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广西桂林市、崇左市2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)



2016 年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集合 A={x|(x+1)(3﹣x)>0},集合 B={x|1﹣x>0},则 A∩B 等于( A.(1,3) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,3) D.(﹣1,1) )

>2.在复平面内,复数

﹣2i2 对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知双曲线 A.2 B.2

﹣ C .6

=1(b>0)的离心率等于 D.8

b,则该双曲线的焦距为(



4.已知 A.

<α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于( B. C. D.



5.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 的值为(



A.﹣2 B.﹣2 或﹣1 C.1 或﹣3

D.﹣2 或

6.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C .3

D.4

7.(x2﹣2)(1+ )5 的展开式中 x﹣1 的系数为( A.60 B.50 C.40 D.20



8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是(



A.f(x)= sin( x+ C.f(x)= sin( x+

)B.f(x)= sin( x+ ) ) D.f(x)= sin( x﹣ )

9.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所 示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

A.

B.

C.

D.

10.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0



11.过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为( A. B. C. ) D.2

12.若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ ,4]上单调递增,则实数 c 的取值范围是( A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,4] C.(﹣∞,8] D.[﹣2,4]



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 , 的夹角为 ,| |= ,| |=2,则 ?( ﹣2 )= .

14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为棱 DC 的中点,则 D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦

值等于



15.包括甲、乙、丙三人在内的 4 个人任意站成一排,则甲与乙、丙都相邻的概率为



2 16. b, c, b+c=8, 已知三角形 ABC 中, 三边长分别是 a, 面积 S=a2﹣ (b﹣c) , 则 S 的最大值是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= an﹣1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2log3 +1,求 + +…+ .

18.某技术公司新开发了 A,B 两种新产品,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小鱼 82 为次品,现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测,检测结果统计如下:

测试指标 产品 A 产品 B

[70,76) 8 7

[76,82) 12 18

[82,88) 40 40

[88,94) 32 29

[94,100] 8 6

(1)试分别估计产品 A,产品 B 为正品的概率; (2)生产一件产品 A,若是正品可盈利 80 元,次品则亏损 10 元;生产一件产品 B,若是正品可盈利 100 元,次品则亏损 20 元;在(1)的前提下.记 X 为生产一件产品 A 和一件产品 B 所得的总利润,求随机 变量 X 的分布列和数学期望.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 上的点,且 2BE=EP. (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PC= BC,求二面角 E﹣AC﹣P 的余弦值.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),短轴的一个端点 B 到 F 的距离等于焦距.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,是否存在直线 l,使得△ BFM 与△ BFN 的面积比 值为 2?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21.已知函数 f(x)= +alnx(a≠0,a∈R) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22.23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,选修 4-1:几何证明选 讲 22.已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线 AF 交⊙O 于 A、F(不与 B 重合),直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. (1)求证:∠BAC=∠CAG; (2)求证:AC2=AE?AF.

选修 4--4:坐标系与参数方程

23.已知曲线 C1:ρ=2sinθ,曲线

(t 为参数)

(I)化 C1 为直角坐标方程,化 C2 为普通方程; (II)若 M 为曲线 C2 与 x 轴的交点,N 为曲线 C1 上一动点,求|MN|的最大值.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. +ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15,函数 g(x)=|x+a|+|x+1|.

2016 年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集合 A={x|(x+1)(3﹣x)>0},集合 B={x|1﹣x>0},则 A∩B 等于( A.(1,3) B.(﹣∞,﹣1) 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;综合法. 【分析】求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:A={x|(x+1)(3﹣x)>0}={x|﹣1<x<3}, B={x|1﹣x>0}={x|x<1}, 则 A∩B={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1). 故选:D. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键. C.(﹣1,3) D.(﹣1,1) )

2.在复平面内,复数

﹣2i2 对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:复数 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. ﹣2i2= +2=3+i,对应的点(3,1)位于第一象限.

3.已知双曲线 A.2 B.2



=1(b>0)的离心率等于 D.8

b,则该双曲线的焦距为(



C .6

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】数形结合;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线 ﹣ =1(b>0)的焦距为 2c,根据双曲线的几何性质求出 c 的值即可得焦距.

【解答】解:设双曲线 由已知得,a=2; 又离心率 e= = 且 c2=4+b2, 解得 c=4; b,



=1(b>0)的焦距为 2c,

所以该双曲线的焦距为 2c=8. 故选:D. 【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题,是基础题目.

