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求函数解析式常用的方法



求函数解析式常用的方法
泸西一中 高兴娟

求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、 消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所 求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数 的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着 十分重要的角

色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求 函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例 1: 已知 试求
f ( x ) 是二次函数, f (0 ) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? x ? 1 若

f ( x ) 的表达式。

解析:设 由 由

f ( x) ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0)

f (0 ) ? 0, 得

c=0 得
2

f ( x ? 1) ? f ( x ) ? x ? 1
2

a ( x ? 1) ? b ( x ? 1) ? c ? a x ? b x ? c ? x ? 1

整理得
a x ? ( 2 a ? b ) x ? a ? b ? c ? a x ? (b ? c ) x ? c ? 1
2 2



1 ? a ? ? 2 ?2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? ? a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? 0 ? ? ? f (x) ? 1 2 x ?
2

1 2

x

小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式, 设法求出其系数即可得到结果。类似的已知 f(x)为一次函数时,可设 f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设 f(x)= 二次函数时,根据条件可设 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
k x

(k≠0);f(x)为

(二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不 知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问 题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注 意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例 2:已知
f( x ? 1) ? x ? 2
x ? 1 视为 t

x ? 1, 求 f ( x ) 的解析式。

解析:如果把 只要在等式 即可解决。 令
x ?1 ? t

,那左边就是一个关于 t 的函数

f (t ) ,

x ?1 ? t

中,用 t 表示 x ,将右边化为 t 的表达式,问题

? x? 0 ?t ?1 ? f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2 ( t ? 1) ? 1 ? t
2 2

? f ( x ) ? x ( x ? 1)
2

小结:①已知 f[g(x)]是关于 x 的函数,即 f[g(x)]=F(x),求 f(x)的解析 式,通常令 g(x)=t,由此能解出 x=(t),将 x=(t)代入 f[g(x)]=F(x)中,求 得 f(t)的解析式,再用 x 替换 t,便得 f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元 t 的取值范围。

②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的 解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知 的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换 元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。

(三)配凑法 已知复合函数
f [ g ( x )]

的表达式,要求

f (x)

的解析式时,若

f [ g ( x )] 表达式右边易配成 g ( x )

的运算形式,则可用配凑法,使用

配凑法时,要注意定义域的变化。 例 3:已知 分析:?
f( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x ) 的解析式。

x?2

x

可配凑成

? 可用配凑法

解:由

f(

x ? 1) ? x ? 2

x ? (

x ?) ?1
2

令t

?

x ?1

? x ? 0 ?t ?1

则 即

f (t ) ? t ? 1
2

f ( x ) ? x ? 1( x ? 1)
2

当然,上例也可直接使用换元法 令t 则t 得 即
? ? x ?1 x ?1
2

x ? ( t ? 1)

? f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2 ( t ? 1) ? t ? 1
2 2

f ( x ) ? x ? 1( x ? 1)
2

由此可知,求函数解析式时,可以用配凑法来解决的,有些也 可直接用换元法来求解。 例 4:已知
f (x ? 1 x )? x ?
2

1 x
2

,



f (x) .

分析:此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配 凑法比较方便。 解析:由
f (x ? ? x?
? 0

1 x

)? x ?
2 2

1 x
2

? (x ?

1 x

) ?2
2

令t 由?

1 x

? x ? tx ? 1 ? 0

即t2
2

?4? 0

得t ? R

? f ( t) ? t ? 2

即:

f ( x) ? x ? 2( x ? R )
2

实质上,配凑法也缊含换元的思想,只是不是首先换元,而是 先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来,在通 过整体换元。和换元法一样,最后结果要注明定义域。 (四)消元法,此方法的实质是解函数方程组。 消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数
f (x)

混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其

余部分。 例 5:设
1 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 f ( x ) x
1 f ( x ) 可消去 f ( ) x

的解析式。

分析:要求 个关于

,为此,可根据题中的条件再找一

1 f (x) 与 f ( ) x

的等式,通过解方程组达到消元的目的。 ………………………①
1 x

解析:?

1 f (x) ? 2 f ( ) ? x x
? 0

显然, x

,将 x 换成



1 1 f ( ) ? 2 f (x) ? x x

……………………………..②

1 ? f (x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 由? 1 ? f ( ) ? 2 f (x) ? 1 ? x x ?

消去

1 f( ) x
1 3

,得
x? 2 3x 1 x

f (x) ? ?

小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如 f(x)、 f ( ) ; 互为相反数,如 f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组 即得 f(x)的解析式。

(五)赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律 的方法。 其方法:将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据 结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。 例 5:已知 解析:令 a 则
f (0 ) ? 1, f ( a ? b ) ? f ( a ) ? b ( 2 a ? b ? 1), 求 f ( x ) ? 0,



f ( ? b ) ? f (0 ) ? b (1 ? b ) ? b ? b ? 1
2

令 ?b 则
2

? x

f (x) ? x ? x ? 1

小结:①所给函数方程含有 2 个变量时,可对这 2 个变量交替用特殊 值代入,或使这 2 个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至 于取什么特殊值, 根据题目特征而定。 ②通过取某些特殊值代入题设中等式, 可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式。

总之,求函数解析式的常用方法有:配凑法、换元法、待定系数法、
消元法等。如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;已知复合函数解 析式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;当已知的表达式比较 简单时,可用配凑法;若已知抽象的函数表达式,根据题目的条件特征,可 用赋值法或解方程组消元的方法求解析式



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