 2 3 π ∴f(x)=sin(2x- ). 3 ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)列表,描点,作图.

2π π π (3)∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- ,π]. 3 3 3 π π 5π ∴当 2x- = ,即 x= 时,函数 f(x)取得最大值 1. 3 2 12 → → 1 3 21.(本小题满分 12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中,AC=CD= AB=1,AB· AC=1,sin∠BCD= . 2 5

(1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积. 1 解析 (1)∵AC=CD= AB=1, 2 → → → → ∴AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠BAC =2cos∠BAC=1. 1 ∴cos∠BAC= ,∴∠BAC=60° . 2 在△ABC 中,由余弦定理,有 1 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=22+12-2×2×1× =3,∴BC= 3. 2 (2)由(1)知,在△ABC 中,有 AB2=BC2+AC2. ∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90° . 1 1 3 ∴S△ABC= BC· AC= × 3×1= . 2 2 2 又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° +∠ACD, 3 3 sin∠BCD= ,∴cos∠ACD= . 5 5

4 从而 sin∠ACD= 1-cos2∠ACD= . 5 1 1 4 2 ∴S△ACD= AC· CD· sin∠ACD= ×1×1× = . 2 2 5 5 ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= 3 2 4+5 3 + = . 2 5 10

22.(本小题满分 12 分)如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

答案 θ=30° 时△POC 面积最大值为

3 2

解析 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60° -θ. ∴∠OCP=120° . OP CP 在△POC 中,由正弦定理,得 = . sin∠PCO sinθ ∴ 又 2 CP 4 = ,∴CP= sinθ. sin120° sinθ 3 OC 2 4 = ,∴OC= sin(60° -θ). sin120° sin?60° -θ? 3

1 1 4 4 3 4 4 因此△POC 的面积为 S(θ)= CP· OCsin120° = · sinθ· sin(60° -θ)× = sinθsin(60° -θ)= 2 2 3 2 3 3 3 sinθ( 3 1 2 1 cosθ- sinθ)= [cos(2θ-60° )- ],θ∈(0° ,60° ). 2 2 2 3 故当 θ=30° 时,S(θ)取得最大值为 3 . 3

π 3 π 1.已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α+ )等于( 2 5 4 1 A. 7 1 C.- 7 答案 A B.7

)

D.-7

π 3 4 3 π tanα+1 1 解析 ∵α∈( ,π),sinα= ,∴cosα=- ,tanα=- .∴tan(α+ )= = . 2 5 5 4 4 1-tanα 7 π π 2.函数 y=2sin( -x)+cos( +x)(x∈R)的最小值等于( 3 6 A.-3 B.-2 )

C.-1 答案 A

D.- 5

π π π π π π π π 解析 y=2sin( -x)+cos( +x)=2cos[ -( -x)]+cos( +x)=2cos( +x)+cos( +x)=3cos( +x). 3 6 2 3 6 6 6 6 5 当 x= π+2kπ,k∈Z 时,ymin=-3. 6 π π 3.已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 3 4 2 A. 3 C.2 答案 B π π T π π π 3 解析 方法一:画图知[- , ]内包含最小值点,∴ ≤ ,即 ≤ ,∴ω≥ . 3 4 4 3 2ω 3 2 π π π 2kπ π 方法二:∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2 时,ωx=2kπ- ,x= - (k∈Z), 3 4 2 ω 2ω ω≥8k-2, ? ? π 2kπ π π ∴- ≤ - ≤ ,得? -12k+3 3 ω 2ω 4 ? ?ω≥ 2 3 ?ω≥ . 2 3 B. 2 D.3 )



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