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算法初步学案



静 宁 一 中 高 一 数 学 必 修 3导 学 案

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高一数学必修 3 导学案
§1.1.1
新知探究 探究:算法的概念 问题:解二元一次方程组

算法的概念

? x ? 2 y ? ?1 ? ?2 x ? y ? 1

,参照教材第 2 页用加减消元法写出它

的求解过程. 解:第一步: ;第二步: ; 第三步: ;第四步:_______________________________; 第五步:_______________________________。 思考:试写出求方程 组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?a2 x ? b2 y ? c2

?a1b2 ? a2b1 ? 0? 的求解步骤.

解:第一步: ; 第二步: ; 第三步: ; 第四步:_______________________________ ; 第五步:_______________________________ 。 新知:算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤, 这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的. (3)顺序性:算法分为若干有序的步骤,按顺序运行. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解 决,如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决. 典型例题 例 1.设计一个算法,判断 7 是否为质数。

例 2.写出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 (x>0)的近似解的算法.
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例 3.你能写出“判断整数 n(n>2)是否为质数”的算法吗?

§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构(1)
新知探究 探究 1:程序框图的定义 新知 1;程序框图又称 形. 探究 2:程序框图的基本符号及功能 问题:说出终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框、流程线、连接点的 图形符号与功能。 新知 2:程序框图的基本符号及功能表。 是一种用 、 及 来表示算法的图

概念说明: (1)起止框: 起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以 一个完整的流程图的首末两端必须是起止框. (2)输入、输出框: 表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输 入、输出的位置.
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(3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号. (4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的 具有两个或两个以上出口的符号, 在只有两个出口的情形中, 通常都分成“是”与“否” (也 可用“Y”与“N”)两个分支. 探究 3:算法的基本逻辑结构 问题:算法有很清晰的逻辑结构,阅读教材第 7 页图 1.1-2 的程序框图,你能说出他含有哪 三种逻辑结构吗? 新知 3;算法的三种基本逻辑结构: 、 、 . 探究 4:顺序结构特征及框图画法 问题:你能说出顺序结构的特点吗? 新知 4:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序 进行的, 它是由 组成的, 它是任何一个算法都离不开的基 本结构. 顺序结构可以用程序框图表示为:

步骤 n

步骤 n+1

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。 如在示意图中,步骤 n 和步骤 n+1 是依次执行的,只有在执行完步骤 n 指定的操作后,才能接着执 行步骤 n+1 所指定的操作. 典型例题 例 1 已知一个三角形三条边的边长分别为 a 、 b 、 c ,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形 面积的算法,并画出程序框图表示.

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例 2.见模块测评 P5 类型二例 2.

例 3. 见模块测评 P5 类型三例 3.

§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构(2)
新知探究 探究 1:条件结构 问题: 如何判断某个年份是否为闰年?写出该问题的算法步骤。 这个算法靠单一的顺序结构 还能完成吗? 新知 1:一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判 断,并根据判断结果进行不同的处理.因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问题,这种 结 构 叫 做 条 件 结 构 . 它 是 . 思考:条件结构的框图如何画呢? 结论:常见的条件结构可以用程序框图表示为下面两种形式:

否 满足条件? 是
步骤 A 步骤 B

否 满足条件? 是
步骤 A

探究 2:循环结构 新知 2:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件 某些步骤的 情况,这就是循环结构, 称为循环体。显然,循环结构中一定包 含 。 循环结构可细分为两类:
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( 1 )直到型循环结构的特征:在执行了一次循环后,对条件进行判断,如果条件不满 足, ,直到条件满足时终止循环。在下面画出框图模型:

(2)当型循环结构的特征:在每次执行循环体前,对条件进行判断,当条件满足 时, ,否则 。在下面画出框图模型:

典型例题 例 1 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三条边边长的三角形是 否存在,并画出这个算法的程序框图.

例 2. 设计一个计算 1+2+---+100 的值的算法,并画出程序框图。(要求用循环结构)

例 3.见模块测评 P8 类型二例 2.

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例 4.见模块测评 P11 类型一例 1.

