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吉林省实验中学 2012 届高三第六次模拟考试 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? R

| x2 ? 4x ?12 ? 0}, B ? {x ? R | x ? 2} ,则 A A. {x | x ? 6} C. {x | x ? ?2} 2.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 A. (1,1) B. (?1,1) C. (?1, ? 1) D. (1, ? 1) B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | 2 ? x ? 6}

(CR B) =

1 i

3.已知命题 p : ?x ? R ,使 sin x ? ① 命题“ p ? q ”是真命题

5 ; 命题 q : ?x ? R ,都有 x2 ? x ? 1 ? 0. 给出下列结论: 2
② ④ 命题“ p ? (?q) ”是假命题 命题“ (?p) ? (?q) ”是假命题

③ 命题“ (?p) ? q ”是真命题; 其中正确的是 A.② ④

B.② ③

C. ③ ④

D. ① ② ③

4.如图,正方形 ABCD 中,点 E , F 分别是 DC , BC 的中点,那么 EF =

1 1 A. AB + AD 2 2 1 1 C. ? AB ? AD 2 2
2

1 1 B. ? AB ? AD 2 2 1 1 D. AB - AD 2 2

D

E

C F

A

B

2 5.点 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 内弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为

A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

6.角 ? 的终边经过点 A (? 3, a) ,且点 A 在抛物线 y ? ? A. ?

1 2 x 的准线上,则 sin ? ? 4
D.

1 2

B.

1 2
1

C. ?

3 2

3 2

7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 1 的圆,则这个几何体的体积 是

A.

4? 3

B. ?

C.

2? 3

D.

? 3

8.在平面直角坐标系内,若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a 2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第四象 限内,则实数 a 的取值范围为 A. ?? ?,?2? C. ?1,??? 9.函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) (其中 ? ? B. ?? ?,?1? D. ?2,???

? )的图象 2

如图所示,为了得到 g ( x) ? sin ? x 的图象,则只要 将 f ( x) 的图象

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

10.已知正项组成的等差数列 {an } 的前 20 项的和 100 ,那么 a6 ? a15 最大值是 A. 25 B. 50 C. 100 D.不存在

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 OA 与 OB 关于 y 轴对称,向量 a ? (1, 0) ,满足不等式
OA ? a ? AB ? 0 的点 A( x, y ) 的集合为
2

A. ?x, y ? | ?x ? 1? ? y 2 ? 1
2

?

?

C. ?x, y ? | x ? y ? 0
2 2

?

?
2

? D. ? ?x, y? | x

B. ?x, y ? | ?x ?1? ? y 2 ? 1
2 2

? ? y ?1?

2

? ? 1?

12.椭圆

? x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) 上存在一点 P,使得它对两个焦点 F1 , F2 的张角 ?F1 PF2 ? ,则该 2 2 a

椭圆的离心率的取值范围是 A. (0,

2 ] 2

B. [

2 ,1) 2

C. (0, ]

1 2

D. [ ,1)

1 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.设函数 f ( x) ? ?

?3x , x ? 0 ?log3 x, x ? 0

,则 f ( f ( ? )) =

1 2



14.给出两个函数性质:性质 1: f ( x ? 2) 是偶函数;

?) 上是减函数,在 (2, ? ?) 上是增函数; 性质 2: f ( x ) 在 (??,
对于函数① f ( x) ? x ? 2 ,② f ( x) ? ( x ? 2) ,③ f ( x) ? cos( x ? 2) ,
2

上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是



? y ? x, ? 2 2 15. 若不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域为 M , x ? y ? 1所表示的平面的区域为 N,现随 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为 。 0 16.设 a,b,c 为单位向量,a,b 的夹角为 60 ,则(a + b + c)· c 的最大值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ?的各项均为正数, b1 ? 1 ,公 比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

(Ⅰ)求 an 与 b n ; (Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 c n ?

