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山东省高密市第三中学2016届高三(创新班)数学(理)上学期期中模拟(二)试题



高三数学上学期期中模拟(二) 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =(
2

)

A. ( , ??) 2.若 ? ? ? A

1 2

B. (1, ??)

C. [0, ] ? [1, ?? ) D. (??, ] ? [1, ??)

1 2

1 2

?? 1 ?? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则sin ? ? ( 4? 7 ?2 ? ?
B

)
D ?

3 5

4 5

C

?

3 5

4 5


3.等差数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,且 a2013 ? S2013 ? 2013 ,则 a1 ? ( A. 2012 B. -2012 C. 2011 D. -2011

4. 下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题 “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

B. “ x ? 6 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“对任意 x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2

2

D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题为真命题. 5.非零向量 a, b 使得 | a ? b |?| a | ? | b | 成立的一个充分非必要条件是(

? ?

? ?

?

?



? ? A . a / /b

? ? ? B. a ? 2b ? 0

C.

? ? a b ? ? ? |a| |b|

D.

? ? a?b

6.若 {an } 为首项为 1 的等比数列, S n 为其前项和,已知 2a2 , S 3 , a4 ? 2 三个数成等差数列, 则数列 {an } 的前 5 项和为( A.341 B.
2

) C.1023 D.1024

1000 3

?x ? 1 3 ? 7.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ,则 a ? 2 ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

8. ?ABC 三个内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c, a sin A sin B ? b cos2 A ? 3a , 则 A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3

b ? ( a



9. 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ? ? ? ? 0,| ? |? 且 f ? ?x ? ? f ? x ? ,则( A. f ? x ? 在 ? 0, C. f ? x ? 在 ? 0, )

? ?

??

? 的最小正周期为 ? , 2?

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

B. f ? x ? 在 ? D. f ? x ? 在 ?

? ? 3? , ?4 4 ? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?
y 1 B

10.如图,函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ?, 则函数 y ? g ? x ? 的图象为( )
-1

1 O x C

A y y 1 -1 O -1 1 x 1 -1 O -1 1 x

-1

A.

B.

y 1 -1 1 O -1 x -1

y 1 1 O -1 x

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在横线上

11.等比数列 ?a n ?中,已知 a1 ? a2 ?

1 , a3 ? a4 ? 1 ,则 a7 ? a8 的值为 2

.

12.不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? 2 的解集为 13.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列, ?B ? 30 ,
?

△ABC 的面积为

3 ,那么 b 等于_____________ 2

14. y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 ?0, ?? ? 上递增 ,不等式 f ? 集为 15.下列命题中,正确的是 (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
0

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解 ? x ?1 ? ? 2?

?

?

?

?

?

?

7

? ? ? ? 3π ? ? (2)已知 a ? sin ? , 1 ? cos ? , b ? 1, 1 ? cos ? ,其中 θ ∈?π , ?,则 a ? b 2 ? ?

?

?

?

?

(3)对于 x ? R, 绝对值不等式 | x ? 10 | ? | x ? 2 |? 8 的解集为 [0, ??) ;

??? ? ??? ? 0 Rt ? ABC ? C ? 90 AB ? AC ? ?16 (4)在 中, ,AC=4,则
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

向量 a ? (sin ? x ? cos ? x,1) , b ? ( f ( x),sin ? x) ,其中 0< ? <1,且 a ∥ b ,将 f ( x) 的图 象沿 x 轴向左平移 象关于 (

?

?

?

?

? 1 个单位,沿 y 轴向下平移 个单位,得到 g ( x) 的图象,已知 g ( x) 的图 4 2

?
4

, 0) 对称。
(II)求 g ( x) 在 [0, 4? ] 上的单调递增区间

(I)求 ? 的值;

17.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos A ? (1) 求 tan C 的值; (2) 若 a ? 10 ,求 ?ABC 的面积。

3 , 2 cos C ? sin B 5

18. (本题满分 12 分)

在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3, 2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成的区 域(含边界)上。 (1)若 AP ? BC, CP ? AB ,求 OP ; (2)设 OP ? mAB ? nAC ( m, n ? R ) ,用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最小值。

??? ?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

19.(本小题满分 12 分)
2 已知等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , n ? N .(Ⅰ)求 a n ;
?

