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高三年月考数学理科试卷(2014年12月)参考答案


永春一中高三年 12 月份月考数学(理)科试卷参考答案(2014.12)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案

1 A

2 A

3 D

4 D

5 B

6 A

7 C

8 B

9 B

10 A

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.

16 3

12.3

13. ?

3 2

14.

a2 ? b 2? c 2

2

15.①②④

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分13分) 解: (I)依题意, ?BAC ? 120 , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , ?BCA ? ? . 在△ ABC 中,由余弦定理,得 北 C

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ………2分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120 ? 784 .
解得 BC ? 28 . …………………5分 西

BC ? 14 海里/小时. 所以渔船甲的速度为 2
答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.…………………7分

?
B

60

A





(II)方法1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由正弦定理,得

AB BC ? .………………………9分 sin ? sin120

即 sin ? ?

AB sin120 ? BC

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

答: sin ? 的值为

3 3 .………………………………………………………13 分 14

方法2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? ,

永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案

第 1 页

( 共 6 页)

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理,得 cos ? ? .………………………………9分 2 AC ? BC
即 cos ? ?

202 ? 282 ? 122 13 ? . 2 ? 20 ? 28 14
2 2

3 3 ? 13 ? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 14 ? 14 ?
答: sin ? 的值为 17.(本小题满分13分) 解: (I) cos ? ? ?

3 3 .…………………………………………13分 14

1 3 , sin ? ? . 2 2

……………2 分

sin 2? ? 2sin ? ? cos ? ? 2 ?

3 1 3 .……4 分 ? (? ) ? ? B 2 2 2

y P

Q

(II)因为 P(cos 2? ,sin 2? ) , A(1, 0) ,

O
所以 OQ ? OA ? OP ? (1 ? cos 2? ,sin 2? ) ,………6 分

A

x

? 1 1 3 f (? ) ? OB ? OQ ? ? (1 ? cos 2? ) ? sin 2? ? sin(2? ? ) ? ,……9 分 6 2 2 2
5? 1 ? , ? sin(2? ? ) ? 1 ………11 分 6 2 6 6 6 2 6 1 1 所以 0 ? f (? ) ? ,即 f (? ) 的取值范围 [0, ] . …………………13 分 2 2 ?? ? ,? ? 2? ? ?
18.(本小题满分13分) (I)证明:在△ ABD 中,因 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos ?DAB ? 3 AD .
2 2 2 2
2 2 2 从而 BD ? AD ? AB ,△ ABD 是直角三角形, BD ? AD .…………2 分

?

?

?

?

PD ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ,? BD ? PD .
又 AD

PD ? D , BD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD ,
第 2 页 ( 共 6 页)

永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案

? BD ? 平面 PAD .
又 PA ? 平面 PAD ,

? PA ? BD .…………………………………5 分
(II)解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DB 、 DP 所在 直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,设 则 A ?1,0,0 ? ,B 0,3, 0 ,C ?1, 3, 0 ,P ? 0,0,1? . | AD |? 1 ,

?

? ?

?

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0) .………………………6 分
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 PAB 的法向量,则 ?

?n ? AB ? 0 ? ? ? n ? PB ? 0

即 ?

? ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ? 3 y1 ? z1 ? 0



令 y1 ? 1 ,则 x1 ? z1 ? 3 , n ? ( 3,1, 3) .………………………8 分 设 m ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的法向量,则 ?

? ?m ? BC ? 0 ? ? m ? PB ? 0

,即 ?

? ?? x2 ? 0 , ? ? 3 y2 ? z 2 ? 0

令 y2 ? 1 ,则 z2 ? 3 , m = (0,1, 3) .………………………10 分

m ? n ? 0 ? 3 ? 1?1 ? 3 ? 3 ? 4 , | m |= 2 , | n |? 7 ,

cos ? m, n > ?

m?n ?4 2 7 .………………………12 分 ? ?? | m || n | 2 7 7

二面角 A ? PB ? C 为钝角, 故二面角 A ? PB ? C 的余弦值为 ? 19.(本小题满分13分) 解: (I)解法 1:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 即

2 7 .………………………13 分 7
(n ? 1)an nan ?1 ? ……………2 分 2 2

an an ?1 ? ? 0(n ? 2) .……………………………………………………4 分 n n ?1 a a 所以数列 { n } 是首项为 1 ? 1 的常数列.……………………………………5 分 1 n

永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案

第 3 页

( 共 6 页)

所以

an ? 1 ,即 an ? n ( n ? N* ) . n

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n .…………………………7 分 解法 2:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 即

(n ? 1)an nan ?1 ? ,……………2 分 2 2
……………………………………4 分

an n (n ? 2) . ? an?1 n ? 1 an an?1 ? ? an?1 an?2 ?

所以 an ?

a3 a2 n n ?1 ? ? a1 ? ? ? a2 a1 n ?1 n ? 2

3 2 ? ? ?1 ? n .…5 分 2 1

因为 a1 ? 1 ,符合 an 的表达式.

