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巧用三角函数解物理题(一题多解)



巧用三角函数解物理题 数学是自然科学的皇后与奴仆。数学中的许多知识在物理解题中都有非常广泛的应用,如三角函数 知识在解力、热、光学题,特别是竞赛题时,有着十分独特的作用。平时解题时,若能注意引导学生 充分利用三角函数知识解决相关物理题,不仅会简化解题过程,而且对增强学生逻辑思维能力,提高 解题速度,都大有裨益。 一、三角函数与追击中的最值问题 例 1.如右图所示,某人站在距公路

40m 的 A 处,发现公路上有一汽车从 B 处以 的速度沿公路匀速行驶,已知 AB 相距 100m,问此人最少要以多大的速度沿什么 方向奔跑才能与汽车相遇? 解析:本题在审题时切莫以为只要人奔跑的速度最小,跑的路程就应最短,得 出应沿与公路垂直的方向,即 AO 方向奔跑的错误结论来。因为速度的大小,不 单纯地取决于路程的长短,还受到通过该路程所能用的时间的限制。 解法一:设人应沿与 AB 成θ角的方向奔跑,经时间 t 与汽车在 C 处相遇(如右 图),则: s车 ? BC ? v 0 t,s人 ? AC ? v 人 t .过 B 点作 BD⊥AC,垂足为 D.
v0 ? 10m / s

因 为 △ BCD ∽ △ ACO, 所 以 B D ? B C. 又 因 为 BD ? AB sin ? , 所 以
AO AC

v0 ·AO 4 AB sin ? BC v0t ? m/ s. ? ? ,即 v人 ? AO AC v人t AB sin ? sin ?
显然要 v 人 最小,sin ? 要最大,sin ? ? 1,? ? 90? ,此时,v 人 min ? 4m / s 。 即此人最少以 4m/s 的速度沿垂直于 AB 的方向奔跑,才能与汽车相遇。 解法二: 设人以速度 v 朝某一方向奔跑经过 t 时间与汽车相遇 在 C 点,如右图所示。根据题意,得 BC ? v0t ? 10t ,根据勾股 定 理 得
OB ? 1002 ? 402 ? 10 84



OC ? BC ? OB ? 10t ? 10 84 ? 10(t ? 84) , 勾 股 定 理
OC 2 ? OA2 ? AC 2 ,102 (t ? 84)2 ? 402 ? (vt )2 ,简化为关于 t 的

一 元 二 次 方 程 t 2 (100 ? v2 ) ? 200 84t ? 10000 ? 0 , 存 在 解 则

? ? (200 84)2 ? 4(100 ? v2 ) ?10000 ? 40000(84 ? 100 ? v2 ) , v2 ? 16 ? 0 ,即 v ? 4m / s ,当以最小速度
vmi n ? 4m / s

运 动 时 , 此 时 对 应 的

t??

?200 84 100 100 25 ? ? 84 ? 84 2 2(100 ? v ) 21 84 84



84 40 210 42 42 ? 2 84 ,即与 OA 成偏右 ? ? arc cos . ? ? ? ? 25 10 10 4? 84 25 84 5 84 5 ? 2 84 21 二、三角函数与杠杆中的最值问题 例 2.如右下图所示,一根 4m 长的木杆下端用铰链固定在地面上,杆顶有一根绳子水平向左拉,拉 力恒为 T,杆的右边用一根铁丝欲将杆竖直固定在地面上,铁丝长为 4m,为了使铁丝上的拉力最小, 其上端 A 应固定在杆上离地面多高的地方? 解析:由于木杆上端所受水平向左的拉力 T 一定,其力臂长也为定值(等于 CD 的长),故影响铁丝 上拉力 F 变化的原因只有一个,就是其力臂 DE 的长短,而 DE 长短的变化又是受 AB 倾斜程度控制的,

cos? ?

1

AB 的倾斜程度我们可用 AB 与地面间的夹角θ的大小来衡量。 因为 DE ? DB sin ?,DB ? AB cos? 所以 DE ? AB sin ? cos? ? 4m· sin ? cos? ? 2m· sin 2? 又由杠杆平衡条件得: T·CD ? F·DE

T· 4m ? F· 2m· sin 2?,F ?

