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2013届高考数学压轴题练习3



高考数学压轴题练习 3
4.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m (a ? 0) (1)若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (2)若函数 f ( x) 在 ??1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; (3)若对任意的 a ? ?3,6? ,不等式 f ( x) ? 1 在 x?? ?2, 2? 上恒成立,求 实数 m 的取值 范围. 4. 解: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m , 因为 f ( x) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ? 0 , 即 m ? ? x3 ? x2 ? x 有三个互不相同的实数根。

[来源:学|科|网]

令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x , 则 g ' ( x) ? ?3x2 ? 2 x ? 1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1) 。 因为 g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( 1 , ??) 均为减函数,在 ?1, 1 为 增函数, 3 3
5 m 的取值范围 ? ?1, 27 ?

[来源:学&科&网]

?

?

(2)由题可知,方程 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 在 ??1,1? 上没有实数根,
' 2 2

? f ' (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? ' 2 因为 ? f (?1) ? 3 ? 2a ? a ? 0 ,所以 a ? 3 ? a?0 ?

[来源:学科网]

(3)∵ f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? 3( x ? a )( x ? a) ,且 a ? 0 , 3 ∴ 函数 f ( x) 的递减区间为 (?a, a ) ,递增区间为 (??, ?a) 和 ( a , ??) ; 3 3 当 a ? ?3,6? 时, a ??1,2? , ?a ? ?3, 又 x?? ?2, 2? , 3 ∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a ? 0
2

∴ f ( x)max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1 在 x?? ?2, 2? 上恒成立,
[来源:Zxxk.Com]

2 2 ∴ f ( x)max ? 1 ,即 ?8 ? 4a ? 2a ? m ? 1 ,即 m ? 9 ? 4a ? 2a 在 a ? ?3,6? 恒成立。

∵ 9 ? 4a ? 2a 2 的最小值为 ?87



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