4.已知 A.

<α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于( B. C. D.



【考点】二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件求得 sinα 和 cosα 的值,再根据 cos(α﹣π)=﹣cosα 求得结果. 【解答】解:∵ <α<π,3sin2α=2cosα, . )= ,

∴sinα= ,cosα=﹣

∴cos(α﹣π)=﹣cosα=﹣(﹣ 故选:C.

【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题.

5.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 的值为(



A.﹣2 B.﹣2 或﹣1 C.1 或﹣3 【考点】程序框图.

D.﹣2 或

【专题】探究型;分类讨论;数学模型法;算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输

出分段函数 y=

的函数值.

【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是计算并输出分段函数 y=

的函数值.

当 x≤0 时,由 y=( )x﹣4=0,可得:x=﹣2; 当 x>0 时,由 y=log 故选:D. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重 要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前 两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. +1=0,可得:x= ;

6.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C .3

D.4

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距,只需求 出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 【解答】解:作图 易知可行域为一个三角形, 其三个顶点为(0,1),(1,0),(﹣1,﹣2), 验证知在点(1,0)时取得最大值 2 当直线 z=2x+y 过点 A(1,0)时,z 最大是 2, 故选 B.

【点评】本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于 基础题.

7.(x2﹣2)(1+ )5 的展开式中 x﹣1 的系数为( A.60 B.50 C.40 D.20



【考点】二项式定理的应用. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】把(1+ )5 按照二项式定理展开,可得(x2﹣2)(1+ )5 的展开式中 x﹣1 的系数. 【解答】解:(x2﹣2)(1+ )5=(x2﹣2)[ ? ], ﹣2?2 =60, + ? + ? + ? + ? +

故展开式中 x﹣1 的系数为 23? 故选:A.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.

8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是(



A.f(x)= sin( x+ C.f(x)= sin( x+

)B.f(x)= sin( x+ ) ) D.f(x)= sin( x﹣ )

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】函数的图象的顶点坐标求出 A 的范围,由周期求出 ω 的范围,根据 f(2π)<0,结合所给的选 项得出结论. 【解答】解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 0<A<1,T= 求得 0<ω<1. 再根据 f(2π)<0,结合所给的选项, 故选:B. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的图象特征,属于基础题. >2π,

9.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所 示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】剩余几何体为四棱锥,分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积.

【解答】解:由俯视图可知三棱柱的底面积为

=2,∴原直三棱柱的体积为 2×4=8. =6,

由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥, 四棱锥的底面为侧视图梯形的面积 由俯视图可知四棱锥的高为 2, ∴四棱锥的体积为 =4. .

∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为 故选 C.

【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算,属于中档题.

10.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.



【分析】由条件求得 x≥﹣log25,令 t=2x(t≥ ),即有 y=t2﹣2t﹣3,由二次函数的最值求法,即可得到最 小值. 【解答】解:xlog52≥﹣1,即为 x≥﹣log25, 2x≥ ,令 t=2x(t≥ ), 即有 y=t2﹣2t﹣3=(t﹣1)2﹣4, 当 t=1≥ ,即 x=0 时,取得最小值﹣4. 故选 A. 【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法,注意运用换元法和指数函数的单调性,考查运算能力, 属于中档题.

11.过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为( A. B. C. ) D.2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,求出 A 的横 坐标,即可求出点 A 到抛物线 C 的焦点的距离. 【解答】解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则分别过 A,B 作直线 x=﹣2 的垂线,垂足分别为 D,E. ∵|PA|= |AB|, ∴3(x1+2)=x2+2,3y1=y2, ∴x1= , ∴点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 1+ = . 故选:A. 【点评】 本题考查抛物线的定义, 考查学生的计算能力, 解题的关键是利用抛物线的定义确定 A 的横坐标.

