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高二圆锥曲线四



高二圆锥曲线四
一、选择题 1.双曲线 x 2 ? my2 ? 1的一个焦点坐标为 ? 5 ,0 ,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?

?

?

)

1 x 4

B. y ? ?

1 x 2

C. y ? ?2

x

D. y ? ?4 x
2

2.已知 A? ?1,0? , B ?1,0? 两点,过动点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N ,若 MN ? ?AN NB ,当 ? ? 0 时, ? 动点 M 的轨迹为( A.圆 ) B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

3.若 k ? R ,则“ k ? 1 ”是方程“ A.充分不必要条件

x2 y2 ? ? 1 ”表示双曲线的( k ?1 k ? 1
C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4 .直线 y ? kx 交双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 于 A, B 两点, P 为双曲线 C 上异于 A, B 的任意一点,则直线 4 3
)

PA, PB 的斜率之积为(
A.

4 3

B.

3 4

C.

2 3 3

D.

3 2

5. 过双曲线

x2 y 2 ? 若线段 PF1 的 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 且倾斜角为 45 的直线交双曲线右支于点 P , 2 a b
) D. 1+ 2

中点 Q 落在 y 轴上,则此双曲线的离心率为( A. 3 二、填空题 6 .设 F1、F2 分别是双曲线 C: B. 1+ 3 C. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 a 2 b2
.

O 为原点) OP ? OF ,且 | PF 1 ( 1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为
7.过点 (2 2 , 3) 的双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? 左焦点,点 A(0,3), 则 PA ? PF 的最小值为 三、解答题 8.动点 M ( x, y ) 与定点 F ( 3,0) 的距离和它到直线 l : x ? (I)求曲线 C 的方程;

3 x, P 为双曲线 C 右支上一点, F 为双曲线 C 的 2
.

4 的距离之比为 3 ,记 M 的轨迹为曲线 C . 2 3

(II)设直线 x ? my ? 1 与曲线 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最大值.

第1页

9 .已知:圆 x2 ? y 2 ? 1 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点:直线 a 2 b2

y ? kx ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,与椭圆

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1 相交于 A,B 两点,记 ? ? OA ? OB, 且 ? ? ? . 2 3 4 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 k 的取值范围; (Ⅲ)求 ?OAB 的面积 S 的取值范围.

10.已知椭圆的两个焦点 F 1 且与坐标轴不平行的直线 l1 与椭圆交于 M , N 两 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) ,过 F 点,如果 ?MNF2 的周长等于 8。 (1)求椭圆的方程; (2) 若过点 (1, 0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P, Q , 试问在 x 轴上是否存在定点 E (m,0) , 使P EQ ?E 为定值?若存在,求出点 E 的坐标及定值;若不存在,说明理由。 恒

第2页

参考答案 1.C 【解析】 试题分析:因为双曲线 x 2 ? my2 ? 1 ,可化为 x ?
2

y2 ? 1 ,有因为其中一个焦点坐标为 1 m

??

5, 0 ,所以 1 ?

?

1 1 y2 ? (? 5) 2 ,? m ? .所以双曲线的方程为 x 2 ? ? 1.由双曲线渐进 m 4 4

线公式 y ? ?

b x ,可得 y ? ?2 x .故选 C. a

考点:1.圆锥曲线的标准方程.2.圆锥曲线的性质.3.转化的思想. 2.C 【解析】 试
2











M ( x, y ),



N ( x,0)

,





MN ? y 2 , ? AN ? NB ? ? ( x ? 1,0)(1 ? x,0) ? ? (1 ? x 2 ) ,
所以 y ? ? (1 ? x ) ,即 ? x ? y ? ? ,变形为 x ?
2 2 2 2
2

y2

?

? 1,又因为 ? ? 0 ,故动点 M 的轨迹

为双曲线. 考点:轨迹方程的求法. 3.A 【解析】 试题分析:依题意: “方程

x2 y2 ,可知 (k ? 1)(k ? 1) ? 0 ,求得 k ? 1 ? ? 1 表示双曲线” k ?1 k ? 1 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的充分不必要条件. k ?1 k ? 1

或 k ? 1 ,则“ k ? 1 ”是“方程

考点:必要条件、充分条件的判断;双曲线的方程. 4.B 【解析】 试题分析:本题考查直线与圆锥曲线的相交问题,作为选择题尽量不要小题大做,所以可用 特值法:令 k=0,则 A(-2,0)、B(2,0),,取 P(4,3) ,可得 k PA k PB = 考点:直线与圆锥曲线相交. 5.D 【解析】 试题分析:因为线段 PF1 的中点 Q 落在 y 轴上,故 Q 点与原点的连线为 ?PF 1F 2 的中位线,

3 . 4

答案第 1 页,总 6 页

b2 b PF2 , F1 F2 ? 2c, ? tan 45? ? ? a ? 1 , ? b 2 ? 2ac , 即 则 PF2 ? x 轴 , 故 PF2 ? F1 F2 2c a
2

c2 ? a 2 ? 2ac ? 0 ,等式两边同除 a 2 得 e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,所以 e ?

2?2 2 ? 1 ? 2 (舍去) 2

或e ?

2?2 2 ? 1 ? 2 ,故选 D. 2

考点:双曲线及其几何性质. 6. 3 ? 1 【解析】 试题分析:

OF1 ? OF2 ? OP ??F1 PF2 ? 90? , 设 PF2 ? t ,则 F1 P ? 3t , a ?
c ? 3 ?1. a

3t ? t , 2

t 2 ? 3t 2 ? 4c 2 , t ? c ,?e ?

