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《确定一次函数表达式》典型例题



《确定一次函数表达式》典型例题 例1 设一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) ,当 x ? 2 时, y ? ?3 ,当 x ? ?1 时, y ? 4 。 (1)求这个一次函数的解析式; (2)求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

例 2

已知一次函数 y ? kx ? b 的图像与另一个一次函数 y ? 3x ? 2 的

图像相交于

y 轴上的点 A,且 x 轴下方的一点 B(3, n) 在一次函数 y ? kx ? b 的图像上,n 满足 关系式 n ? ?
16 ,求这个一次函数的解析式。 n

例3

求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 关于 x 轴成轴对称的图形的解析式。

例4

已知一次函数的图象交正比例函数图象于 M 点,交 x 轴于点 N(-6,0),

又知点 M 位于第二象限,其横坐标为-4,若△MON 面积为 15,求正比例函数和 一次函数的解析式.

例5

求下列一次函数的解析式:
1/9

(1)图像过点(1,-1)且与直线 2 x ? y ? 5 平行; (2)图像和直线 y ? ?3x ? 2 在 y 轴上相交于同一点,且过(2,-3)点.

例6

选择题 )

(1)下面图像中,不可能是关于 x 的一次函数 y ? mx ? (m ? 3) 的图像的是(

(2)已知: 经过( )

b?c a?c a?b ? ? ? k (a ? b ? c ? 0) ,那么 y ? kx ? k 的图像一定不 a b c

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

(3)已知直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴,下列结论: ① k ? 0, b ? 0 ;② k ? 0, b ? 0 ;③ k ? 0, b ? 0 ;④ k ? 0, b ? 0 ,其中正确结论的个 数是( ) D.4 )

A.1 B.2 C.3

(4)正比例函数的图像如图所示,则这个函数的解析式是(

A. y ? x

B. y ? ?x

C. y ? ?2 x

1 D. y ? ? x 2

例7

已知一次函数 y ? (6 ? 3m) x ? n ? 4 ,求;

(1) m 为何值时, y 随 x 增大而减小; (2) n 为何值时,函数图像与 y 轴的交点在 x 轴下方; (3) m , n 分别取何值时,函数图像经过原点;
2/9

(4)若 m ?

1 , n ? 5 ,求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标; 3

(5)若图像经过一、二、三象限,求 m , n 的取值范围.

例 8 (1)已知一次函数图像经过点(0,2)和(2,1).求此一次函数解析式.
1 (2)已知一次函数图像平行于正比例函数 y ? ? x 的图像,且经过点(4,3). 2

求此一次函数的解析式.

例 9

已知一次函数图像如图所示,那么这个一次函数的解析式是(



A. y ? ?2 x ? 2 B. y ? ?2 x ? 2 C. y ? 2 x ? 2 D. y ? 2 x ? 2

3/9

参考答案 例1 分析 (1)已知一次函数图像上两个点的坐标,代入解析式中可以求 k、b

值。 (2)求出直线与 x 轴、y 轴两个交点,利用这两个交点与坐标轴所围的三角 形是直角三角形可求出面积。
7 ? ?k ? ? 3 , ?? 3 ? 2k ? b, ? 解 (1)由题意,得 ? 解得 ? ?4 ? ?k ? b. ?b ? 5 . ? 3 ?

7 5 ∴ 所求一次函数的解析式为 y ? ? x ? . 3 3 7 5 5 5 (2)直线 y ? ? x ? 与 x 轴交于 ( ,0) ,与 y 轴交于 (0, ) . 3 3 7 3 1 5 5 25 ∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ? ? ? . 2 7 3 42

例2

分析 由于 y ? 3x ? 2 与 y 轴的交点很容易求出,因此,要求 y ? kx ? b 的解

析式,只要再求出 y ? kx ? b 上另一点的坐标就可以了,而 B(3, n) 在 x 轴下方,因 此 n ? 0 ,利用 n ? ?
16 求出 n 的值就知道 B 点的坐标了。 n