12.若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ ,4]上单调递增,则实数 c 的取值范围是( A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,4] C.(﹣∞,8] D.[﹣2,4]



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ ,4]上单调递增,则 f′(x)=[x2+(2﹣c)x+(5﹣c)]ex≥0 在区间[ ,4]上恒成立,即 c≤ 函数的最小值,可得答案. 【解答】解:若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ ,4]上单调递增, 则 f′(x)=[x2+(2﹣c)x+(5﹣c)]ex≥0 在区间[ ,4]上恒成立, 即 x2+(2﹣c)x+(5﹣c)≥0 在区间[ ,4]上恒成立, 即 c≤ 在区间[ ,4]上恒成立, 在区间[ ,4]上恒成立,令 g(x)= ,利用导数法求出

令 g(x)=

,则 g′(x)=



令 g′(x)=0,则 x=1,或﹣3, 当 x∈[ ,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数; 当 x∈(1,4]时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 故当 x=1 时,g(x)取最小值 4,

故 c∈(﹣∞,4], 故选:B 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,恒成立问题,难度中 档.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 , 的夹角为 ,| |= ,| |=2,则 ?( ﹣2 )= 6 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】求出 【解答】解: ∴ ?( ﹣2 )= 故答案为:6. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题.
2

和 =
2

,将 ?( ﹣2 )展开得出答案. =﹣2, =2+2×2=6.
2

=| |2=2,

﹣2

14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为棱 DC 的中点,则 D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦

值等于



【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角. 【分析】连结 AD1、AP,由 AD1∥BC1,得∠AD1P 就是 D1P 与 BC1 所在的直线所成角,由此能求出 D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦值. 【解答】解:连结 AD1、AP, ∵AD1∥BC1,∴∠AD1P 就是 D1P 与 BC1 所在的直线所成角, 设 AB=2,则 AP=D1P= ∴cos∠AD1P= ,AD1= = = , .

∴D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦值等于



故答案为:



【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意余弦定理的合理 运用.

15.包括甲、乙、丙三人在内的 4 个人任意站成一排,则甲与乙、丙都相邻的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.



【分析】先求出基本事件总数,再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数,由此能示出甲与乙、丙都 相邻的概率. 【解答】解:包括甲、乙、丙三人在内的 4 个人任意站成一排, 基本事件总数 n= , =4,

甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数 m= ∴甲与乙、丙都相邻的概率 p= 故答案为: . .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

16.已知三角形 ABC 中,三边长分别是 a,b,c,面积 S=a2﹣(b﹣c)2,b+c=8,则 S 的最大值是 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.



【分析】利用三角形面积公式变形出 S,利用余弦定理列出关系式,代入已知等式计算即可求出 S 的最大 值. 【解答】解:∵a2=b2+c2﹣2bccosA,即 a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA,S△ ABC= bcsinA, ∴分别代入已知等式得: bcsinA=2bc﹣2bccosA,即 sinA=4﹣4cosA, ,

代入 sin2A+cos2A=1 得:cosA=

∴sinA= ∵b+c=8,



∴c=8﹣b, ∴S△ ABC= bcsinA= bc= b(8﹣b)≤ . ?( )2 = ,当且仅当 b=8﹣b,即 b=4 时取等号,

则△ ABC 面积 S 的最大值为 故答案为: .

【点评】此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,以及同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握余弦 定理是解本题的关键,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= an﹣1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2log3 +1,求 + +…+ .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由 Sn= an﹣1(n∈N*),可得当 n=1 时, 利用等比数列的通项公式即可得出. (2)bn=2log3 +1=2n﹣1,可得 = = .即可得出. ﹣1,解得 a1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1.再

【解答】解:(1)∵Sn= an﹣1(n∈N*), ∴当 n=1 时, ﹣1,解得 a1=2. ﹣1﹣ ,化为 an=3an﹣1,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=

∴数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 3. ∴an=2×3n﹣1. (2)bn=2log3 ∴ = +1=2n﹣1, = .

+

+…+

=

+

+…+

= = .

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

18.某技术公司新开发了 A,B 两种新产品,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小鱼 82 为次品,现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 产品 A 产品 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

(1)试分别估计产品 A,产品 B 为正品的概率; (2)生产一件产品 A,若是正品可盈利 80 元,次品则亏损 10 元;生产一件产品 B,若是正品可盈利 100 元,次品则亏损 20 元;在(1)的前提下.记 X 为生产一件产品 A 和一件产品 B 所得的总利润,求随机 变量 X 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其 分布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)由检测结果统计表,利用等可能事件概率计算公式能估计产品 A,产品 B 为正品的概率. (2)随机变量 X 的所有取值为 180,90,60,﹣30,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E (X). 【解答】解:(1)由检测结果统计表,得产品 A 为正品的概率为: 产品 B 为正品的概率为: = . = ,

(2)随机变量 X 的所有取值为 180,90,60,﹣30, P(X=180)= P(X=90)= P(X=60)= = , = ,

= ,

P(X=﹣30)= ∴X 的分布列为: X P E(X)= 180

=



90

60

﹣30

=132.