…………………………………6 分
*

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n ( n ? N ) .……………………………7 分 (II)假设存在 k ( k ? 2, k ? N* ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列, 则 bk bk ?2 ? bk2?1 . ………………………………………………8 分

因为 bn ? ln an ? ln n ? 0 (n≥2) ,

k ? 2 , ln k ? 0 , ln(k ? 2) ? 0 , ln k ? ln(k ? 2) ,
所以 bk bk ? 2 ? ln k ? ln(k ? 2) ? [

ln k ? ln(k ? 2) 2 ] ? [ln(k 2 ? 2k )]2 2

…………10 分

?[
这与 bk bk ?2 ? bk2?1 矛盾.

ln(k ? 1)2 2 ] ? [ln(k ? 1)]2 ? bk2?1 .……………12 分 2

故不存在 k ( k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.…………13 分 20.(本小题满分13分) 解: (I)由 F ( x) ? ln x ?

?

1 2 1 1 ? ax 2 ax ,得 F '( x) ? ? ax ? (x ? 0) ,……1 分 2 x x

①当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 ( 0 ? x ? 2 ) , 函数 F ( x) 在 (0, 2) 上单调递增,函数 F ( x) 在 (0, 2) 上不存在极值.……………3 分
永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案 第 4 页 ( 共 6 页)

②当 a ? 0 时,由 F '( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

1 1 ;由 F '( x) ? 0 ,得 x ? . a a

函数 F ( x) 在 (0,

1 1 ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. a a
1 1 ?2 ?0?a? . 4 a
……………………………………6 分

? 函数 F ( x) 在 (0, 2) 上不存在极值 ?
1 ? 实数 a 的取值范围为 (0, ] . 4
(II)当 x ? (1, t ] 时,

t G( x) ? x G(t ) ? G( x) ? G(t ) ? (t ?1)G( x) ? ( x ?1)G(t )

? ?

G ( x) G (t ) ? x ?1 t ?1

f 2 ( x) f 2 (t ) . ……………………8 分 ? g ( x) g (t )

令函数 h( x) ?

4 ln x(1 ? ln x) 2(ln x)2 f 2 ( x) ,则 h( x) ? , h '( x) ? (x ? 0) , 2 x3 x g ( x)
………………………10 分

当 1 ? x ? e 时, h '( x) ? 0 ;当 x ? e 时, h '( x) ? 0 . 函数 h( x) 在 (1, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减.………………………12 分 任意实数 x ? (1, t ] ,都有不等式 t G( x) ? x G(t ) ? G( x) ? G(t ) 成立 ? t ? e , 实数 t 的最大值为 e . 21.(本小题满分14分) 1. 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 7 分) 解: (1)由已知得 M ? ? ? ? ………………………………………14 分

? 2? ? 4 ? ? 1 b ?? 2 ? ? 4 ? ? ,即 ? ?? ? ? ? ? ,…………1 分 ? 1 ? ? ?1? ? c 1 ?? 1 ? ? ?1?

? 2?b ? 4 ?b?2 ? 1 2? ,解得 ? ,? M ? ? ?? ? . ……………………3 分 ? c ? ?1 ? ?1 1 ? ? 2c ? 1 ? ?1
永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案 第 5 页 ( 共 6 页)

设圆 x 2 ? y 2 ? 1上任意一点 P( x, y) 在矩阵 M 对应的变换作用下的像为 P' ( x ', y ') ,

? x ? ? x ' ? ? 1 2 ?? x ? ? x ' ? ? x ' ? x ? 2 y , ……………………5 分 M ? ? ? ? ?,? ?? ? ? ? ? , ? ? y ? ? y ' ? ? ?1 1 ?? y ? ? y ' ? ? y ' ? ? x ? y
1 ? x ? ( x '? 2 y ') ? ? 3 从而 ? ,代入 x 2 ? y 2 ? 1得 ( x '? 2 y ')2 ? ( x '? y ')2 ? 9 , 1 ? y ? ( x '? y ') ? 3 ?

? 所求曲线方程为 ( x ? 2 y)2 ? ( x ? y)2 ? 9 .
2.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 7 分) 解:由 ? sin(? ?

…………………………7 分

?
3

) ? ? sin ? cos

?
3

? ? cos ? sin

?
3

? 6 ,得 ? sin ? ? 3? cos? ? 12 ,

? y ? 3x ? 12 ,直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 12 ? 0 .………………………2 分
2 2 圆 C 的参数方程化为普通方程为 x ? y ? 100 ,圆心 C (0, 0) ,半径 r ? 10 . ……4 分

? 圆心 C (0, 0) 到直线 l 的距离 d ?

| 0 ? 0 ? 12 | ? 6, 3 ?1

? 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 102 ? 62 ? 16 .………………………7 分
3.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 7 分) 解: (I)

(a2 ? b2 )(12 ? 12 ) ? (a ? b)2 ,
(当且仅当 ? a ?b ? 3,

3 a b ? ,即 a ? b ? 时取等号) 1 1 2

又∵ a ? b ? m 恒成立,∴ m ? 3 . 故 m 的最小值为 3. ……………………………………4 分

(II) 2 | x ? 1| ? | x | ? a ? b 对任意满足条件的 a , b 恒成立 ? 2 | x ? 1| ? | x |? 3 . ∴?

?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 或? 或? , ??2 x ? 2 ? x ? 3 ??2 x ? 2 ? x ? 3 ?2 x ? 2 ? x ? 3
1 5 1 5 或 x ? ,即实数 x 的取值范围为 (??, ? ] [ , ??) . ………7 分 3 3 3 3
第 6 页 ( 共 6 页)

∴x??

永春一中高三年 12 月份月考数学(理) 科试卷参考答案



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