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双曲线第一课定义



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画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|

MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

? (1)若2a<2c=F1F2,则轨迹是?

双曲线 (2)若2a = 2c,则轨迹是? 两条射线 (3)若2a>2c,则轨迹是? 不表示任何图像 (4)若2a = 0,则轨迹是? F1F2的垂直平分线

2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点 F1, F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1, 等于常数 (小于︱ F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. 值(大于 ︱F1F2︱ )的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意

M

(1)距离之差的绝对值

F

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

1

o

F2

0<2a<2c

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

1

O

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

焦点在哪一个轴上。

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

练习一
x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 1、双曲线 5 4

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2、双曲线

y2 x2 ? ? 1 的焦点坐标是 16 9

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重选

练习二
已知双曲线 上一点P到

双曲线的一个焦点的距离为9,则它到另一 个焦点的距离为 或

提交

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练习三
4、双曲线

x2 y2 ? ? 1 焦距是6,则m的值为 m 7

2
5、双曲线

x2 y2 ? ? ?1上的点到两个焦点的距 4 m

3

5

7

离之差的绝对值等于8,则m的值为

4
你做对了

8
道题,得分:

10

16
查看得分 查看答案 重做

三、例题选讲 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程
解:∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

例2 已知方程

x2 y2 ? ?1 9?k k ?3

表示双曲线,

求 k 的取值范围。
y x x 分析:由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 2 2 x 、 y y 轴也可能在 轴,故而只要让 的系数异号即可。

练习:课后练习3
x 2、y 2



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