( Ⅱ ) 令 cn ? 1 ? (? 1) an , 不等 式 ck ? 2014(1 ? k ? 100, k ? N? ) 的 解集 为 M , 求 所 有
n

ak (k ? M ) 的和.

20. (本小题满分 13 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什 么范围内? (II)若 AN 的长不小于 4 米,试求矩形 AMPN 的面积的 最小值以及取得最小值时 AN 的长度.
D A B C M N P

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

1 ? ln x x 1 4

(1)若函数 f ? x ? 在区间 (t , t ? ) 上存在极值,求实数 t 的取值范围; (2)若对任意的 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 ? e 时,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? k 取值范围。 (3)是否存在实数 m, n(m ? n) ,当 x ??m,n ? 时 f ? x ? 的值域为 ?m, n? ?若存在,请给出证 明;若不存在,请说明理由。

1 1 ,求实数 k 的 ? x1 x2

期中参考答案 一选择题(每题 5 分,共 60 分) DADDBAABAA 二填空题(每题 4 分,共 16 分) 11. 4 12. (? , 0)

2 3

13. b ? 3 ? 1

14. ( ? ,1)

1 3

15.①②③

16、解: (I)∵ a ∥ b ,∴ (cos ? x ? sin ? x) · sin ? x ? f ( x) ? 0 , ∴ f ( x) ?

?

?

1 1 1 2 ? sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? ? sin(2? x ? ) 2 2 2 2 4

∴而 g ( x) ? ∴ 2? ( x ?

? 2 ? ? 2 ? ? sin[2? ( x ? ) ? ] 关于 ( , 0) 对称, sin[2? ( x ? ) ? ] ? 0 , 4 2 4 4 2 4 4
)?

?
4

?

1 1 ? k? , k ? Z ,∴ ? ? k ? , 由 k ? Z , 0< ? <1 得 ? ? 4 4 4

(II) g ( x) ? 得?

x ? ? ? 2 x ? sin( ? ) 由 ? ? 2k? ≤ ? ≤ ? 2k? , k ? Z , 2 8 2 2 2 2 8

3? 5 ? 4k? ≤ x ≤ ? ? 4k? , k ? Z 又∵0≤x≤ 4? ,且 k ? 0 时, 4 4 3 5 ? ≤x≤ ? ; 4 4 21 13? 5 13 k =1 时, ≤x≤ ? ∴ g ( x) 的单调递增区间: [0, ? ],[ ? , 4? ] . 4 4 4 4

19.解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q , 所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q ????2 分

又因为 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2 2

1 (舍)或 q ? 2 2

?4 分

所以 an ? 2 ? 2

n ?1

? 2n
n n

????6 分

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) an ? 1 ? (?2) ,
n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2 ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立 ????8 分
n

n 当 n 为奇数, cn ? 1+2 ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

2 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 ????10 分 因为 2 =1024,
10 11

{ak }(k ? M ) 组 成 首 项 为 211 , 公 比 为 4 的 等 比 数 列 , 则 所 有 ak (k ? M ) 的 和

211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 ? ?????12 分 1? 4 3
20. 解:设 AN ? x ( x ? 2) , ∵

3x |DN| |DC| ,∴ AM ? . ? x?2 |AN| |AM|
??????????????3 分

∴ S AMPN ? AN ? AM ?

3x 2 . x?2

(I)由 S AMPN 解得 2 ? x ?

3x 2 ? 32 .∵ x ? 2 ,∴ 3x 2 ? 32 x ? 64 ? 0 ,即 (3x ? 8)( x ? 8) ? 0 . ? 32 得 x?2

8 8 或 x ? 8 ,即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,+? ) . ????6 分 3 3

(Ⅱ)由条件 AN 的长不小于 4,所以

3x 2 3( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2) ? 12 12 12 y? ? ? 3( x ? 2) ? ? 12 ≥ 2 3( x ? 2) ? ? 12 ? 24 x?2 x?2 x?2 x?2
. ?????????????9 分 当且仅当 3( x ? 2) ?

12 3x 2 ,即 x ? 4 时 y ? 取得最小值,且最小值为 24 平方米. x?2 x?2



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