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第十三讲函数模型及其应用



第十三讲函数模型及其应用 班级________姓名________考号________日期 ________得分________
一? 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 内.) 1.(2010·杭州调研题)2002 年初,甲? 乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企 业.2010 年初在经济指标对比时发现,这两家

企业在 2002 年和 2009 年缴纳的地税均相同,其 间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则 2010 年企业缴纳地税的情况是( A.甲多 C.甲乙一样多 B.乙多 D.不能确定 )

解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列{an},由于企业甲年增长数相同,所以数列{an} 是等差数列,则 an 是关于 n 的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{bn},由于企业乙 年增长率相同,所以数列{bn}是等比数列,则 bn 是关于 n 的指数形函数.根据题意,a1=b1,a8=b8, 如图知 a9<b9,故 2010 年企业乙缴纳的地税多.

答案:B 2.(2010·北京海滨模拟题)北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答 题:小蜥蜴体长 15 cm,体重 15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到 体长为 20 cm 时,它的体重大约是( A.20 g C.35 g B.25 g D.40 g
1

)

解析:假设小蜥蜴从 15 cm 长到 20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积, 而体积与体长的立方成正比.记体长为 l 的蜥蜴的体重为 wt,因此有 w20=w15× 合理的答案应该是 35 g,选 C. 答案:C 3.(2010·长沙模拟题)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据: x y -2.0 0.24 -1.0 0.51 0 1 1.0 2.0 3.0 2.02 3.98 8.02

203 ≈35.56(g), 153

则 x、y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中 a、b 为待定系数)?() A.y=a+bxB.y=a+b C.y=ax +bD.y=a+
2 x

b x

解析:解法一:作散点图,由散点图可知,应选 B. 解法二:从表中发现 0 在函数的定义域内而否定 D;函数不具奇偶性,从而否定 C;自变量 的改变量相同而函数值的改变量不同而否定 A.故选 B. 答案:B 4.(2010·江门诊断题)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收 附加税,已知某种酒每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项 经营中所收取的附加税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为() A.2B.6 C.8D.10 解析:(100-10x)?70? 答案:A 5.已知 A? B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x(千米)与时间 t(小 时)之间的函数表达式是() A.x=60t B.x=60t+50t

x ≥112,2≤x≤8. 100

2

C. x ? ?

?60t (0≤t≤2.5) ?150 ? 5t (t ? 3.5)

?60t (0≤t≤2.5), ? D. x ? ?150(2.5 ? t≤3.5), ?150 ? 50(t ? 3.5)(3.5 ? t≤6.5) ?
解析:到达 B 地需要

150 =2.5 小时; 60

所以当 0≤t≤2.5 时,x=60t; 当 2.5<t≤3.5 时,x=150; 当 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5). 答案:D 6.某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得 的利润分别为 P 和 Q(万元),且它们与投入资金 x(万元)的关系是 P=

x a ,Q ? x (a>0).若 4 2

不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于 5 万元,则 a 的最小值应为() A. 5 C.3 元(0≤x≤20). 则纯利润 S(x)= B.5 D. 3 解析:设对乙商品投入资金 x 万元,则投入甲商品的资金为(20-x)万

20 ? x a ? x, 4 2

依题意应有 S(x)≥5 恒成立, 即

20 ? x a ? x ≥5, 4 2

即 a≥

x , 2

由于 0≤x≤20, ∴

x 20 的最大值为 ? 5 ,? a≥ 5 ,即a的最小值为 5. 2 2

答案:A 二? 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2010·武汉联考题)已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过
3

x 年剩留质量为 y,则 y 关于 x 的函数关系是________. 答案: y ? ? 0.9576 ?100 (x≥0) 8.(2010·温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为 168 元/套,以成本计算 一套盈利 20%而另一套亏损 20%,则此商贩________.(填赚或赔多少钱) 解析:设盈利的那套服装成本价为 x,则 x+20%x=168,x=140 元,设亏损的那套服装成本价 为 y,则 y-20%y=168,y=210 元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元). 答案:赔 14 元 9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg,火箭(除燃 料外)的质量 m kg 的函数关系是 v=2000?ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时, 火箭的最大速度可达 12 km/s. 解析:∵2000?ln(1+M/m)≤12000,∴ 答案:e -1 10.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进? 出水速度如图甲? 乙所示.某天 0 点 到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).
6

x

M 6 ≤e -1. m

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水.则一定能确定正确的是________. 解析:由丙图(题图)知 0 点到 3 点蓄水量为 6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确. 由丙图(题图)知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位,故 1 个进水 1 个出水,故②错误. 由丙图(题图)知 4 点到 6 点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故③错误. 答案:① 三? 解答题:(本大题共 3 小题,11? 12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.)

