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天津南开中学高二数学周练14及答案


天津南开中学周练

南开中学高二上学期数学周练 14 及答案
一、选择题(本题每小题 5 分,共 50 分)
1.双曲线 y ? 3x ? 9 的渐近线方程是
2 2





(A) y ? ?3x

(B) y ? ?

1 x 3
2

(C) y ? ? 3x
2

(D) y ? ? (

3 x 3


2.设 abc ? 0 , “ ac ? 0 ”是“曲线 ax ? by ? c 为椭圆”的 (A)充分非必要条件 (C)充分必要条件 3.已知 P 是椭圆 (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

x2 y 2 ? ? 1 第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直,若点 P 到 45 20

直 线 4 x ? 3 y ? 2m ? 1 ? 的 0 距离不大于 3,则实数 m 的取值范围是 ( ) (B) [?

(A) [-7,8]

9 21 , ] 2 2

(C) [-2, 2]

(D)(??, ?7] ? [8, ??)

4.已知双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 a2 b2 a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( 2
?

A,△OAF 的面积为
?



(A) 30

(B) 45

(C) 60

?

(D) 90

?

5. 若椭圆

x2 y2 则 PQ 的中点 M ? ? 1 上有两点 P 、Q 关于直线 l :6 x ? 6 y ? 1 ? 0 对称, 12 8 的坐标是 ( )
?1 1? (B) ? , ? ? 2 3? 1? ? 1 (C) ? ? , ? ? 2? ? 3 1? ? 1 (D) ? ? , ? ? 3? ? 2

?1 1? (A) ? , ? ?3 6?

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6.过点 P(1,1)且与双曲线 x ? y ? 3 只有一个公共点的直线的条数是
2 2





(A)l 7.已知双曲线

(B) 2

(C) 3

(D)4

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直 6 3
( ) (D)

线 F2M 的距离为 (A)

3 6 5

(B)

5 6 6

(C)

6 5

5 6

8.若直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 是( ) (A) (1,5)
2 2

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围 5 m
(C)[1,5) (D) [l,5]

(B) (0,l)

9.双曲线 x ? y ? 1 的左焦点为 F,点 M 为左支下半支上任一点(异于顶点) ,则直线 MF 的斜率的变化范围是( )

(A) ( ? ? , 0 ) (B) (1 ,+ ? ) (C)(?? , 0) ? (1 , ? ?) (D)(?? , ? 1) ? (1 , ? ?) 10. 双曲线 x ? y ? a 截直线 4 x ? 5 y ? 0 的弦长为 41 , 则此双曲线的实轴长为 ( )
2 2 2

(A)3

(B)

3 2

(C)

12 5

(D)

6 5

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.双曲线的焦距等于双曲线的两条准线间距离的 2 倍,则双曲线的离心率是________.

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值为______________. 12.椭圆 8 4
13. 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1(?为锐角)过定点(4 3,4),则? = 24 tan ? 16 cot ?

-

___________. 14.已知 A(2,l) ,B(3,2) ,若线段 AB(不含端点 A、B)与椭圆 ?m ? 1?x ? my ? 1
2 2

总有交点,则 m 的取值范围是______________
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15 . 直 线 y ? x ? m 与 曲 线 y ? 1 ? 2 x ______________

2

有两个交点,则实数 m 的取值范围是

三、解答题(每题 10 分)
16.已知双曲线的一条渐近线方程为 7 x ? 3 y ? 0 ,两准线的距离为 准方程 .

9 ,求双曲线的标 2

17. 双曲线 16 x ? 9 y ? 144 ,求(1)双曲线的焦点坐标,离心率和渐进线方程;
2 2

(2) 设 F1、F2 是双曲线的左、 右焦点, 点 P 在双曲线上, 且 PF1 ? PF2 ? 32 , 求 ?F1 PF2 的大小.

18、已知椭圆的一个焦点 F1 (0,?2 2 ) ,对应的准线方程为 y ? ?

9 2 ,且离心率 e 满足 4

2 4 , e , 成等比数列 3 3
(1)求椭圆的方程; (2)试问是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线

1 x ? ? 平分?若存在,求出 l 的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由 2

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南开中学高二上学期数学周练 14 答案
一、选择题: CB ADB 二、填空题: 11.

BCCCA

2

12、 3 2 ? 6

13、45° 14、 (1, ??)

15、 [

2 6 , ) 2 2

三、解答题: 16、

x2 y 2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 81 729 9 7 7 49
x2 y 2 5 4 ? ? 1 ,焦点 (?5, 0), e ? , 渐进线 y ? ? x ; 9 16 3 3
? 2 2 ? PF1 ? PF2 ? 32 ? PF1 ? PF2 ? 100 ? ? ? PF1 ? PF2 ? ?6 PF1 ? PF2 ? 4c 2 2 PF1 ? PF2
2 2

17、 (1)

(2)

cos ?F1 PF2 ?
18、 (1)∵

? 0 ? ?F1 PF2 ? 90?

2 4 2 4 , e, 成等比数列 ∴ e 2 ? ? 3 3 3 3

e?

2 2 3

设 p( x, y) 是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得

x2 ? ( y ? 2 2)2 2 2 ? , 化简得9 x 2 ? y 2 ? 9 9 3 y? 2 4

即x ?
2

y2 ? 1 为所求的椭圆方程. 9
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(2)假设 l 存在,因 l 与直线 x ? ?

1 相交,不可能垂直 x 轴 2

因此可设 l 的方程为: y ? kx ? m 由

?y ? kx? m 消去y, 得9 x 2 ? (k x ? m) 2 ? 9整理得 ? 2 2 ?9 x ? y ? 9
(k 2 ? 9) x 2 ? 2kmx ? (m 2 ? 9) ? 0
方程①有两个不等的实数根 ∴ ? ? 4k m ? 4(k ? 9)( m ? 9) ? 0即m ? k ? 9 ? 0
2 2 2 2 2 2





设两个交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x2 , y 2 ) ∴ x1 ? x2 ?

? 2km k2 ?9 1 平分 2

∵线段 MN 恰被直线 x ? ? ∴?

1 x1 ? x2 2km ? 即? 2 ? ?1 2 2 k ?9
∴m ?

∵k ? 0

k2 ?9 2k



把③代入②得 (

k2 ?9 2 ) ? (k 2 ? 9) ? 0 2k


∵k2 ?9 ? 0

k2 ? 9 ?1 ? 0 4k 2

∴ k 2 ? 3 解得 k ? 3 或 k ? ? 3

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