§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构(3)
新知探究 探究 1:多重条件结构的程序框图 问题 1:解关于 x 的方程 ax+b=0 的算法步骤如何设计? 分析: 第一步,输入实数 a,b. 第二步, .若是,执行第三步;否则,计算 算法. 第 三 步 , 判 断 b 是 否 为 0. 若 是 , 则 输 出 “ “ ”. 问题 2:该算法的程序框图如何表示?
开始

,并输出 x,结束 ”;否则,输出

输入a,b a=0? 否
b x = a



b=0?



是 输出“ 方程的解为 任意实数”

输出“方程无实 数根”

输出x 结束

探究 2:混合逻辑结构的程序框图 问题 3:用“二分法”求方程 x ? 2 ? 0( x ? 0) 的近似解的算法如何设计?
2

第一步,令 f(x)=x -2,给定精确度 d. 第二步,确定区间[a,b],满足 f(a)·f(b)<0. 第三步,取区间中点 m. 第四步,若 f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则,含零点的区间为[m,b].将新 得到的含零点的区间仍记为[a,b]. 第五步,判断[a,b]的长度是否小于 d 或 f(m)是否等于 0.若是,则 m 是方程的近似解;否 则,返回第三步. 问题 4:该算法中哪几个步骤可以用顺序结构来表示?这个顺序结构的程序框图如何? 问题 5:该算法中第四步是什么逻辑结构?这个步骤用程序框图如何表示? 问题 6:该算法中哪几个步骤构成循环结构?这个循环结构用程序框图如何表示? 问题 7:根据上述分析,你能画出表示整个算法的程序框图吗?(见教科书 18 页.)
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探究 3:程序框图的阅读与理解 考察下列程序框图:
开始 n=1 S=0 n=n+1 S=S-n×n 是 n≤100? 否 输出S 结束 是 n是偶数? 否 S=S+n×n

问题 8:怎样理解该程序框图中包含的逻辑结构?

问题 9:该程序框图中的循环结构属于那种类型?

问题 10:该程序框图反映的实际问题是什么?

典型例题 例 1 某工厂 2010 年的年生产总值为 200 万元, 技术革新后预计以后每年的生产总值都比上 一年增长 5%,设计一个程序框图,输出预计年生产总值超过 300 万元的最早年份。

例 2 设计并画出判断一个大于 2 的正整数是否为质数的程序框图.

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例 3.画出求三个不同实数中的最大值的程序框图.

§1.2.1 输入语句、输出语句 和赋值语句
新知探究 探究 1:算法语句 问题: 计算机完成任何一项任务都需要算法, 但是, 我们用自然语言或程序框图描述的算法, 计算机是无法“看得懂, 听得见”的。 因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言 (programming language) 翻译成计算机程序。 程序设计语言有很多种。 如 BASIC, Foxbase, C 语言,C++,J++,VB 等。 新知 1:为了实现算法中的三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构,各种程 序设计语言中都包含下列基本的算法语句:

探究 2:输入语句、输出语句和赋值语句 问题:用描点法作函数 y ? x ? 3x ? 24 x ? 30 的图象时,需要求出自变量与函数的一组对
3 2

应值。你能写出算法步骤,画出程序框图然后编写程序,分别计算当

x ? ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5 时的函数值吗?
分析:算法分析,程序框图见教材 21-22 页。 我们发现这是一个顺序结构的程序: INPUT “x=”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT x PRINT y END 思考:在这个程序中,你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢?(“input”和 “print”、“end”的中文意思是什么?) 新知 2:
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(一)输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是:

其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时,依次输入 -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按 “x”新获得的值执行下面的语句。 INPUT 语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为:

例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成: INPUT “数学,语文,英语”;a,b,c 注意:1.“提示内容”与变量之间必须用分号“;”隔开。 2.各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“, ”隔开。 但最后的变量的后面不需要。 (二)输出语句 在该程序中,第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是:

同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容”。(2)例如下面的语句可以输出斐波那契 数列: PRINT “The Fibonacci Progression is: ” ; 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?” 输出语句的用途: (1)输出常量,变量的值和系统信息; (2)输出数值计算的结果。 (三)赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句, 在该程序中第 2 行的赋 值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是:

赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量, 使该变量的值等于表达式的值。 注意:1.赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。 2.赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。 3.不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) 4.赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 典型例题 例 1. 编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 (分析算法→框图表示→给出程序,说说对各语句的理解.)

