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山东省烟台市2015届高三下学期一模考试数学文试题


山东烟台 2015 高考诊断性测试数学文
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )
a?R , 1. 设 i 是虚数单位, 若

2a ? i 是一个纯虚数, 则实数 a 的值为 ( 1? i



A. ?

1 2

B. ?1

C.

1 2

D. 1

2. 已知集合 ? ? ? x ? x ? 3?? x ? 6 ? ? 0, x ? ?? , Q ? ?5,7? ,则下列结论成立的 是( ) B. ? ? Q ? ?
?

A. Q ? ?

C. ? ? Q ? Q
?

D. ? ? Q ? ?5?
? ? ?

3. 已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ?1, 0 ? , c ? ? 4, ?3? . 若 ? 为实数且 ? a ? ?b ? ? c , 则? ?( A.
1 4

?

) B.
1 2

C. 1

D. 2

4. 若条件 p : x ? 2 ,条件 q : x ? a ,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的 取值范围是( A. a ? 2 ) B. a ? 2 C. a ? ?2 D. a ? ?2

5. 某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均 为 2 ,则该几何体体积为( A. C.
32 ? 8 3 ? 3 4?3 3 ? 3



B. D.

32 ? 3 ? 3 4? 3 ? 3

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6. 已知点 ? ? x, y ? 的坐标满足 ? x ? y ? 0 , ? 点的坐标为 ?1, ?3? ,点 ? 为 ?x ? 3 ?

坐标原点,则 ?? ??? 的最小值是(

???? ???? ?



A. 12
?

B. 5
4?

C. ?6

D. ?21

?? 7. 将函数 y ? 2sin ? ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的图象分别向左. 向右各平

移 个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则 ? 的最小值为 ( A.
1 2

? 4

) B. 1 C. 2 D. 4

8. 右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估 计样本的平均重量为( A. 13 B. 12 ) C. 11 D. 10

9. 已 知 ? ? x, y ? 是 直 线 kx ? y ? 4 ? 0 ( k ? 0 ) 上 一 动 点 , ?? 是 圆
C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的一条切线,? 是切点,若线段 ?? 长度最小值为 2 ,则

k 的值为(

) B.
21 2

A. 3

C. 2 2

D. 2

? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 10. 已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a? ? f ? 2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??,0?

) C. ? 0, 2 ? D. ? ?2,0 ?

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. 函数 f ? x ? ?
1 的定义域为 log 2 ? x ? 2 ?

.

12. 某程序框图如图所示,现依次输入如下四个函数: ① f ? x ? ? cos x ;② f ? x ? ? ;③ f ? x ? ? lg x ;④ f ? x ? ? 以输出的函数的序号是 .
1 x

e x ? e? x ,则可 2

13. 已知曲线 y ? a sin x ? cos x 在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 则

实数 a 的值为 14.
2

.
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛 7 9

已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

物线的准线与 x 轴的交点为 ? ,点 ? 在抛物线上,且 ?? ? 2 ?F ,则
??F ? 的面积为
x

.

1? 15. 关于方程 ? ? ? ? sin x ? 1 ? 0 ,给出下列四个命题:①该方程没有小于 ?2?
0 的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在 ? ??,0? 内有且只有

一个实数根;④若 x0 是方程的实数根,则 x0 ? ?1,其中所有正确命题的 序号是 .

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明. 证明 过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规 定, 从 2015 年开始, 将对二氧化碳排放量超过 130 g / km 的轻型汽车进行 惩罚性征税. 检测单位对甲 . 乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧 化碳排放量检测,记录如下(单位: g / km ).

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120 g / km .

?1? 求表中 x 的值,并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳
定性; 则至少有一辆二氧化碳 ? 2 ? 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 排放量超过 130 g / km 的概率是多少?

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ? b , 其中 a ? ? 2cos x, ? 3 sin 2 x ? ,
?

? ?

? b ? ? cos x,1? , x ? R .