考点:双 曲 线 的 简 单 性 质 . 7.8 【解析】 试题分析:由题可设双曲线方程为:

x 2 y2 - =? ,把 (2 2 , 3) 代入得 ? =1,所以双曲线方 4 3

程为:

x 2 y2 - =1 , 4 3

设双曲线右焦点为 F1 ,∵ P 在双曲线右支上及由双曲线定义可知 PF - PF ,∴ 1 =2a=4

PA + PF = PA ? ? 4 ? PF1 ? ? PA ? PF1 ? 4 , 当 点 P 为 线 段 AF1 与 双 曲 线 交 点 时

PA + PF = PA ? PF1 ? 4 ? AF1 ? 4 ? 8 .
考点:1.双曲线的定义;2.双曲线的标准方程;3.双曲线的几何性质. 8. (I)

x2 3 ? y2 ? 1 ; (II) . 4 2

【解析】 试题分析: (I) 找出题中的相等关系, 列出

( x ? 3)2 ? y 2 3 ? 化简即得曲线 C 的方程; 4 2 |x? | 3

(II)先用弦长公式得 AB ,由点 O 到直线 AB 距离公式得 ?AOB 的高,列出 ?AOB 面积

答案第 2 页,总 6 页

表达式,最后选择合适的方法求 ?AOB 面积的最大值. 试题解析: (I)设 d 是点 M 到直线 l : x ?

4 的距离,根据题意,点 M 的轨迹就是集合 3

P ? {M |

| MF | 3 ? } d 2

1?

由此得

( x ? 3)2 ? y 2 3 ? 4 2 |x? | 3

2?

将上式两边平方,并化简得 x 2 ? 4 y 2 ? 4 4 ?



x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y2 ? 1 4
5?

所以曲线 C 的方程为

? x2 2 ? ? y ? 1, (II)由 ? 4 得 (my ? 1)2 ? 4 y 2 ? 4 , ? ? x ? my ? 1,
2 2 即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . 6 ?

记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 ? y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4
2 2

7?

2 于是 | AB |? 1 ? m ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? m ? ( ?

2m 2 3 ) ? 4( ? 2 ) 2 m ?4 m ?4

4 1 ? m2 ? ? m2 ? 3 2 m ?4

9?
1 m2 ? 1
, 10?

又原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

所 以 S?AOB

1 2 m2 ? 3 ? ? | AB | ?d ? ? 2 4 ? m2

?

m2 ? 3 ?

?

2 1 m2 ? 3

?

2 1 3? 3

?

3 (当 2

m ? 0 时取等号)

答案第 3 页,总 6 页

所以 ?AOB 面积的最大值为

3 . 12 ? 2

考点:1、曲线方程求法;2、直线与圆锥曲线位置关系;3、解析几何最值问题. 9. (1)

x2 ? y2 ? 1 2
2 2 ] ?[ ,1] 2 2

(2) k的范围为 [?1,?

(3)

6 2 ?S? 4 3

【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)由题意知 2c=2,c=1 , 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而 b=1. 故 a= 2 所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

3分

(Ⅱ)因为直线 l:y=kx+m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切 所以原点 O 到直线 l 的距离

|m| 1? k
2

=1,即:m 2 ? k 2 ? 1

5分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 又由 ? x 2 , ( 1 ? 2k ) x ? 4km x ? 2m ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
? 4km 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
7分

? ? OA ? OB ?

x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 =

k 2 ?1 1 ? 2k 2

, 由

2 3 1 ? ? ? ,故 ? k 2 ? 1 , 3 4 2
即 k的范围为 [?1,?
2

2 2 ] ?[ ,1] 2 2
2 2

9分
2 2

(III) | AB | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? k )[(x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ] =2?

1 6 4 2 2 ,由 ? k ? 1 ,得: ?| AB |? 2 2 2 3 (2k ? 1)
2

11 分

答案第 4 页,总 6 页

S?

1 1 6 2 | AB | d ? | AB | ,所以: ?S? 2 2 4 3

12 分

考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。 10. (1)

x2 17 ? y2 ? 1 ; (2) E ( , 0) 8 4

定值

33 64

【解析】 试题分析:(I)由题意知 c=

3 ,4a=8,∴a=2,b=1

∴椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

(II)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1)

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得(4k +1)x -8k x+4k -4=0 ? y ? k(x ? 1) ?
设 P(x1,y1),Q(x2,y2) 则由韦达定理得 x1+x2=

8k 2 4k 2 ? 4 , x x = 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

则 PE =(m-x1,-y1), QE =(m-x2,-y2) ∴ PE · QE =(m-x1)(m-x2)+y1y2=m -m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m -m(x1+x2)+x1x2+k (x1-1)(x2-1)
2 8k 2 4k 2 ? 4 8k 2 (4m2 ? 8m ? 1)k 2 ? (m2 ? 4) 2 4k ? 4 ? ?k ( 2 ? ? 1) = = m ?m 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 2
2 2 2

要使上式为定值须

4m2 ? 8m ? 1 17 33 =4,解得 m= ,∴ PE ? QE 为定值 2 8 64 m ?4
17 3 3 ),Q(1,)由 E( ,0)可得 8 2 2

当直线 l 的斜率不存在时 P(1,

9 17 PE =( ,- ), 8 8 9 33 3 )∴ PE ? QE = QE =( , 8 64 2
综上所述当 E (

17 33 , 0) 时, PE ? QE 为定值 。 8 64
答案第 5 页,总 6 页

考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,平面向量的坐标运算。 点评:难题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几何性质,注意明确焦点轴和 a,b,c 的关系。 曲线关系问题, 往往通过联立方程组, 得到一元二次方程, 运用韦达定理。 本题 (2) 推理直线斜率的两种情况,易于出现遗漏现象。

答案第 6 页,总 6 页



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