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点线面位置关系复习课件



一、公理和推论:

公理 1 :A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ? .
作用:证明或者判断点或直线是否在平面内。

公理2:不共线的三点确定一个平面。
作用:确定一个平面的依据。

公理3:P ?? , 且P ? ? ? ?

? ? l,

且P ? l

作用:确定两平面相交的依据,判断多点共线的依据。
? 公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线 B B 互相平行. . A . C

α

α

A

?

P

l

推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面. 推论2:过两条相交直线,有且只有一个 平面 . 推论3:过两条平行直线,有且只有一个 平面.
作用:作辅助平面;证明平面的唯一性

二、空间中的平行的判定及其性质 1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面无公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

线面平行); ?

a
b

α
a

2.判定两平面平行的方法:
(1)定义法:平面与平面无公共点则面面平行;

(2)判定定理:(线面平行

a // ? , b // ? , a b ? P ? ? ? ? // ? a ? ?、b ? ? ?

面面平行); ? ?

Pb

?

3、直线与平面平行的性质定理

a // ? , a ? ? , ?

? ? b ? a // b
β α

1)线面平行; 2)面面相交; 3)线在平面内
线面平行 线线平行

a

b

4、平面与平面平行的性质定理 ? / /? ? a//b ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

α
β
b

a

面面平行

线线平行

三、空间中的垂直的判定及其性质

1.判定直线与平面垂直的方法:
(1)定义法:直线与平面内任意一条直线垂直则线面垂直; (2)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么该直线与此平面垂直. (线线垂直 线面垂直);

?

? ? n?? ? ? m n ? B? ? l ? ? l ? m ? ? l ?n ? ?

m ??

??? ? ? l ?? ? ??l ? ? ? ? ? m?
l?m ? ?

(3)面面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂 直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

2.判定两平面垂直的方法: (1)定义法:平面与平面相交成直二面角则面面垂直; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直. (线面垂直 ? 面面垂直);

a ?? ? ??? ? ? a? ??

a ??? ? ? a / /b b ???

3.线面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平 行. 4.面面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面 内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

小结: 空间中的平行关系的转化
线线 平行 线面平行判定 线面平行性质 线面 面面平行判定 平行 面面平行性质 面面 平行

面面平行性质

空间中的垂直关系的转化 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直

平行和垂直关系的转化

空间中的平行

空间中的垂直

? ? ? ? a. 求证: a ? ?

如图,已知? ? ? , ? ? ?

? b , ? ?? , ? ?? ? c ,
?
a

证明:过平面 内一点P作PA⊥ b 于A,作PB⊥ c 于B. ∵?

?

?? ?a

∴PA⊥ ?
∴a??

?

A P

b

c

B

?

又 ? ??

∴PA⊥ a

∵PB ? PA=P, PA ? ?, PB

同理证明,PB⊥ a

??

∴ a ? ?.

例:在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小; (2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角; (3)求二面角A—BD—A1的正切值; (4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;
A1

D1
B1 D A

C1

(5)求证 : 直线AC1 ? 平面A1BD;
(6)求证 : 平面ABC1 ? 平面A1BD;
C B

(7)求点A1到平面CB1D1的距离.

例如图所示,在长方体中,AB=AD=1, AA1=2,M是棱CC1的中点 (Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角 的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M1

AB, AD 例如图, 在矩形 ABCD中,点E , F 分别在线段

2 AE ? EB ? AF ? FD ? 4 .沿直线 EF 将 V AEF 翻折 上, 3
' A 成 V A EF ,使平面 EF ? 平面BEF . ' (Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上, 若沿直线 FM 将四边形 MNCD向 上翻折,使 C 与 A' 重合, 求线段 MN 的长。

'



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