4

11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则 需购买行李票,行李费用 y(元)是关于行李质量 x(kg)的一次函数,其图象如图所示. (1)根据图象数据,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克? 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b. 由题图可知,当 x=60 时,y=6; 当 x=80 时,y=10.

1 ? ?60k ? b ? 6 ?k ? ∴? , 解得 : ? 5 . ?80k ? b ? 10 ? ?b ? ?6
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y= (2)y=

1 x-6(x≥30). 5

1 x-6(x≥30)中 y 的值为 0 时,x 的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图 5

象与 x 轴交点的横坐标. 当 y=0 时,x=30. ∴旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg. 12.某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决 定免收该年管理费,该年 A 型商品定价为每件 70 元,年销售量为 12.7 万件.第二年,商场开始 对该商品征收比率为 m%的管理费(即销售 100 元要征收 m 元),于是该商品每件的定价提高

m % %,预计年销售量将减少 m 万件. 1 ? 0.01m
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元)表示成 m 的函数,并指出这个函数的定 义域; (2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 21 万元,则商场对该商品征收管

5

理费的比率 m%的范围是多少? (3)第二年,商场在所收管理费不少于 21 万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时 的 m 的值. 解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为:

m 70 %) ? , m 1 ? 0.01m 1? 100 70 ? 年销售收入为 ?12?7 ? m ? 万元. m 1? 100 则商场该年对该商品征收的总管理费为 70(1 ? 70 ?12?7 ? m ? m%万元. m 1? 100 70 故所求函数为y ? ?12?7 ? m ? m, 100 ? m 由12.7 ? m ? 0及m ? 0得其定义域为?m | 0 ? m ? 12?7? . 70 ?12?7 ? m ? m≥21, 100 ? m 化简得m 2 ? 13m ? 30≤0, 即? m ? 3?? m ? 10 ? ≤0,

? 2 ?由y≥21得

解得3≤m≤10, 故当比率在 ?3%,10% ?内时, 商场收取的管理费将不少于21万元. (3)第二年, 当商场收取的管理费不少于21万元时, 7000 ?12?7 ? m ?? 3≤m≤10 ? , 100 ? m 7000 873 ? ?g ?m? ? ?12?7 ? m ? ? 700 ? ?10 ? ? 为减函数, 100 ? m m ? 100 ? ? ? g ? m ?max ? g ? 3? ? 700(万元), 厂家的销售收入为g ? m ? ?
故当 m=3 时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于 21 万元. 13.某皮鞋厂,从今年 1 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在 推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增 加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假如你是厂长, 将会采用什么办法估算以后几个月的产量? 解:作出图象如下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).

6

解法 1:(一次函数模型) 设模拟函数为 y=ax+b,以 B,C 两点的坐标代入函数式,有

?2a ? b ? 1.2, ?a ? 0.1, 所以得 y=0.1x+1. 解得 ? ? ?3a ? b ? 1.3, ?b ? 1,
评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升 1000 双,这是不太 可能的. 解法 2:(二次函数模拟) 设 y=ax +bx+c,将 A,B,C 三点的坐标代入,有
2

?a ? b ? c ? 1, 4 ?a ? ?0.05, ? ? ?a ? 2b ? c ? 1.2, 解得 ?b ? 0.35, ?9a ? 3b ? c ? 1.3, ?c ? 0.7, ? ?
所以 y=-0.05x +0.35x+0.7. 评析:由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双,比实际产量少 700 双.而且,由二次函数性质可 知,产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是 x=3.5),这显然不符合实际 情况. 解法 3:(幂函数模拟)如下图,
2

7

设 y=a x +b,将 A,B 两点的坐标代入,

? ?a ? 0.48, ?a ? b ? 1, 解得 ? ? 有? ?b ? 0.52, ? 2a ? b ? 1.2, 所以y ? 0.48 x ? 0.52.
评析:以 x=3 和 4 代入,分别得到 y=1.35 和 1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只 使用了两个月的数据. 方法 4:(指数函数模拟)如上图, 设 y=ab +c,将 A? B? C 三点的坐标代入,得
x

? ab ? c ? 1, ?a ? ?0.8, ? ? ? ab 2 ? c ? 1.2, 解得 ?b ? 0.5, ? ab3 ? c ? 1.3, ?c ? 1.4, ? ?
所以 y=-0.8·0.5 +1.4. 评析:以 x=4 代入得 y=-0.8×0.5 +1.4=1.35.
4 x

8



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