解 设点 A 的坐标为 (0, m) ,∵ 点 A(0, m) 在一次函数 y ? 3x ? 2 的图像上, ∴ m ? 3? 0 ? 2 ? 2 ,即点 A 的坐标为 (0,2) . ∵ 点 B(3, n) 在 x 轴下方,∴ n ? 0 , ? n ? ? ∴ n ? ?4 ,点 B 的坐标为 (3,?4) . 又点 A(0,2) , B(3,?4) 在一次函数 y ? kx ? b 的图像上,
?0 ? k ? b ? 2, ∴ ? 解得 k ? ?2,b ? 2 ?3k ? b ? ?4.

16 ,n 2 ? 16,n ? ?4 ,而 n ? 0 , n

∴ 这个一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 2. 例3 解 设所求的直线解析式为 y ? kx ? b . ∵ 2 x ? y ? 1 ? 0 , ∴ y ? ?2 x ? 1.
1 1 当 y ? 0 时, ? ? , 即图像过对称轴上 (? ,0) 点, 显然这一点也在 y ? kx ? b x 2 2
4/9

上。 在 2 x ? y ? 1 ? 0 上任取一点 P,如 x ? 2 时, y ? ?5 ,则 P(2,?5) 可以知道 P 点关于 x 轴对称点的坐标为 P?(2,5) 。
? 1 1 ?? k ? b ? 0, ∴ (? ,0), ,5) 都在所求的直线上,∴ ? 2 (2 2 ? 2 k ? b ? 5. ?
?k ? 2, ∴ ? ∴ 所求直线的解析式为 y ? 2 x ? 1 . ?b ? 1.

例4

分析:要确定一次函数的解析式,必须知道图象的两个已知点的坐标,而 要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标,但题设中都缺少条件, 它们交点坐标中不知道纵坐标的值.已知条件中给出了△MON 的面积,而 △MON 的面积,因底边 NO 可以求到,因此实际上需要把△MON 的面积 转化为 M 点的纵坐标

解:根据题意画示意图,过点 M 作 MC⊥ON 于 C

∵点 N 的坐标为(-6,0) ∴|ON|=6

∴MC=5 ∵点 M 在第二象限 ∴点 M 的纵坐标 y=5 ∴点 M 的坐标为(-4,5) ∵一次函数解析式为 y=k1x+b 正比例函数解析式为 y=k2x 直线 y=k1x+b 经过(-6,0)

5/9

∵正比例函数 y=k2x 图象经过(-4,5)点,

例5

解: (1)把 2 x ? y ? 5 变形为 y ? ?2 x ? 5 . ∵所求直线与 y ? ?2 x ? 5 平行,且过点(1,-1). ∴设所求的直线为 y ? ?2 x ? b ,将 x ? 1, y ? ?1 代入,解得 b ? 1. ∴所求一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 1 . (2)∵所求的一次函数的图像与直线 y ? ?3x ? 2 在 y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为 y ? kx ? 2 .
5 把 x ? 2, y ? ?3 代入,求得 k ? ? . 2 5 ∴所求一次函数的解析式为 y ? ? x ? 2 . 2

说 明 : 如 果 两 直 线 y ? k1 x ? b1 , y ? k2 x ? b2 平 行 , 则 k1 ? k2 ; 如 果 两 直 线
y ? k1 x ? b1 , y ? k2 x ? b2 在 y 轴上的交点相同,则 b1 ? b2 .掌握以上两点,在求一次

函数解析式时,有时很方便. 例6
?m ? 0, 解: (1)由 A 可得 ? 故 0 ? m ? 3 ,∴A 可能; ?? (m ? 3) ? 0, ?? (m ? 3) ? 0, 由 B 可得 ? ?m ? 0,

故 m ? 3 ,∴B 可能;

?m ? 0, 由 C 可得 ? 此不等式组无解.故 C 不可能,答案应选 C. ?? (m ? 3) ? 0,

6/9

?b ? c ? k a, ? (2)由已知得 ?a ? c ? k b, ?a ? b ? k c, ?