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例 2.交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值。

例 3.见模块测评 P14 类型一例 1.

例 4.见模块测评 P14 类型二例 2.

§1.2.2 -1.2.3 条件语句和循环语句
新知探究 探究:条件语句和循环语句 新知: (一)条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的, 是处理条件分支逻辑结构的算法语句。 它的一般 格式是: ( 格式)

IF 条件 ELSE END IF

THEN

满足条件? 是 语句 1



语句 2

当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的 语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句: (即 格式)

IF END IF

THEN

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计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就 执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。 小结:条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要 转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同 的处理。 (二)循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环结构, 一般程序设 计语言中也有 和 两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句的一般格式是:

WHILE WEND

条件

(2)UNTIL 语句的一般格式是: 循环体 DO 循环体 LOOP UNTIL 满足条件? 是 否

思考:你觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢? 区别:在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,而在 UNTIL 语句中,是当条件不满足 时执行循环体。 典型例题 例 1 . 见课本 P27 例 7.

例 2.编写程序,计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。

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例 3. 见课本 P30 例 8.

例 4.见模块测评 P17 类型二例 2.

例 5.见模块测评 P18 类型三例 3.

§ 1.3 算法案例(1) 新知探究 探究:辗转相除法 新知 1:辗转相除法也叫 ,它是由欧几里德在公元前 300 年左右 首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步: 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 ;若 r0≠0,则 第 三 步 : 若 r1 = 0 , 则 ; 若 r1≠0 , 则 ;?? 依次计算直至 ,此时所得到的 即为所求的最大 公约数。 探究:更相减损术 新知 2:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。更相减损术求最大 公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以少减多,更相减损,求 其等也,以等数约之。 翻译出来为: 第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是, ;若不 是, 。 第二步:以较大的数减去较小的数,接着 ,并以大数减小数。继 续这个操作,直到 ,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
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思考:比较辗转相除法与更相减损术的区别。 结论: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为 主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少, 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术 则以减数与差相等而得到

典型例题 例 1.利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数。

例 2 .用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。

例 3.用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数.

§1.3 算法案例(2)
新知探究 探究:秦九韶算法 5 4 3 2 新知 1:我们已经学过了多项式的计算,下面我们计算一下多项式 f(x)=x +x +x +x +x+1 当 x=5 时的值,并统计所做的计算的种类及计算次数。根据我们的计算统计可以得出我们共需 要____次乘法运算,______次加法运算。 2 我们把多项式变形为:f(x)= x (1+x(1+x(1+x)))+x+1,再统计一下计算当 x=5 时的值时需要 的计算次数,可以得出仅需____次乘法和_____次加法运算即可得出结果。显然少了 _____ 次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。
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秦九韶计算多项式的方法: (详见教材 37 页。 ) 探究:进位制 新知 2: 进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数 字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制, 通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。 问题 1:把二进制数 110011(2)化为十进制数.

问题 2:把 89 化为二进制数.( 除 2 取余法)

结论:上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 设计一个算法, 把 k 进制数 a(共有 n 位)转换为十进制数 b.

典型例题 5 4 3 2 例 1 已知一个 5 次多项式为 f(x)=4x +2x +3.5x -2.6x +1.7x-0.8 用秦九韶算法求这个多项式 当 x=5 时的值。

例 2 (1)把二进制数 110 011(2)化为十进制数. (2)把 89 化为二进制数.

例 3.利用除 k 取余法把 89 转换为 5 进制数。

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第一章:算法初步复习课
知识结构

程 序 框 图 算法 算 法 语 句

辗转相除法与更相减损术

秦九韶算法

排序 进位制

知识梳理 (1)四种基本的程序框 (2)三种基本逻辑结构 (3)基本算法语句 (4)算法案例 典型例题 例 1.下列关于算法的说法中正确的个数有( ①求解某一类问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步操作之后停止 ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊 ④算法执行后一定产生确定的结果 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

例 2. 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 解:INPUT “n=”;n i=1 sum=0 WHILE

WEND PRINT END 思考:在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式的循环语句,能不能使用 UNTIL 循环?

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例 3. 把十进制数 53 转化为二进制数.

例 4.利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。

例 5.设计算法求

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值.要求画出程序框图, 写出用基本 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100

语句编写的程序.

请各位同学完成模块测评本章检测试题

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