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值;
3

P E A F D

(Ⅱ)求证:BC∥面 EFG; (Ⅲ)求三棱锥 E-AFG 的体积。

19. (本小题满分 12 分) 公安部发布酒后驾驶处罚的新规定(一次性扣罚 12 分)已于 2011 年 4 月 1 日起正式施行.酒 后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血 液中的酒精含量 Q (简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升) ,当 20 ? Q ? 80 时,为酒后驾车; 当 Q ? 80 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查 了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量(如下表) . 血酒含量 人数 (0,20) 194 [20,40) 1 [40,60) 2 [60,80) 1 [80,100) [100,120] 1 1

依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ)分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率; (Ⅱ)从酒后违法驾车的司机中,抽取 2 人,请一一列举出所有的抽取结果,并求取到的 2 人 中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如 A, B, C , D 表示,醉酒驾车的人用小 写字母如 a, b, c, d 表示)

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切,且与
2 2

直线 l 相切. (Ⅰ )求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)直线 l ? 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l ? 的垂线恰好经过 点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为 ? POQ(O 为坐标原点)的面积,求 S 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2
4

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在正实数 a ,使得函数 ? ? x ? ?

1 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e ) 内有两个不 e x

同的零点?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 D 如图,BA 是⊙O 的直径,AD 是切线,BF、BD 是割线, 求证:BE?BF=BC?B D.
C E F

B

O

A

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系和参数方程

4 ? x ? 2? t ? ?x ? 2 ? 2 cos? 5 ?t为参数? 已知圆 C : ? ??为参数? ,直线 l: ? ? ? y ? 2 sin ? ?y ? 3 t ? 5 ?
(Ⅰ )求圆 C 的普通方程。若以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆 C 的极坐标方程。 (II)判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由;若相交,请求出弦长。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ )已知 x, y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(II)已知 a,b,c ? R ,且 a+b+c=1, 求证:a2+b2+c2≥

?

1 . 3

参考答案
5

题号 答案

1 C

2 D

3 B

4 D

5 C

6 B

7 B A

8

9 A

10 A

11 B

12 B

一、选择题: 二、填空题: 13. ?

1 2

14. ②

15.

3? 64

16. 3 ? 1

三、解答题:17.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ? S 因为 ? 所以 b2 ? b2 q ? 12 ,即 q ? q 2 ? 12 ---2 分 q? 2, ? b2 ?
, b2 ? 3, s2 ? 9, a2 ? 6, d ? 3 .---4 分 ? q ? 3 或 q ? ?4 (舍) 故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ) S n ? , bn ? 3n?1 . ----------6 分

n(3 ? 3n) 3n?n ? 1? = ,------8 分 2 2

cn ?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) . ---10 分 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

Tn ?

2? 1 1 1 ( 1 ? ) ? ( ? ?) 3? 2 2 3 ?

?

n

1 ( ?

1? ? ) ? n? 1 ?

2 1 n 2 .-12 分 ?(1 ? ) 3 n ? 1 n ? 3( 1)

18.(Ⅰ)解:因为 E,F 分别是 PA,PD 的中点,所以 EF∥AD, 于是,∠DAG 是 EF 与 AG 所成的角. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

? AD ? 2, DG ? 1, AG ? 5,? cos?DAG ? 2 5
5

? EF 与 AG 所成角的余弦值是

2 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 5

(Ⅱ)因为 BC∥AD,AD∥EF,所以 BC∥EF. . . . . . . . . .6 分 . . . . . . . . . . .8 分 ? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG? BC ∥平面 EFG. (Ⅲ)VE-AFG=VG-AEF= 1 S ?AEF ? DG ? 1 . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3 12 19. (Ⅰ)解:由表可知,酒后违法驾车的人数为 6 人,?????????1 分 则违法驾车发生的频率为:

6 3 ? 或 0.03 ;?????????3 分 200 100

酒后违法驾车中有 2 人是醉酒驾车,则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为

2 1 ? .???????5 分 6 3
(Ⅱ)设酒后驾车的 4 人分别为 A、B、C、D;醉酒驾车的 2 人分别为 a、b?????6 分 则从违法驾车的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B) , (A,C) , (A ,D) , (A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C,b) , (D,a) , (D,
6

b) , (a,b)共有 15 个. ???????8 分 设取到的 2 人中含有醉酒驾车为事件 E,???????9 分 则事件 E 含有 9 个结果: (A,a) , (A,b) , (B,a) , (B,b) , (C,a) , (C,b) , (D,a) , (D,b) , (a,b) . ???????11 分 ∴ P( E ) ?