当 sin 2? 取最大值 1,即 ? ? 45? 时,F 最小,这时

2T sin 2?

AD ? AB· sin ? ? 4m· sin 45? ? 2 2m
三、三角函数与杠杆(非共点力)平衡中的不定值问题 例 3.如右图右,O 是杠杆 OA 的支点,B 是 OA 的中点,今在 B 点挂一重物 G,若要在 A 点用不大于 G 的拉力使杠杆保持水平平衡,则拉力与水平面间的夹角变化范围多大? 解析:欲用不大于 G 的拉力,使杠杆处于水平平衡状态,根据杠杆平衡条件,就要 F 的力臂 OC 不小于重物 G 的力臂 OB(如右图)。 因为 OC ? OA· sin ?,OB ?

以 ? 的变化范围为 30? ? ? ? 150? 。 四、三角函数与光的反射问题 例 4.有一种液面微变监视器,基本结构原理如图 6 所示,光束发射器始终以 一定角度向被监视的液面发射一束细光,光束经液面反射,其反射光线被水平放臵的平面光电转换器 接收,光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来。若反射到光电转换器接收平面上的 光点从 S1 点移向 S 2 点,则表明被监视液面 (选填“上升”或“下降”);当液同上升高度一定 时,接收平面上的光点 S1 和 S 2 之间的距离与接收平面到液面的距离有没有关系? 或“没有”) 解析:当入射光线方向不变,即入射角不变时,入射光线的入射点会随液 面的升降而改变,从而引起反射光线左右平移。当液面上升(或下降)时, 入射点就沿着入射光线的方向向左 (或右) 移, 反射光线也跟着向左 (或右) 平移,这样就导致光电屏上的光点左(或右)移。由题设不难推知液面是上 升的。 设:第一次反射光线 O1 S1 与新液面交于点 M, 第一次反射所作的法线与新 (选填“有”

1 1 OA ,要使 OC ? OB ,就要 sin ? ? ,所 2 2

液面交于点 N,液面上升的高度为 ?h ,则 O1 N?O2 M 且 O1 N ? ?h (如右下图). 在 Rt?O1 NO2 中, O2 N ? O1 N tan ? , Rt?O1 NO2 ? Rt?O1 NM ,所以 O2 N ? MN . 所以 S1 S 2 ? O2 M ? 2O2 N ? 2 ?h· tan ? ,说明接收平面上光点 S1 S 2 之间的距离只跟液面升降的 高度 ?h 有关,而与接收平面到液面的距离无关。 五、三角函数与共点力分解与合成中的极值问题 例 5.如右图所示,在竖直平面内的直角坐标系中,一个质量为 m 的质 点在外力 F 的作用下从坐标原点 O 由静止沿直线 ON 斜向下运动,直线 ON 与 y 轴负方向成θ角(θ<错误!未指定书签。),则 F 的大小至少 ? n, 则 质 点 的 机 械 能 大 小 的 变 化 情 况 为 ; 若 F= m g t a 因为 S1 S 2 // O2 M,O2 S 2 // MS1 ,所以四边形 O2 MS1 S 2 为平行四边形,S1 S 2 ? O2 M ,不难证得

2

是 .[2008 年高考〃上海物理卷] 解法一:该质点在重力和外力 F 的作用下从静止开始做直线运动,说明质点做匀加速直线运动,如 右图所示,当 F 的方向为 a 方向(垂直于 ON )时, F 最小为 mgtan? ;若 F =mgtan ? ,即 F 可能为 b 方 向或 c 方向,故除重力外的力 F 对质点可能做正功,也可能做负功,所以质点的机械能增加、减少都 有可能. 解法二:根据正弦定理或拉米定理,得 最大值,此时 F 最小为 mgsin? 。 [答案] mgsin? ,增加、减少都有可能。

G G F sin? ,当 ? ? ? 时, sin ? 有 ? ,可得 F ? sin ? sin ? sin ? 2

3



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