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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(广东卷)精校版


年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学( 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴 在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时.请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的.答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V=

1 sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|-2<x<1},B=A={x|0<x<2},则集合 A∩B= A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1} 2.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1`z1= A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i
?x ?x

3.若函数 f(x)= 3 + 3 与 g(x)= 3 ? 3 的定义域均为 R,则
x x

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数

B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 D.f(x)为偶函数.g(x)为奇函数

4.已知数列{ an }为等比数列, s n 中项为

5 是它的前 n 项和,若 a2 * a3 =2a. a4 与 2 a7 的等差 ,且

5 ,则 s5 = 4
B.33 C.3l D.29

A.35 5.“ m <

1 2 ”是“一元二次方程 x + x + m = 0 有实数解”的 4

A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

6.如图 1, V ABC 为正三角形, AA '/ / BB / / CC ,

'

'

CC ' ⊥ 平面ABC且3AA ' =
' ' '

3 BB ' = CC ' = AB 2

则多面体 ABC ? A B C 的正视图(也称主视图)是

7.已知随机量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X ≤4)=0.6826,则 P(X>4)= A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 8.为了迎接 2010 年广 州亚运会,某大楼安装了 5 个彩灯,他们闪亮的顺序不固定,每个彩 灯只能闪亮红橙 黄绿蓝中的一种颜色,且这个 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记住 5 个 彩灯有序 地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相 邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒,如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题 (9~13 题) 9.函数,f(x)=lg(x-2)的定义域是 10.若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), c =(1,1,1)满足条件( c — a )·2 b =-2,则 x= 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinC= .

v

v

v

v

v

v

12.若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方 程是 .

13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行 了抽样调查,其中 n 位居民的月均用水量分别为 x1 ,…, x4 (单位:吨).根据图 2 所示的 程序框图,若 x1 , x2 ,分别为 1, 2 ,则输出的结果 s 为 选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) .

14.(几何证明选讲选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,他们相交于 AB 的

中点 P,

PD =

2a 3 , ∠ OAP=30°则 CP=

15.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ρ , θ ) 0 ≤ θ<2π ) 中 , 曲 线 (

ρ = 2 sin θ 与ρ cos θ = ?1 的极坐标为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 l4 分)

已知函数f ( x ) = A sin ( 3 x + ? ) ( A>0,x ∈ ( ?∞, +∞ ), ?<π),在x = 0< (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式

π
12

时取得最大值4。

π 2 12 (3)若( α + )= ,求 sin α . f 3 12 5

17.(12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机 抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量(单 位:克) ,重量的分组区间为(490,495】(495,500】 , ,……, (510,515】 ,由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产 品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为 重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品 的重量超过 505 克的概率。 18.(本小题满分 14 分) 如图 5,AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径, E 点 为 AC 的中点, B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 点

平面 AEC 外一点 F 满足 FC = FD =,FE= 6a (1)证明: EB ⊥ FD ; (2 已知点 Q, R 为线段 FE , EB 上的点, FQ =

2 2 FE , FR = FB ,求平面 BED 与平面 3 3

RQD 所成的两面角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分) ????某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐?已知一个单位的午餐含??个单位的碳 水化合物,?个单位的蛋白质和?个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含?个单位的碳水 化合物,?个单位的蛋白质和??个单位的维生素 C ?另外,该儿童这两餐需要的营养中 至少含??个单位的碳水化 合物,??个单位的蛋白质和??个单位的维生素 C ? 如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是???元和?元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.(本小题满分 14 分) 已知双曲线

x ? y 2 = 1 的左、 右顶点分别为 A1 , A2 , 点 2

P ( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程 (2 若过点的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, 且 l1 ⊥ l2 ,求 h 的值.

21.(本小题满分 14 分)

设 A( x1 , y2 ) , B ( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p ( A, B ) 为

p ( A, B ) =| x2 ? x1 | + | y2 ? y1 | .
对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y2 ) , B ( x2 , y2 ) , (1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试证明 p ( A, C ) + p (C , B ) ≥ p ( A, B ); (2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① p ( A, C ) + p (C , B ) = p ( A, B ) ② p ( A, C ) = p (C , B )

若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

参考答案
一、选择题: 1.D. 2.A.3.B.4.C.5.A. 6.D.7.B.8.C. 二、填空题: 9. (2,+∞) . 10.2. 11.1. 12. ( x + 2) 2 + y 2 = 2

13.0.25

14.

9 a. 8

15. ? 2, π ? .

? ?

3 ? 4 ?

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:

17.解: (1)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为

[(0.01 + 0.05) × 5] × 40 = 12 (件).
(2)Y 的可能取值为 0,1,2.

P (Y = 0) =

2 C28 63 = . 2 C40 130

P(Y = 1) =

1 1 C28C12 56 = , 2 C40 130 2 C12 11 = . 2 C40 130

P(Y = 2) =

Y 的分布列为 Y 0 1 2

P

63 130

56 130

11 130

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3.令 ξ 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量,则 ξ

B (5, 0.3) ,故所求概率为

P (ξ = 2) = C52 (0.3)2 (0.7)3 = 0.3087 .
18.解法一: (1)证明: ∵E 为 AC 中点,AB=BC, AC 为直径, ∴ EB ⊥ AD .