?1? 求函数 y ? f ? x? 的单调递减区间;
? 2 ? 在 ???C 中,角 ? .
? . C 所对的边分别为 a . b . c , f ? ?? ? ?1,
? ? a ? 7 ,且向量 m ? ?3,sin ?? 与 n ? ? 2,sin C? 共线,求边长 b 和 c 的值.

18. (本小题满分 12 分)如图, ?? CD 是正方形, D? ? 平面 ?? CD .

?1? 求证: ?C ? 平面 ? D? ;
? 2 ? 若 ?F//D? ,D? ? 3?F ,点 ? 在线段 ? D 上,且 ?? ? 3 ?D ,
求证: ?? // 平面 ??F .
1

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , an . Sn 满足

?t ?1? Sn ? t ? an ? 2? ( t 为常数, t ? 0 且 t ? 1 ).

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 设 bn ? ? ?an ? ? log3 ?1? Sn ? ,当 t ? 3 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .
1

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ex ,g ? x ? ? ax2 ? bx ? c( a ? 0 ).

?1? 若 f ? x ? 的图象与 g ? x ? 的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上,
且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求 b 和 c 的值;

? 2 ? 若 a ? c ? 1 , b ? 0 ,试比较 f ? x ? 与 g ? x ? 的大小,并说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 a 2 b2

3 ,右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 . 2

?1? 求椭圆 ? 的方程;
? 2 ? 已知点 ? ? 2,1? ,斜率为 2 的直线 l 交椭圆 ? 于两个不同点 ? .
1

? ,设

直线 ?? 与 ?? 的斜率分别为 k1 , k2 ,①若直线 l 过椭圆 ? 的左顶点,求 此时 k1 , k2 的值;②试猜测 k1 , k2 的关系,并给出你的证明.

参考答案 一.选择题 1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A 二.填空题 11. {x x ? 2 且 x ? 3 } 12. ④ 13. 1 14. 32 15. ②③④ 三. 解答题 16. 解: (1)由题可知, x乙 ? 120 ,所以 又由已知可得 x甲 ? 120 ,?????2 分
1 2 2 2 2 2 s甲2 = ?? 80 ? 120 ? ? ?110 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?140 ? 120 ? ? ?150 ? 120 ? ? ? 600 ? ? 5 1 2 2 2 2 2 s乙2 = ??100 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?100 ? 120 ? ? ?160 ? 120 ? ? ? 480 ? ? 5 480+x ? 120 ,解得 x ? 120 . 5

因为 x甲 ? x乙 , s甲2 ? s乙2 ,?????5 分 所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ?????6 分 (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆, 共有10 种二氧化碳排 放量结果:
110 ?, 120 ?, 140 ?, 150 ?, 120 ?, 140 ?, ?80 , ?80 , ?80 , ?80 , ?110 , ?110 ,

150 ?, 140 ?, 150 ?, 150 ? ,????10 分 ?110 , ?120 , ?120 , ?140 ,

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 g / km ”为事件 A , 则 P( A) ?
7 ? 0.7 , 10

所以至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 g / km 的概率是 0.7 . ???12 分 17. 解: (1 ) 分
? f ( x)=2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ,??3 3

令 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? ? ? ,解得 k ? ? ? ? x ? k ? ? ?(k ? Z) ,
3 6 3

? 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?k ? ? ?

?? ,k ? ? ? (k ? Z) . 6 3?

???6 分

?? ?? ? (2)∵ f ? A? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 A ? ? ? ?1 ,∴ cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,
? 3? ? 3?

又?

3

? 2A ?

?
3

?

7? 3

,∴ 2 A ? ?

3

??

,即 A ? ? ,????8 分
3
2

∵a ?

7 ,由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 3bc ? 7 .