9 3 ? 15 5

???????12 分
y

20 解:(Ⅰ )设动圆圆心 C 的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 R, 则

Q

| CC1 |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? R ? 1




O

A F
P

| y ? ? R1. |. . . . . . . . .2 分
可得

A B

x

x 2 ? ( y ? 2) 2 ?| y ? 1| ?1 . . . . . . . . . . . . .3



由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所以有 y ? 1 ? 0 ,

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 ,整理得 x2 ? 8 y ,即为动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程. . . . .5 分

x x0 2 x2 1 ) ,则 y ? , y? ? x, kl ? 0 , (II)如图示,设点 P 的坐标为 ( x0 , . . . . . . . .6 分 4 8 8 4

k PQ ? ?

4 4 ,所以直线 PQ 的方程为 y ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 x?6. x0 x0
2 2

又 k PQ

x0 x0 ?6 ?6 4 ? 8 ,? 8 ? ? , x02 ? 16 .? 点 P 在第一象限,? x0 ? 4 ,--9 分 x0 x0 x0

点 P 坐标为(4,2) ,直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? 6 .--------------10 分

联立 ?

? y ? ?x ? 6 ?x ? 8 y
2

得 x ? 8 x ? 48 ? 0 ,解得 x ? ?12 或 4,? 点 Q 的坐标为 (?12,18) .所以
2

S?

1 | OA || xP ? xQ |? 48 ---------12 分 2

21.解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ,符合题意.---------1 分

2 ,-------2 分 a 2 由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,所以 ? ? 1 ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 , a 综上,a 的取值范围是 a ? 0 ,或 a ? ?2 . ??????????4 分 lnx ? (ax ? 2) ? (2a ? 1) ,---------5 分 (Ⅱ) f ??x ? ? ax ? 2, ? ? x ? ? x
当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ?
7

因 ? ? x ? 在区间( , e )内有两个不同的零点,所以 ? ? x ? ? 0 , 即方程 ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 在区间( , e )内有两个不同的实根. ????6 分 设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ,

1 e

1 e

H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x
1 (舍) 2a

???7 分

令 H ?( x) ? 0 ,因为为正数,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? ( ,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

1 e

H ( x ) 是减函数;
??????????8 分

当 x ? (1, e) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数.

为满足题意,只需 H ( x ) 在( , e )内有两个不相等的零点, 故

1 e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? ? H ( x) min ? H ?1? ? 0, ? H (e) ? 0, ? ?

解得 1 ? a ?

e2 ? e 2e ? 1

???????????12 分

22.证法一:连接 CE,过 B 作⊙O 的切线 BG,则 BG∥AD ∴∠GBC=∠FDB,又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB-----------5 分 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角

D

BC BE ? ∴△BCE∽△BDF ∴ , BF BD
即 BE?BF=BC?BD????10 分 B 证法二:连接 AC、AE,∵AB 是直径,AC 是切线 ∴AB⊥AD,AC⊥BD,∠CEB=∠CAB
? ?

C E

F

O

A

∵在 ?ABC 中,∠CAB= 90 ? ?CBA ,在 ?BAD 中,∠D= 90 ? ?CBA

? ∠CAB=∠D, ? ∠CEB=∠D----------------5 分 ? C,E,F,D 四点共圆? ∴BE?BF=BC?BD????10 分
证法三:连接 AC、AE,∵AB 是直径,AC 是切线 ∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF--------3 分 由射线定理有 AB2=BC?BD,AB2=BE?BF-------9 分 ∴BE?BF=BC?BD????10 分 23. (Ⅰ ) ?x ? 2? ? y 2 ? 4 ---------2 分
2

? ? 4 cos? ---------------5 分
(II)解法一:由于直线 l 过圆心 ?2,0? ,-----------6 分
8

所以直线与圆相交-----------------------------8 分 弦长为 4-------------------------------------------10 分 解法二: l : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 -----------6 分 圆心到直线的距离 d ?

6?6 32 ? (?4) 2

? 0 ? r ,所以直线与圆相交-------------8 分

由于直线 l 过圆心 ?2,0? ,所以弦长为 4-------------------------------------------10 分 24.解: (Ⅰ )证明:∵( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy 2 ) ? x2 ( x ? y) ? y 2 ( y ? x)

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵x, y ? R ,∴( x ? y) ? 0, x ? y ? 0 ,∴( x ? y) ( x ? y) ? 0 ,
2 2 ?

∴x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 .???????5分 (II)证明:由 a+b+c=1, 得 1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2) ∴ a2+b2+c2≥

1 . (当且仅当 a=b=c 时取等号) ???????10 分 3

9



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