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认 真审题,在历年高考中都是必考题型之一.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 上的点,且 2BE=EP. (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PC= BC,求二面角 E﹣AC﹣P 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)由线面垂直的定义,得到 PD⊥AC,在正方形 ABCD 中,证出 BD⊥AC,根据线面垂直判 定定理证出 AC⊥平面 PBD,从而得到 AC⊥DE; (2)建立空间直角坐标系,如图所示.得 D、A、C、P、E 的坐标,从而得到 、 、 的坐标,利用 =(﹣1,1,

垂直向量数量积为零的方法,建立方程组解出 =(1,1,1)是平面 ACP 的一个法向量,

1)是平面 ACE 的一个法向量,利用空间向量的夹角公式即可算出二面角 E﹣AC﹣P 的余弦值. 【解答】解:(1)∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD ∴PD⊥AC ∵底面 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC, ∵PD、BD 是平面 PBD 内的相交直线, ∴AC⊥平面 PBD

∵DE?平面 PBD, ∴AC⊥DE (2)分别以 DP、DA、DC 所在直线为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示 设 BC=3,则 CP=3 ,DP=3,结合 2BE=EP 可得

D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0), E(1,2,2) ∴ =(0,3,﹣3), =(3,0,﹣3), =(1,2,﹣1)

设平面 ACP 的一个法向量为 =(x,y,z),可得 ,取 x=1 得 =(1,1,1) 同理求得平面 ACE 的一个法向量为 =(﹣1,1,1) ∵cos< , >= = ,∴二面角 E﹣AC﹣P 的余弦值等于

【点评】 本题在特殊四棱锥中求证线面垂直, 并求二面角的大小. 着重考查了空间线面垂直的定义与判定、 空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),短轴的一个端点 B 到 F 的距离等于焦距.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,是否存在直线 l,使得△ BFM 与△ BFN 的面积比 值为 2?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(Ⅰ)根据椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),短轴的一个端点 B 到 F 的距

离等于焦距,求出几何量,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)△ BFM 与△ BFN 的面积比值为 2 等价于 FM 与 FN 比值为 2,分类讨论,设直线 l 的方程为 y=k(x ﹣1),代入椭圆方程,消 x 并整理,利用韦达定理,根据 FM 与 FN 比值为 2,即可求得直线方程. 【解答】解:(Ⅰ)由已知得 c=1,a=2c=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ = ,

∴椭圆 C 的方程为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅱ)△ BFM 与△ BFN 的面积比值为 2 等价于 FM 与 FN 比值为 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ 当直线 l 斜率不存在时,FM 与 FN 比值为 1,不符合题意,舍去;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ 当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1), 直线 l 的方程代入椭圆方程,消 x 并整理得(3+4k2)y2+6ky﹣9k2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ 由 FM 与 FN 比值为 2 得 y1=﹣2y2③ 由①②③解得 k=± 因此存在直线 l:y=± ﹣﹣﹣ 【点评】本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力, △ BFM 与△ BFN 的面积比值为 2 等价于 FM 与 FN 比值为 2 是关键. , (x﹣1)使得△ BFM 与△ BFN 的面积比值为 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ①,y1y2=﹣ ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21.已知函数 f(x)= +alnx(a≠0,a∈R) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

【专题】计算题;分类讨论;转化思想. 【分析】 (Ⅰ)求函数 的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数 f(x)的导数和驻点,

然后列表讨论,求函数 f(x)的单调区间和极值; (II)若在区间(0,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,其充要条件是 f(x)在区间(0,e]上的最 小值小于 0 即可.利用导数研究函数在闭区间[1,e]上的最小值,先求出导函数 f'(x),然后讨论研究函 数在[1,e]上的单调性,将 f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值. 【解答】解:(I)因为 ,

当 a=1, 令 f'(x)=0,得 x=1,



又 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0,1) ﹣ ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); (II)因为 ,且 a≠0,