??①

因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,所以 2sin B ? 3sin C , 由正弦定理得 2b ? 3c ,??②???11 分 解①②得 b ? 3 , c ? 2 . ????12 分 18. (1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AC . ?????2 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD ,又 BD ? DE =D , 从而 AC ? 平面 BDE . ?????5 分 (2)解:延长 EF、DA 交于点 G , 因为 AF // DE , DE ? 3 AF , 所以 GD ? DE ? 3 ,????7 分
1 BM 1 因为 BM ? BD ,所以 ? , 3 BD 3
F
A E

GA

AF

1

D M B

C

所以

BM GA 1 ? ? ,所以 AM // GB ,??10 分 BD GD 3

G

又 AM ? 平面 BEF , GB ? 平面 BEF , 所以 AM // 平面 BEF . ????12 分 19. 解 : ( 1 ) 由 (t ? 1) Sn ? t (an ? 2) , 及 (t ? 1) Sn?1 ? t (an?1 ? 2) , 作 差 得
an?1 ? tan ,

即数列 ?an ? 成等比数列, an ? a1t n?1 ,

当 n ? 1 时, (t ? 1) S1 ? t (a1 ? 2) ,解得 a1 ? 2t ,故 an ? 2t n . ?5 分
n ? ) (2)当 t ? 时, an ? 2 ( 1 ? Sn ? n , 3 3 3 ,

1

1

1

bn ? ? ?an ? ? log 3 ?1 ? Sn ? =
Tn ?

2n 3n ,???8 分

2 4 6 2n ? 2 ? 3 ?? ? n 3 3 3 3 , 1 2 4 6 2n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n +1 3 3 3 3 3 , 2 2 2 2 2 2 2n 1 2n 2n ? 3 Tn ? + 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n +1 ? 1 ? n ? n +1 ? 1 ? n +1 作差得 3 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n ? 3 ???12 分 Tn ? ? 所以 2 2 ? 3n .

20. 解: (1) 由已知 f (0) ? 1 , f '( x) ? e x , f '(0) ? 1 ,g (0) ? c ,g '( x) ? 2ax ? b ,
g '(0) ? b ,??2 分

依题意: ?

? f (0) ? g (0) ? c ? 1, ,所以 ? ;??5 分 ? f '(0) g '(0) ? ?1 ? b ? ?1

(2) a ? c ? 1 , b ? 0 时, g ( x) ? x 2 ? 1 , ① x ? 0 时, f (0) ? 1 , g (0) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ;???6 分 ② x ? 0 时, f ( x) ? 1 , g ( x) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ;???7 分 ③ x ? 0 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ,则 h '( x) ? e x ? 2 x . 设 k ( x) ? h '( x)=e x ? 2 x ,则 k '( x)=e x ? 2 , 当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 在区间 ( ? ?, ln 2) 单调递减; 当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 在区间 (ln 2, +?) 单调递增. 所 以 当 x ? ln 2 时 , k ( x) 取 得 极 小 值 , 且 极 小 值 为
k (ln 2) ? eln 2 ? 2 ln 2 ? 2? ln 4 ? 0

即 k ( x) ? h '( x)=e x ? 2 x ? 0 恒成立,故 h( x) 在 R 上单调递增,又 h(0) ? 0 , 因此,当 x ? 0 时, h( x) ? h(0)=0 ,即 f ( x) ? g( x) . ??12 分

综上,当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? g( x) . ??13 分 21. 解: (1) 设椭圆的右焦点 (c , 由右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 , 0) , 解得 c ? 6 ,
c 又由椭圆的离心率为 3 ,? ? 3 ,解得 a 2 ? 8, b 2 ? 2 ,
2

a

2

所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????4 分 8 2
1 2

(2)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ? x ? 2 ,
1 ? y ? x? 2 ? ? x1 ? 0 ? ? 2 ? x ? ?2 2 联立方程组 ? 2 2 ,解得 ? , 或? 2 ? x y y ? 2 y ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ?8

故 k1 ? ?

2 ?1 2 ?1 . ???7 分 , k2 ? 2 2

②猜测: k1 ? k2 ? 0 . 证明如下:???8 分 设直线在 y 轴上的截距为 m ,所以直线的方程为 y ? x ? m .
1 ? y ? x?m ? 2 由? ,得 x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 . ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
1 2

设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . ???10 分 又 k1 ?
y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) . ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
1 2

故 k1 ? k2 ?
1 2

又 y1 ? x1 ? m , y2 ? x2 ? m , 所以 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2)

1 1 =( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2

? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0

故 k1 ? k2 ? 0 . ???14 分


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