三式相加得:

2(a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? k , ? a ? b ? c ? 0 ,

∴ k ? 2 ,故直线 y ? kx ? k 即为 y ? 2 x ? 2 . 此直线不经过第四象限,故应选 D. (3)直线 y ? kx ? b 与 x 轴的交点坐标为:
b b ? b ? ? ? ,0 ?,? ? ? 0, ? 0 即 k, b 异号,∴②、③正确,故应选 B. k k ? k ?

(4)∵正比例函数 y ? kx ? b(k ? 0) 经过点(1,-1) , ∴ k ? ?1,
? y ? ? x ,故应选 B.

说明:一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 中的 k, b 的符号决定着直线的大致位置,题 (3)还可以通过 k, b 的符号画草图,来判断各个结论的正确性,这类题型历来 都是各地中考中的热点题型,同学们一定要熟练掌握.

例7

解: (1)因为 y 随 x 增大而减小, 所以 6 ? 3m ? 0 ,解得: m ? ?2 . 所以当 m ? ?2 , n 为任何实数时, y 随 x 的增大而减小. (2)因为图像与 y 轴交点在 x 轴下方,
?6 ? 3m ? 0, 所以 ? ?n ? 4 ? 0, ?m ? ?2, 解得 ? ? n ? 4.

所以当 m ? ?2 且 n ? 4 图像与 y 轴交点在 x 轴的下方. (3)因为图像经过原点,
?6 ? 3m ? 0, ?m ? ?2, 所以 ? 解得 ? ?n ? 4 ? 0, ? n ? 4.

所以 m ? ?2 且 n ? 4 ,图像经过原点.
7/9

(4)把 m ?

1 , n ? 5 代入 y ? (6 ? 3m) x ? (n ? 4) 中得, 3
y ? 7 x ? 1.

令 x ? 0 ,解得 y ? 1, 所以图像与 y 轴交点为(0,1).
1 令 y ? 0 ,解得 x ? ? , 7
? 1 ? 所以图像与 x 轴交点为 ? ? ,0 ? . ? 7 ?

(5)因为图像经过一、二、三象限,
?6 ? 3m ? 0, 所以 ? ?n ? 4 ? 0, ?m ? ?2, 解得 ? ? n ? 4.

所以当 m ? ?2 且 n ? 4 时,图像经过一、二、三象限. 说明:主要考查一次函数的知识。

例 8

分析:求一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的解析式,也就是确定 k 、 b 的值。根

据题目已知条件列出关于 k 、 b 的二元一次方程组即可. 解: (1)设函数解析式为 y ? kx ? b(k ? 0) 因为图像经过(0,2)和(2,1) ,
? 2 ? k ? 0 ? b, 所以 ? ?1 ? 2k ? b,

1 ? ?k ? ? , 解得 ? 2 ?b ? 2. ?

1 所以所求函数解析式为 y ? ? x ? 2 ; 2

(2)设函数解析式为 y ? kx ? b(k ? 0)
1 因为函数图像是平行于 y ? ? x 的图像, 2 1 所以 k ? ? . 2

因为直线过(4,3) ,
1 所以 3 ? ? ? 4 ? b. 所以 b ? 5 , 2
8/9

1 所以所求函数解析式为 y ? ? x ? 5 . 2

说明:本题考查一次函数的知识,确定一次函数的解析式,必须确定 k 、b 的值, 根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可.

例9

解:由图像可知一次函数的图像经过点(-1,0)和(0,-2) ,可用待定系

数法解. 设一次函数的解析式为 y ? kx ? b ,则有
?? k ? b ? 0, ? ?b ? ?2,

?k ? ?2, 解得 ? ?b ? ?2.

所以一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 2 . 故选 A. 说明:本题主要考查学生的识图能力。

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