令 f'(x)=0,得到



若在区间[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立, 其充要条件是 f(x)在区间[1,e]上的最小值小于 0 即可. (1)当 a<0 时,f'(x)<0 对 x∈(0,+∞)成立, 所以,f(x)在区间[1,e]上单调递减, 故 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 由 ,得 ,即 ,

(2)当 a>0 时, ①若 ,则 f'(x)≤0 对 x∈[1,e]成立,

所以 f(x)在区间[1,e]上单调递减,

所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为 显然,f(x)在区间[1,e]上的最小值小于 0 不成立 ②若 x f'(x) f(x) ﹣ ↘ 0 极小值 + ↗ , , ,即 1> 时,则有



所以 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 由

得 1﹣lna<0,解得 a>e,即 a∈(e,+∞)舍去; 当 0< <1,即 a>1,即有 f(x)在[1,e]递增, 可得 f(1)取得最小值,且为 1,f(1)>0,不成立. 综上,由(1)(2)可知 a<﹣ 符合题意. 【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题.在利用导函数来研究函数的 极值时,分三步①求导函数,②求导函数为 0 的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数取 极大值;若左负右正,原函数取极小值,体现了转化的思想和分类讨论的思想,同时考查学生的计算能力.

请考生在第 22.23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,选修 4-1:几何证明选 讲 22.已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线 AF 交⊙O 于 A、F(不与 B 重合),直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. (1)求证:∠BAC=∠CAG; (2)求证:AC2=AE?AF.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】证明题;立体几何.

【分析】 (1) 连接 BC, 根据 AB 为⊙O 的直径得到∠ECB 与∠ACG 互余, 根据弦切角得到∠ECB=∠BAC, 得到∠BAC 与∠ACG 互余,再根据∠CAG 与∠ACG 互余,得到∠BAC=∠CAG; (2)连接 CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得∠GCF=∠ECB,再用外角进行等量代换,得到 ∠AFC=∠ACE,结合∠FAC=∠CAE 得到△ FAC∽△CAE,从而得到 AC 是 AE、AF 的比例中项,从而得 到 AC2=AE?AF. 【解答】证明:(1)连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径… ∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°… ∵GC 与⊙O 相切于 C, ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°… 又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90° ∴∠BAC=∠CAG… (2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,连接 CF ∵GE 与⊙O 相切于 C, ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB ∵∠AFC=∠GCF+90°,∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE… ∵∠FAC=∠CAE ∴△FAC∽△CAE… ∴ ∴AC2=AE?AF…

【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点,属于中档题.解题时 要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换,方可得到相似三角形.

选修 4--4:坐标系与参数方程

23.已知曲线 C1:ρ=2sinθ,曲线

(t 为参数)

(I)化 C1 为直角坐标方程,化 C2 为普通方程; (II)若 M 为曲线 C2 与 x 轴的交点,N 为曲线 C1 上一动点,求|MN|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 【专题】计算题. 【分析】(I) 利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得 C1 为直角坐标方程;消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程. (II) 先在直角坐标系中算出曲线 C2 与 x 轴的交点的坐标, 再利用直角坐标中结合圆的几何性质即可求|MN| 的最大值. 【解答】解:(I)曲线 C1 的极坐标化为 ρ2=2ρsinθ 又 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ 所以曲线 C1 的直角坐标方程 x2+y2﹣2y=0

因为曲线 C2 的参数方程是



消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程 4x+3y﹣8=0 (II)因为曲线 C2 为直线 令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) 曲线 C1 为圆,其圆心坐标为 C1(0,1),半径 r=1,则 ∴ ,|MN|的最大值为

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化,能在直角坐标系中利用圆 的几何性质求出最值,属于基础题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. +ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15,函数 g(x)=|x+a|+|x+1|.

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由 f(x)= 值; (2)运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4,即可得到所求的最小值. 【解答】解:(1)f(x)= =a[(x﹣1)+ +1]≥a(2 +ax(a>0,x>1) +1)=3a, +ax=a[(x﹣1)+ +1],运用基本不等式可得最小值,解方程可得 a 的

当且仅当 x=2 时,取得最小值 3a, 由题意可得 3a=15,解得 a=5; (2)函数 g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|, 由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4, 当且仅当(x+5)(x+1)≤0,即﹣5≤x≤﹣1 时,取得等号. 则 g(x)的最小值为 4. 【点评】本题考查函数的最值的求法,注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质,考查运算能力,属于 中档题.



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