Q EF2 =6a 2 = ( 5a ) 2 + a 2 = BF2 + BE 2 .
∴ EB ⊥ FB . 又Q BF I BD=B ,

∴ EB ⊥ 平面BDF .

Q FD ? 平面BDF ,
∴ EB ⊥ FD . (2)解:过 D 作 HD∥QR .

2 2 Q FQ= FE,FR= FB , 3 3

∴ QR∥EB . ∴ HD∥EB .
又Q D ∈ 平面BED I 平面RQD ,

解法二: (1)证明: ∵E 为 AC 中点,AB=BC,AC 为直径, ∴ EB ⊥ AD .

Q EF2 =6a 2 = ( 5a ) 2 + a 2 = BF2 + BE 2 .
∴ EB ⊥ FB . 又Q BF I BD=B ,

∴ EB ⊥ 平面BDF . Q FD ? 平面BDF ,
∴ EB ⊥ FD .

uuu r
垂线,建立空间直角坐标系,由此得

uuu r

(2)解:如图,以 B 为原点, BE 为 x 轴正方向, BD 为 y 轴正方向,过 B 作平面 BEC 的

B(0,0,0) ,C(0,a,0) ,D(0,2a,0) ,E(a,0,0).

∴平面 BED 与平面 RQD 所成二 面角正弦值为

2 29 . 29

19、解法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

? x ≥ 0, y ≥ 0, ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?12 x + 8 y ≥ 64, ?3 x + 2 y ≥ 16, ? ? 即? ? ?6 x + 6 y ≥ 42, ? x + y ≥ 7, ?6 x + 10 y ≥ 54. ?3 x + 5 y ≥ 27. ? ?
Z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8) 处的值分别是

ZA =2.5 × 9+4 × 0=22.5,

ZB =2.5 × 4+4 × 3=22, ZC =2.5 × 2+4 × 5=25, ZD =2.5 × 0+4 × 8=32,
比较之, ZB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的 午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足 要求. 解法二: 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位 和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依 题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

? x ≥ 0, y ≥ 0, ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?12 x + 8 y ≥ 64, ?3 x + 2 y ≥ 16, ? ? 即? ? ?6 x + 6 y ≥ 42, ? x + y ≥ 7, ?6 x + 10 y ≥ 54. ?3 x + 5 y ≥ 27. ? ?
让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行 域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取 得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

解法一: 联立①②解得交点坐标为 x = 则 x ≠ 0, x <

2 2 y1 2 2y ,y= 即x1 = , y1 = , x1 x1 x x



2.

x2 而点 P ( x1 , y1 ) 在双曲线 ? y 2 = 1 上, 2 ∴ x12 ? y12 = 1 . 2

将③代入上式,整理得所求轨迹 E 的方程为

x2 + y 2 = 1,x ≠ 0且x ≠ ± 2 . 2

因为点 P,Q 是双曲线上的不同两点,所以它们与点 A1,A 2 均不 重合,故点 A1和A 2 均不 在轨迹 E 上. 过 点 ( 0,1 ) 及 A 2

(

2, 的 直 线 l 的 方 程 为 x + 2 y ? 2 = 0 . 解 方 程 组 0

)

? x + 2 y ? 2 = 0, ? 2 得 x = 2, = 0 .所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 A 2 . y ?x 2 ? ? y =1 ?2
故轨迹 E 不经过点(0,1).同理轨迹 E 也不经过点(0,-1).

x2 综上分析,轨迹 E 的方程为 + y 2 = 1,x ≠ 0且x ≠ ± 2 . 2
(2)设过点 H (0, h) 的直线为 y = kx + h( h > 1) ,联立

x2 + y 2 = 1得 2

(1 + 2k ) x
2

2

+ 4khx + 2h 2 ? 2 = 0 .

令 = 16k 2 h 2 ? 4(1 + 2k 2 )(2h 2 ? 2) = 0得h 2 ? 1 ? 2k 2 = 0 ,

h2 ? 1 h2 ? 1 解得 k1 = , k2 = ? . 2 2

由于 l1 ⊥ l2 ,则 k1k2 = ?

h2 ? 1 = ?1, 故h = 3 . 2

过点 A1,A 2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H (0, h) ,且使 l1 ⊥ l2 ,因此 A1 H ⊥ A2 H , 由

h ? h ? ×? ? ? = ?1, 得h = 2 ,此时, 2 ? 2?

l1,l2 的方程分别为 y = x + 2, 与y = ? x + 2 ,
它们与轨迹 E 分别仅有一个交点 ( ? 所以符合条件的 h 的值为 3或 2

2 2 2 2 2 2 , )与( , ) 3 3 3 3

(2)解:注意到点 A( x1 , y1 ) 与点 B ( x2 , y2 ) 不同,下面分三种情形讨论. (Ⅰ)若 x1 = x2 , 则y1 ≠ y 2 , 由条件②得

x ? x1 + y ? y1 = x2 ? x + y2 ? y ,
即 y ? y1 = y ? y2 ,∴ y = 由条件①得

y1 + y2 . 2

x ? x1 + y ? y1 + x2 ? x + y2 ? y = x2 ? x1 + y2 ? y1 .
∴ 2 x ? x1 +

1 1 y2 ? y1 + y2 ? y1 = y2 ? y1 , 2 2

∴ x ? x1 = 0, ∴ x = x1 .

因 此,所求的点 C 为 ( x1 ,

y1 + y2 ). 2


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